五年级 数学思维训练汇编 — 题库预览

解题步骤
此题用到平方差公式：$a^{2}-b^{2}=(a+b)\times(a-b)$
$1997^{2}-1996^{2}=(1997+1996)\times(1997-1996)$
$=1997+1996$
$=3993$
$1993^{2}-1992^{2}=1993+1992$
$=3985$
所以 $1997^{2}-1996^{2}>1993^{2}-1992^{2}$
即 $1997^{2}+1992^{2}>1996^{2}+1993^{2}$，两个白色正方形的面积大。

解题步骤
由于 $\dfrac{2}{7}=0.\overline{285714}$，因此有两种答案：$0.28\overline{5}<\dfrac{2}{7}<0.\overline{285}$ 或 $0.285<\dfrac{2}{7}<0.\overline{285}$。

解题步骤
简单比较大小。分母相同的分数先作比较，则有 $A<B$，$C<D$，再比较 $A$ 和 $D$ 的大小，两者分子分母都不同，但都接近基准数 10001，$A>10001$，$D<10001$，$D<A$，因此 $C<D<A<B$。

解题步骤
方法一：基准数法。与 1 做比较。$1-\dfrac{73}{84}=\dfrac{11}{84}$，$1-\dfrac{46}{57}=\dfrac{11}{57}$，$1-\dfrac{89}{100}=\dfrac{11}{100}$，$1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$，$1-\dfrac{51}{62}=\dfrac{11}{62}$，分子相同，分母大的分数反而小，那么 $\dfrac{11}{100}<\dfrac{11}{84}<\dfrac{11}{62}<\dfrac{11}{57}<\dfrac{11}{36}$，所以 $\dfrac{25}{36}<\dfrac{46}{57}<\dfrac{51}{62}<\dfrac{73}{84}<\dfrac{89}{100}$。
方法二：经典结论法（对于真分数，如果几个分数分子和分母的差是个定值，那么分子分母大的分数则大，对于假分数则相反），观察到这五个真分数的分子和分母的差都是 11，所以大小顺序为 $\dfrac{25}{36}<\dfrac{46}{57}<\dfrac{51}{62}<\dfrac{73}{84}<\dfrac{89}{100}$。

解题步骤
注意到两式中的两个因数的和相等，即
$135679+975431=135678+975432$，
而“和相等的两个数越接近，它们的乘积越大”，所以
$135679\times975431>135678\times975432$

解题步骤
$A$、$B$、$C$ 三队的失分率分别是 $\dfrac{83+76}{73+84}=\dfrac{159}{157}$；$\dfrac{73+88}{83+79}=\dfrac{161}{162}$；$\dfrac{79+84}{88+76}=\dfrac{163}{164}$，只有 $A$ 是大于 1 的，所以 $A$ 最大，则 $A$ 队出线。

解题步骤
方法一：对这些分数取倒数后再同时减去 1 得到：$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{8}{15}$，$\dfrac{7}{10}$，$\dfrac{7}{12}$，这时，它们的大小关系和原来相反。然后对这几个分数进行通分得到：$\dfrac{30}{60}$，$\dfrac{36}{60}$，$\dfrac{32}{60}$，$\dfrac{42}{60}$，$\dfrac{35}{60}$，于是可以得到：$\dfrac{1}{2}<\dfrac{8}{15}<\dfrac{7}{12}<\dfrac{3}{5}<\dfrac{7}{10}$，于是有：$\dfrac{10}{17}<\dfrac{5}{8}<\dfrac{12}{19}<\dfrac{15}{23}<\dfrac{2}{3}$。
方法二：通分子得到：$\dfrac{60}{90}$，$\dfrac{60}{96}$，$\dfrac{60}{92}$，$\dfrac{60}{102}$，$\dfrac{60}{95}$，于是有 $\dfrac{10}{17}<\dfrac{5}{8}<\dfrac{12}{19}<\dfrac{15}{23}<\dfrac{2}{3}$。

解题步骤
观察发现所有分数都接近 $\dfrac{1}{2}$，每个数与 $\dfrac{1}{2}$ 比较，发现只有 $\dfrac{151}{301}>\dfrac{1}{2}$，那么 $\dfrac{151}{301}$ 最大的。

解题步骤
$\dfrac{1}{2010}<A<\dfrac{1}{2009}$
分子、分母同时扩大 2 倍，$\dfrac{2}{4020}<A<\dfrac{2}{4018}$
分子相同，$4018<$ 分母 $<4020$
取整数，分母为 4019，则分数为 $\dfrac{2}{4019}$。

解题步骤
方法一：首先通分子，$\dfrac{21}{27}>\dfrac{21}{7\times\square}>\dfrac{21}{105}$，那么可以知道 $27<7\times\square<105$，所以 $\dfrac{27}{7}<\square<15$，所以方框里的数可以填 $4\sim14$，共 11 种填法。
方法二：交叉相乘法
设方框中填的数为 $x$，则有 $7x>27$，$15>x$，则 $3\dfrac{6}{7}<x<15$，$x$ 可取 $4\sim14$，共 11 个解。

解题步骤
$\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}>\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}$，$\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{5}$，所以 $a>b$。

解题步骤
方法一：利用两数相除法比较 $a$ 和 $b$ 的大小，
$a\div b=\dfrac{2005\times2006}{2007\times2008}\times\dfrac{2008\times2009}{2006\times2007}$
$=\dfrac{2005\times2009}{2007\times2007}$
$2005+2009=2007+2007$，因为和一定，两数越接近则乘积大，所以 $2005\times2009<2007\times2007$，即 $\dfrac{2005\times2009}{2007\times2007}<1$，所以 $a<b$，同理 $b<c$，那么得答案为 D。
方法二：$a=\dfrac{2005}{2007}\times\dfrac{2006}{2008}$，$b=\dfrac{2006}{2008}\times\dfrac{2007}{2009}$ 利用经典结论法，得出 $a<b$，同理，$b<c$，所以 $a<b<c$，那么得答案为 D。

解题步骤
要使 $a\times b\times c$ 最小，那么 $a$、$b$、$c$ 应该尽量小，令 $a=2$，$b=3$，已知 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1$，那么只需改变 $c$ 的大小即可，$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{41}{42}>\dfrac{28}{29}$，成立；$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{23}{24}<\dfrac{28}{29}$，不满足条件。当三数分别为 $2$、$3$、$7$ 时乘积一定最小，$a\times b\times c=42$。

解题步骤
$A>1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=2\dfrac{1}{4}$
$A<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=2\dfrac{3}{4}$
所以 $A$ 的整数部分是 2.

解题步骤
设分母为 $A$，则 $A<12\times\dfrac{1}{1980}=\dfrac{1}{165}$
并且 $A>12\times\dfrac{1}{1991}=\dfrac{12}{1991}$
则 $S>165$ 并且 $S<\dfrac{1991}{12}=165\dfrac{11}{12}$，即 $S$ 的整数部分是 165.

解题步骤
$\dfrac{2}{3}=0.\overline{6}$，$\dfrac{5}{9}=0.\overline{5}$，$\dfrac{24}{47}\approx0.5106$，$\dfrac{13}{25}=0.52$
显然有 $0.5106<0.5\overline{1}<0.\overline{51}<0.52<0.\overline{5}<0.\overline{6}$ 即 $\dfrac{24}{47}<0.5\overline{1}<0.\overline{51}<\dfrac{13}{25}<\dfrac{5}{9}<\dfrac{2}{3}$，
8 个数从小到大排列第 4 个是 $0.5\overline{1}$，所以有 $\square<\square<\dfrac{24}{47}<0.5\overline{1}<0.\overline{51}<\dfrac{13}{25}<\dfrac{5}{9}<\dfrac{2}{3}$.
（“$\square$”表示未知的那两个数）。所以，这 8 个数从大到小排列第 4 个数是 $0.5\overline{1}$.

解题步骤
原式 $=\{[6000-5679]\div107+30\}\times37$
$=(321\div107+30)\times37$
$=33\times37$
$=1221$

解题步骤
原式 $=\dfrac{10^{2}}{1111^{2}\times18+1111^{2}\times32}$
$=\dfrac{100}{1111^{2}\times50}$
$=\dfrac{2}{1234321}$

解题步骤
原式 $=\left(30-\dfrac{1}{28}\right)\times27\dfrac{14}{15}$
$=30\times27\dfrac{14}{15}-\dfrac{1}{28}\times27\dfrac{14}{15}$
$=30\times\left(28-\dfrac{1}{15}\right)-\dfrac{1}{28}\times\left(28-\dfrac{1}{15}\right)$
$=30\times28-2-\left(1-\dfrac{1}{28\times15}\right)$
$=837\dfrac{1}{420}$

解题步骤
原式 $=\dfrac{1}{5}\times512+\dfrac{2}{5}\times256+\dfrac{4}{5}\times128+\dfrac{8}{5}\times64+\dfrac{16}{5}\times32$
$=\dfrac{1}{5}\times512+\dfrac{1}{5}\times512+\dfrac{1}{5}\times512+\dfrac{1}{5}\times512+\dfrac{1}{5}\times512$
$=512$

解题步骤
原式 $=4\times\dfrac{21}{50}\times\dfrac{21}{50}+4\times\dfrac{28}{50}\times\dfrac{28}{50}$
$=4\times\dfrac{7}{50}\times\dfrac{7}{50}\times(3^{2}+4^{2})$
$=4\times\dfrac{7}{50}\times\dfrac{7}{50}\times5^{2}$
$=\dfrac{49}{25}$

解题步骤
因为 $a=\dfrac{1999}{9999}$，$b=\dfrac{9199}{9999}$，$c=\dfrac{9919}{9999}$，$d=\dfrac{9991}{9999}$，
所以 $a$、$b$、$c$、$d$ 的平均数是 $\dfrac{1}{4}\times\left(\dfrac{1999}{9999}+\dfrac{9199}{9999}+\dfrac{9919}{9999}+\dfrac{9991}{9999}\right)=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1+9+9+9}{9999}\times\cdots$
$=\dfrac{7}{9}$

解题步骤
原式 $=2008\times\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{4}\times\cdots\times\dfrac{1000}{999}\times\dfrac{1001}{1000}$
$=2008\times\dfrac{1001}{2}$
$=1004\times1001$
$=1005004$

解题步骤
原式 $=\dfrac{2008+(2008-1)\times(2008+1)}{2008\times(2008+1)-1}+\dfrac{2009+(2009-1)\times(2009+1)}{2009\times(2009+1)-1}$
$=\dfrac{2008+2008^{2}-1}{2008+2008^{2}-1}+\dfrac{2009+2009^{2}-1}{2009+2009^{2}-1}$
$=2$

解题步骤
原式 $=\dfrac{2^{2}-1^{2}+4^{2}-3^{2}+6^{2}-5^{2}+\cdots+100^{2}-99^{2}}{1+2+3+\cdots+10+9+\cdots+2+1}$
$=\dfrac{2+1+4+3+6+5+\cdots+100+99}{10^{2}}$
$=50.5$

解题步骤
原式 $=10\times(31.4^{2}+2\times31.4\times68.6+68.6^{2})$
$=10\times(31.4+68.6)^{2}$
$=10\times100^{2}$
$=100000$
本题利用到完全平方公式 $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$。

解题步骤
$1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$，
因为 $1^{2}+2^{2}+\cdots+337^{2}=\dfrac{1}{6}\times337\times338\times675$，
所以 $\square^{2}=\dfrac{1}{6}\times338\times675$
$=195^{2}$，
故 $\square=195$。

解题步骤
原式 $=\dfrac{588+1.75^{2}+337.75^{2}-2\times1.75\times337.75+2\times1.75\times337.75}{1.75\times337.75}$
$=\dfrac{588+336^{2}+2\times1.75\times337.75}{1.75\times337.75}$
$=\dfrac{588+336^{2}}{1.75\times337.75}+2$
$=\dfrac{2^{2}\times3\times7^{2}+2^{4}\times3^{4}\times7^{2}}{\dfrac{7}{4}\times\dfrac{1351}{4}}+2$
$=\dfrac{(2^{2}\times3\times7^{2}+2^{4}\times3^{4}\times7^{2})\times4\times4}{7\times7\times193}+2$
$=\dfrac{2^{2}\times3\times7^{2}\times(1+2^{2}\times3^{3})\times7\times7\times193}{7\times7\times193}+2$
$=2^{4}\times3+2$
$=194$

解题步骤
原式 $=\dfrac{0.1\times0.2\times0.4\times(1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3})}{0.1\times0.3\times0.9\times(1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3})}$
$=\dfrac{8}{27}$

解题步骤
原式 $=\left(3333\times\dfrac{1}{2}+3333\times\dfrac{1}{2}-3333\times\dfrac{2}{9}\right)\div\dfrac{7}{9}-1330$
$=3333\times\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{9}\right)\div\dfrac{7}{9}-1330$
$=3333\times\dfrac{7}{9}\div\dfrac{7}{9}-1330$
$=3333-1330$
$=2003$

解题步骤
原式 $=\left(\dfrac{72}{5}+\dfrac{184}{7}+\dfrac{328}{9}\right)\div\left(\dfrac{9}{5}+\dfrac{23}{7}+\dfrac{41}{9}\right)$
$=8\times\left(\dfrac{9}{5}+\dfrac{23}{7}+\dfrac{41}{9}\right)\div\left(\dfrac{9}{5}+\dfrac{23}{7}+\dfrac{41}{9}\right)$
$=8$

解题步骤
找规律：$\dfrac{341}{275}=\dfrac{31\times11}{25\times11}$
$=\dfrac{31}{25}$，$\dfrac{3441}{2775}=\dfrac{31\times111}{25\times111}$
$=\dfrac{31}{25}$，$\dfrac{34441}{27775}=\dfrac{31\times1111}{25\times1111}$
$=\dfrac{31}{25}$，$\cdots$，$\dfrac{34444444441}{27777777775}=\dfrac{31\times1111111111}{25\times1111111111}$
$=\dfrac{31}{25}$，即这9个数都等于 $\dfrac{31}{25}$，
原式 $=\dfrac{31}{25}\times(1+2+3+\cdots+9)$
$=\dfrac{279}{5}$

解题步骤
原式 $=\left(\frac{3}{1\times 4}+\frac{3}{4\times 7}+\frac{3}{7\times 10}+\frac{3}{10\times 13}+\cdots+\frac{3}{97\times 100}\right)\times\frac{1}{3}$
$=\left(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{97}-\frac{1}{100}\right)\times\frac{1}{3}$
$=\left(1-\frac{1}{100}\right)\times\frac{1}{3}$
$=\frac{33}{100}$

解题步骤
原式 $=64\times\left(\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 6}+\frac{1}{6\times 8}+\frac{1}{8\times 10}+\frac{1}{10\times 12}+\frac{1}{12\times 14}+\frac{1}{14\times 16}\right)$
$=64\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{14}-\frac{1}{16}\right)\times\frac{1}{2}$
$=32\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{16}\right)$
$=14$

解题步骤
原式 $=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{22}+\frac{1}{22}-\frac{1}{29}+\frac{1}{29}$
$=\frac{1}{2}$

解题步骤
原式 $=\left(1+\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\right)-\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\right)$
$=1-\frac{1}{10}$
$=\frac{9}{10}$

解题步骤
原式 $=\frac{1}{1\times 2}-\frac{1}{2\times 3}-\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{4\times 5}-\frac{1}{5\times 6}-\frac{1}{6\times 7}-\frac{1}{7\times 8}-\frac{1}{8\times 9}-\frac{1}{9\times 10}$
$=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots-\frac{1}{9}+\frac{1}{10}$
$=\frac{1}{10}$

解题步骤
原式 $=2008+2009+2010+2011+2012+\frac{1}{3\times 6}+\frac{1}{6\times 9}+\frac{1}{9\times 12}+\frac{1}{12\times 15}+\frac{1}{15\times 18}$
$=2010\times 5+\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{15}-\frac{1}{18}\right)$
$=10050\frac{5}{54}$

解题步骤
(1) 原式 $=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}$
$=\frac{11}{12}$
(2) 方法一：原式 $=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{55}$
$=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{110}\right)\times 2$
$=\left(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\cdots+\frac{1}{10\times 11}\right)\times 2$
$=\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\right)\times 2$
$=\frac{20}{11}$
方法二：分母上都是连续自然数列求和。$\frac{1}{1+2+3+4+\cdots+n}=\frac{1}{\frac{n\times(n+1)}{2}}$
$=\frac{2}{n\times(n+1)}$，
原式 $=\frac{2}{1\times 2}+\frac{2}{2\times 3}+\frac{2}{3\times 4}+\frac{2}{4\times 5}+\cdots+\frac{2}{10\times 11}$
$=\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\right)\times 2$
$=\frac{20}{11}$

解题步骤
$3\times 4=(3\times 4\times 5-2\times 3\times 4)\times\frac{1}{3}$；
$4\times 5=(4\times 5\times 6-3\times 4\times 5)\times\frac{1}{3}$；
$5\times 6=(5\times 6\times 7-4\times 5\times 6)\times\frac{1}{3}$；
……
$20\times 21=(20\times 21\times 22-19\times 20\times 21)\times\frac{1}{3}$；
原式 $=\frac{1}{3}\times(3\times 4\times 5-2\times 3\times 4+4\times 5\times 6-3\times 4\times 5+\cdots+20\times 21\times 22-19\times 20\times 21)$
$=\frac{1}{3}\times(20\times 21\times 22-2\times 3\times 4)$
$=3072$

解题步骤
原式 $=\frac{8}{1\times 9}+\frac{8}{9\times 17}+\frac{8}{17\times 25}+\frac{8}{25\times 33}+\frac{8}{33\times 41}+\frac{8}{41\times 49}$
$=1-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{17}+\frac{1}{17}-\frac{1}{25}+\frac{1}{25}-\frac{1}{33}+\frac{1}{33}-\frac{1}{41}+\frac{1}{41}-\frac{1}{49}$
$=1-\frac{1}{49}$
$=\frac{48}{49}$

解题步骤
原式 $=1+\frac{150}{15}+\frac{150}{35}+\frac{150}{63}+\frac{150}{99}+\frac{150}{143}$
$=1+150\times\left(\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\frac{1}{9\times 11}+\frac{1}{11\times 13}\right)$
$=1+150\times\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}\right)$
$=\frac{263}{13}$

解题步骤
$1\times 2\times 3=(1\times 2\times 3\times 4-0\times 1\times 2\times 3)\times\frac{1}{4}$；
$2\times 3\times 4=(2\times 3\times 4\times 5-1\times 2\times 3\times 4)\times\frac{1}{4}$；
$3\times 4\times 5=(3\times 4\times 5\times 6-2\times 3\times 4\times 5)\times\frac{1}{4}$；
……
$2007\times 2008\times 2009=(2007\times 2008\times 2009\times 2010-2006\times 2007\times 2008\times 2009)\times\frac{1}{4}$
原式 $=(2007\times 2008\times 2009\times 2010-0\times 1\times 2\times 3)\times\frac{1}{4}\times 4\div(2007\times 2008\times 2009)$
$=2010$

解题步骤
第(1)个图形的边数为12，第(2)个图形的边数为20，第(3)个图形的边数为30，那么
$\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\cdots+\frac{1}{a_n}=\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+\frac{1}{5\times 6}+\cdots+\frac{1}{n\times(n+1)}$
$=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{2007}{6030}$ 时求出 $n=2009$.

解题步骤
因为 $3\div 7=0.\overline{428571}$，$6$ 个数字为一个循环，又 $2011\div 6=335\cdots\cdots1$，所以小数点后面第 $2011$ 位上的数字是 $4$。
因为 $(4+2+8+5+7+1)\times 335+4=9049$，所以从小数点后第 $1$ 位到第 $2011$ 位的所有数字之和是 $9049$。

解题步骤
$4$ 个数字为一组，$999\div 4=249\cdots\cdots3$，也就是第 $250$ 个四位数的第 $3$ 个位置，$2010-(250-1)=1761$，第 $3$ 个数字是 $6$。

解题步骤
每次把三个数写出来后我们会发现，每隔两个奇数就有一个偶数。这个规律不难解释：因为 奇 $+$ 奇 $=$ 偶，偶 $+$ 奇 $=$ 奇，所以只有偶性规律为：奇、奇、偶、奇、奇、偶……
$100\div 3=33\cdots\cdots1$，于是，这串数的前 $100$ 个中有 $33$ 个偶数。

解题步骤
若 $3$ 个数从小到大排序，再把最前面的最小的数换成后面两个数的和，结果为 $\{1,1,1\}\to\{1,1,2\}\to\{1,2,3\}\to\{2,3,5\}\to\{3,5,8\}\to\{5,8,13\}\to\cdots$。
经观察，每组中最大的数构成一个类斐波那契数列，开始的两个数是 $1,2$，从第三项开始，每个数都是前两个数的和。因此 $1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144$。
经过 $10$ 次操作后，该数列中第 $11$ 个数是 $144$，即最大数的最大可能值是 $144$。

解题步骤
经过观察，会发现奇数项和偶数项分别是公差是 $15$ 的两个等差数列，第 $2010$ 项即为偶数项等差数列的第 $1005$ 项，由等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 可知：第 $1005$ 项为 $9+1004\times 15=15069$。

解题步骤
规律：每一个算式中第一个数构成奇数数列，后面的两个数相邻。我们想到这是勾股数的一种构造方法。
把第一个数写为 $13$，所得的数构成两个相邻的数，第 $7$ 个奇数是 $15$，$15$ 的平方 $225$，拆成 $112$ 和 $113$，所以第 $7$ 个式子为 $15^{2}+112^{2}=113^{2}$。

解题步骤
拐弯的这些数本身不成等差数列，但是它们的差是一个等差数列。
$2=1+1$（这是第一次）
$4=1+1+2$
$7=1+1+2+3$
$11=1+1+2+3+4$
……如此下去第 $20$ 次拐弯处的数是 $1+1+2+3+\cdots+20=211$。

解题步骤
根据题意，前 $n$ 项和等于 $(1+n)\times n\div 2$，而现在的个位为 $3$，十位是 $0$，则 $(n+1)\times n$ 的末两位是 $06$，即知两个连续自然数的末位的乘积只能为 $2\times 3$ 或者 $7\times 8$，经试验，最小的 $n$ 取 $37$ 时，$37\times 38=1406$ 符合条件，所以 $n$ 的最小值为 $37$。

解题步骤
第 $3$ 项到第 $18$ 项，相差 $15$ 个公差，也就是 $23-14=9$，$9\div 15=0.6$，而最小 $5\times 0.6=3$，所以每五个数才有一个整数。五个一组，中间的数为整数。$2010\div 5=402$ 组，所以有 $402$ 个整数。

解题步骤
设第一层灯数为 $1$ 份，则 $7$ 层总份数为 $1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}=127$，$381\div 127=3$，所以第一层 $3$ 盏灯，第四层 $3\times 2^{3}=24$ 盏灯。

解题步骤
方法一：
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}=1\times 2-\frac{1}{64}$
$=1\frac{63}{64}$（米）。
方法二：我们这样考虑：取一根 $2$ 米的竹竿为第 $1$ 根，把它从中间截成两段，各长 $1$ 米，取其中一根作为第一根竹竿，将另外一根再从中截成两段，一段作为第二根竹竿，如此进行下去，到截下第七根竹竿后，所剩下的一段竹竿长为 $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{64}$（米）。
因此，七根竹竿的总长度是 $2$ 米减去剩下一段的长 $\frac{1}{64}$，也就是 $2-\frac{1}{64}=1\frac{63}{64}$（米）。

解题步骤
第 $1$ 代可以搬 $100$ 吨石头，第二代可以搬 $200$ 吨，以后每一代依次可搬 $400,800,\cdots$，若要搬完，则需满足 $100\times\frac{2^{n}-1}{2-1}\geqslant 800000$，可得 $n\geqslant 13$，即到了第 $13$ 代这座大山可以搬完。

解题步骤
每个加法算式的前面项是一个周期数列 $1,2,3,4$ 循环，后项是一个奇数列。和为 $2008$，那么后项是偶数列，即 $2007-2007$ 之间，只能是 $2005$ 和 $2007$，分别看一下它们前面的数。
$2005$ 是第 $1003$ 项，前面是 $3,2005\div 3=2008$ 满足题意。
$2007$ 是第 $1004$ 项，前面是 $4$，和不满足。所以只能是第 $1003$ 个。

解题步骤
直接计算，这个数列除以 $3$ 的余数为 $1,0,0,1,1,2,1,1,0,2,2,1,0,0,1,1,2,\cdots$。
这个数列 $1,0,0,1,1,2,1,1,0,2,2,0,1,0,0,1,1,2,\cdots$ 自第 $17$ 项起，第 $4$ 至第 $16$ 项重复出现，而 $(1999-3)\div 13=153\cdots\cdots7$。
因此第 $1999$ 个数即等于第 $10$ 个数是 $1$。

解题步骤
依题意，$a_{1}+a_{2}=37+1$
$=38$，说明 $a_{3}=2$ 或 $19$。
依题意，$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{37}$ 能被 $a_{37}$ 整除，则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{37}$ 也能被 $a_{37}$ 整除，因为 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{37}=1+2+3+\cdots+37$
$=19\times 37$，而 $a_{37}$ 也可以整除这 $37$ 个数的和，即 $a_{37}=19$ 或 $37$，因此 $a_{37}$ 只能是 $19$，$a_{3}$ 只能是 $2$。

解题步骤
显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多。
首先考虑从 $45$ 个连续的奇数 $1,3,5,7,\cdots,89$ 中选出 $n$ 个数，使它们的和不超过 $1949$。
由 $1+3+5+\cdots+(2n-3)+(2n-1)=n^{2}$ 得，$44^{2}<1949<45^{2}$，则 $k\leqslant 44$，而 $k$ 必须是奇数，则 $k\leqslant 43$，因为 $45^{2}=2025>1949$，$2025-1949=76$，且 $76$ 是偶数，所以至少有 $1,3,5,\cdots,89$ 这 $45$ 个数中去掉若干个数，使其余各数的和为 $1949$。
由 $1+3+5+\cdots+89$ 中去掉 $2$ 个数，使其余 $43$ 个数的和为 $1949$，因为去掉的两数之和为 $2025-1949=76$，所以从 $1,3,5,\cdots,89$ 中选出 $43$ 个数，使它们的和恰好是 $1949$，即 $k$ 最大为 $43$。

解题步骤
数表的第一列为平方数，$2005=44\times44+69$，$2005<45^{2}$，$44$ 的平方在第 $45$ 行第 $1$ 列，到第 $45$ 列往上走，所以 $2005$ 在第 $45$ 列，再往上走 $70-45=25$ 格，走到 $45-25=20$ 行。所以在第 $20$ 行 $45$ 列。

解题步骤
先把第一个指头略去，后面四个一组 $(1991-1)\div4=497\cdots\cdots2$，奇数行从食指往后数，偶数行从无名指往前数，第二个数在中指上。

解题步骤
拐弯处数列为 $2,3,5,7,10,13,17,21,26,\cdots$。
数列特点，相邻项的差为 $1,2,2,3,3,4,4,5,\cdots$。
第 $20$ 个拐弯处为 $2+1+2+2+3+3+\cdots+10+10=1+2\times(1+2+\cdots+10)$
$=111$。

解题步骤
首先要算出 $2011$ 这个数是这个数列中的第几个数。
$(2011+1)\div2=1006$，每行有 $4$ 个数，而 $1006\div4=251\cdots\cdots2$，由于奇数行从左往右依次增大，偶数行相反，所以，第 $1006$ 个数是第 $252$ 行中从右往左数第二个数。偶数行最右边空一格。因此 $2011$ 这个数排在第 $252$ 行第 $3$ 列。

解题步骤
奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增。
第 $n$ 斜行中最大的数是 $1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$，第 $62$ 斜行中最大的数是 $\frac{1}{2}\times62\times63=1953$。第 $63$ 斜行中最大的数是 $1953+63=2016$。所以 $1993$ 位于第 $63$ 斜行。第 $63$ 斜行中数是由下向上递增，左边第一位数字是 $1954$，因此，$1993$ 位于第 $63$ 斜行由上向下数第 $(1993-1954+1)=40$ 位，即原阵列的第 $63-40+1=24$ 行，第 $40$ 列。

解题步骤
$0,61,122,178,\cdots$，所以 $x=178$。

解题步骤
第 $1$ 行的数是 $1$；第 $2$ 行的 $2$ 个数的和是 $2$；第 $3$ 行的 $3$ 个数的和是 $4$；第 $4$ 行的 $4$ 个数的和是 $8$；第 $5$ 行的 $5$ 个数的和是 $16$；第 $6$ 行的 $6$ 个数的和是 $32$；第 $7$ 行的 $7$ 个数的和是 $64$。
求和：$1+2+4+8+16+32+64=64\times2-1$
$=127$。

解题步骤
每行的数字个数，构成一个等差数列 $3,5,7,9,11,\cdots$。
$3+5+7+9+11+\cdots+(2n+1)=(n+1)\times(n+1)-1$
$2003$ 在 $44\times44$ 与 $45\times45$ 之间。每行第一个数构成 $n\times n$ 的数列。
可知第 $44$ 行第一个数字是 $44\times44=1936$，这一行共有 $44\times2+1=89$ 个数。在这行中有 $2003$，此行的等式为 $1936+1937+1938+\cdots+1980=1981+1982+\cdots+2024$
$=88110$。

解题步骤
各结点上数如右图。
从 $100$ 到 $300$ 这条直线上的各数的平均数是 $200$，平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是 $200$，所以这 $21$ 个数的平均数是 $200$，总和为 $200\times21=4200$。

解题步骤
数表中每个数是它下面的两个数的和，并且两边上的数规律很明显。从最上方到右下方，第一行分母是自然数列，第二行分母是满足分数裂项的数列。
那么在原数表中，第九行从右边第一个是 $\frac{1}{9}$，第二个是 $\frac{1}{72}$，第十行从右边第一个是 $\frac{1}{10}$，第二个是 $\frac{1}{90}$，第三个是 $\frac{1}{72}-\frac{1}{90}=\frac{1}{360}$。

解题步骤
每增加一层，增加的个数数列为 $4\times2,4\times4,4\times6,4\times8,\cdots$。所以到表 $n$ 的和为
$1+2\times4\times2+3\times4\times4+4\times4\times6+5\times4\times8+\cdots+n\times4\times2(n-1)$
$=1+4\times[2\times2+3\times4+4\times6+5\times8+6\times10+\cdots+n\times2(n-1)]$
$=1+8\times[2\times1+3\times2+4\times3+5\times4+6\times5+\cdots+n(n-1)]$
$=1+8\times\frac{(n-1)\times n\times(n+1)}{3}$
要使这个数为 $15505$，得出 $(n-1)\times n\times(n+1)=5814$，得 $5814=17\times18\times19$，解得 $n=18$。

解题步骤
原式 $=9+99+999+9999+99999$
$=10-1+100-1+1000-1+10000-1+100000-1$
$=111110-5$
$=111105$

解题步骤
$(1992*996)*(996*498)$
$=\left(\frac{1992}{996}+\frac{996}{1992}+\frac{1}{2}\right)*\left(\frac{996}{498}+\frac{498}{996}+\frac{1}{2}\right)$
$=3*3$
$=\frac{3}{3}+\frac{3}{3}+\frac{1}{2}$
$=2\frac{1}{2}$

解题步骤
因为狼 $\triangle$ 狼 $=$ 狼，狼 $\bigstar$ 羊 $=$ 羊，所以原式 $=$ 羊 $\triangle$ 羊 $\bigstar$ 羊 $\triangle$ 狼，无论前面结果如何，最后一步羊 $\triangle$ 狼或者狼 $\triangle$ 狼总等于狼，所以原式 $=$ 狼。

解题步骤
$(1\bigstar1)+(2\bigstar2)+(3\bigstar3)+\cdots+(10\bigstar10)$
$=3\times1+7\times1+3\times2+7\times2+3\times3+7\times3+\cdots+3\times10+7\times10$
$=10\times(1+2+3+\cdots+10)$
$=550$

解题步骤
通过观察发现 $C$ 代表 $A$ 除以 $B$ 的余数，因为 1999 除以 9 的余数是 1，所以 $C=1$。

解题步骤
如右图所示，通过图 a)分析知道向上前进一格要加上 1，向下前进一格要减 1，向左前进一格要减去 2，向右前进一格要加上 2。

解题步骤
根据题意，$\begin{vmatrix}\frac{2}{3}&\frac{6}{7}\\0.21&\frac{4}{5}\end{vmatrix}=\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}-\frac{6}{7}\times0.21$
$=\frac{8}{15}-\frac{6}{7}\times\frac{21}{100}$
$=\frac{8}{15}-\frac{9}{50}$
$=\frac{80-27}{150}$
$=\frac{53}{150}$

解题步骤
$1*9=1\times9+1+9$
$=19$
$1*9*9=19*9$
$=19\times9+19+9$
$=19\times10+9$
$=199$
$1*9*9*9=199*9$
$=199\times9+199+9$
$=199\times10+9$
$=1999$
$\cdots$
$\underbrace{1*9*9*9*\cdots*9*9}_{\text{共10次运算}}=19999999999$

解题步骤
$10\triangle3=(10-3)\times2$
$=14$
$8\triangle7=(8-7)\times2$
$=2$
$\frac{3}{4}\triangle\frac{1}{4}=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\times2$
$=1$
$\frac{5}{8}\triangle x=1$，所以 $\left(\frac{5}{8}-x\right)\times2=1$，解得 $x=\frac{1}{8}$

解题步骤
可以换个方向考虑。数字 1 在个位出现 10 次，在十位出现 10 次，在百位出现 1 次，共 21 次。
数字 2 到 9 中的每一个在个位出现 10 次，在十位也出现 10 次，共 20 次。
所以 1 到 100 中所有奇数数字的和等于 $(1+3+5+7+9)\times20+1=501$，所有偶数数字的和等于 $(2+4+6+8)\times20=400$。

解题步骤
$(A\cup C)\cap B=(\{1,3,5,7\}\cup\{2,5,7,8\})\cap\{1,4,7\}$
$=\{1,7\}$

解题步骤
等式的两边同时扩大 10 倍，则有
$a+a+1+\cdots+a+14=165$
$\frac{(2a+14)\times15}{2}=165$
$\Rightarrow a=4$

解题步骤
我们把 $1$、$2$、$3$ 这三个数字看成三个点，数字与数字的差看成是两个点间距离，则原题找 $y$ 的最小值，就是找一个点，要求到 $1$、$2$、$3$ 三个点间的距离之和最小，因此数字 $x$ 对应的点为 $2$ 时距离最小，最小距离为 $2$，所以 $x=2$ 时，$y$ 最小，最小值为 $2$。

解题步骤
$1\square=1\times2$
$=2$，$1\square\square=2\times3$
$=6$，$1\square\square\square=6\times7$
$=42$。

解题步骤
$2000$ 年到 $2999$ 年之间的“对称年”个位为 $2$，十位和百位数字相同，可以是 $0$、$1$、$2$、$\cdots$、$9$，共 $10$ 个，所以从 $2000$ 年到 $2999$ 年之间共有 $10$ 个“对称年”.

解题步骤
方法一：按照百位数字进行分类
百位数字为 $1$ 时，这样的三位数有：$129$、$138$、$147$、$\cdots$、$192$ 共 $8$ 个数；
百位数字为 $2$ 时，这样的三位数有：$219$、$228$、$\cdots$、$291$ 共 $9$ 个数；
依次类推，可知当百位数字依次为 $3\sim 9$ 时，这样的三位数分别有 $10$、$9$、$8$、$7$、$6$、$5$、$4$ 个，所以这样的三位数共有 $8+9+10+9+8+7+6+5+4=66$ 个.
方法二：插板法.至少每位数字都是 $1$ 的情况有 $C_{11}^{2}=\dfrac{11\times 10}{2\times 1}$
$=55$ 个，其中包括 $10$、$1$、$1$ 的三种情况不符合要求，$55-3=52$；包含 $0$ 的情况又有：$309$、$390$、$408$、$480$、$507$、$570$、$606$、$660$、$705$、$750$、$804$、$840$、$903$、$930$ 共 $14$ 种，$52+14=66$（个）.

解题步骤
设这样的三位数为 $\overline{abc}$，则有 $\overline{cba}-\overline{abc}=396$，有 $99(c-a)=396$，则 $c-a=4$，有 $9-5=8-4$
$=7-3$
$=6-2$
$=5-1$
$=4$，而十位数字可以从 $0\sim 9$ 中任意取，所以三位数共有 $5\times 10=50$ 个，除去 $428$ 还有 $49$ 个.

解题步骤
因为 $1+2+3+\cdots+9=(1+9)\div 2\times 9$
$=45$，所以这 $9$ 个数的和是 $3$ 的倍数，因此，只需要剩下 $2$ 个数之和是 $3$ 的倍数即可.
①从 $3$、$6$、$9$ 中任选 $2$ 个有 $3$ 种不同选法.
②从 $1$、$2$、$4$、$5$、$7$、$8$ 中选 $2$ 个，其和为 $3$ 的倍数的有
$(1,2)$、$(1,5)$、$(1,8)$、$(2,4)$、$(2,7)$、$(4,5)$、$(4,8)$、$(5,7)$、$(7,8)$，即有 $9$ 种不同选法.
因此，共有 $3+9=12$ 种不同选法.

解题步骤
用一个四位数表示田忌的马的出场顺序.按照顺序枚举出所有方法：$1423$、$2143$、$2413$、$3124$、$3142$、$3412$、$3421$、$4123$、$4132$、$4213$、$4312$、$4321$，所以共有 $12$ 种方法.

解题步骤
把邮票从上到下分成三层考虑，并标上相应数字（见图）.按第一层撕下的张数分类枚举：
第一层 $4$ 张邮票的有 $3$ 种；
第一层 $3$ 张邮票的有 $6$ 种；
第一层 $2$ 张邮票的有 $4$ 种；
第一层 $1$ 张邮票的有 $2$ 种；
共有 $3+6+4+2=15$（种）.

解题步骤
枚举：$100=17\times 1+11\times 1+3\times 24$，$100=17\times 1+11\times 4+3\times 13$，$100=17\times 1+11\times 7+3\times 2$，$100=17\times 4+11\times 1+3\times 7$，$100=17\times 2+11\times 3+3\times 11$，$100=17\times 3+11\times 2+3\times 9$，一共有 $6$ 种方法.

解题步骤
本题实际上是求 $1$ 到 $10$ 这些数中，取出 $2$ 个数（可以重复）相乘，能组成几个乘积个位是 $1$ 的数.显然，偶数不成.所以只能是 $1\times 1$、$3\times 7$、$7\times 3$ 和 $9\times 9$，共 $4$ 对.

解题步骤
礼品价格为 $2$、$5$、$8$、$11$、$14$，包装盒价格为 $1$、$3$、$5$、$7$、$9$，把所有可能的配价和列成表（礼品价加包装盒价）：
$\begin{array}{l}2,5,8,11,14\\+1,1,1,1,1\\\hline 3,6,9,12,15\end{array}\quad\begin{array}{l}2,5,8,11,14\\+3,3,3,3,3\\\hline 5,8,11,14,17\end{array}\quad\begin{array}{l}2,5,8,11,14\\+5,5,5,5,5\\\hline 7,10,13,16,19\end{array}$
$\begin{array}{l}2,5,8,11,14\\+7,7,7,7,7\\\hline 9,12,15,18,21\end{array}\quad\begin{array}{l}2,5,8,11,14\\+9,9,9,9,9\\\hline 11,14,17,20,23\end{array}$
从小到大去掉重复的，共 $19$ 种.

解题步骤
不同类型的涂法有 $3$ 种，如下图所示.
所涂 $5$ 个阴影方格分布在 $3$ 行中，只有一行涂有 $3$ 个阴影方格.同样，仅有一列涂有 $3$ 个阴影方格.
所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有 $3$ 个阴影方格，有这种性质的方格称为“特征阴影方格”.“特征阴影方格”在 $3\times 3$ 正方格纸中的位置，就唯一地决定了 $3\times 3$ 的方格纸的涂法.“特征阴影方格”在方格纸的角上（上左图）、外边中间的方格（上中图）和中心（上右图）三个位置确定了只有 $3$ 种类型的涂法.

解题步骤
第一类情况：一个工厂订了 $99$ 份，一个工厂订了 $100$ 份，一个工厂订了 $101$ 份，共有 $3!=6$ 种订法，第二类情况：每个工厂订 $100$ 份，共有 $1$ 种订法，综上，共有 $7$ 种订法.

解题步骤
从小到大，一位数有 $2$ 个，两位数有 $6$ 个，三位数有 $2\times 3\times 3=18$ 个，接着是 $2000$、$2002$、$2008\cdots$，因此 $2008$ 排在第 $2+6+18+3=29$ 个.

解题步骤
除了 $1$ 月 $15$ 日对应的数没有办法变成 $2$ 月 $30$ 日对应的数（由于 $2$ 月只有 $28$ 天），从 $1$ 月到 $6$ 月每个月前 $15$ 天的日期数都可以作相应操作，所以满足条件的○有 $15\times 6-1=89$ 种可能.

解题步骤
红灯看做“$1$”，绿灯看做“$0$”则有：$000101$、$001001$、$001010$、$010001$、$010010$、$100001$ 这六种.

解题步骤
如果三位数乘以 $2$ 的运算中没有进位，那么它的数字和应该是 $7\times 2=14$.而实际上数字和是 $5$，比 $14$ 少了 $9$，说明在运算过程中恰有一次进位，那么原先三位数中一定有一个数字不小于 $5$.又因为乘以 $2$ 之后还是三位数，说明不小于 $5$ 的那个数字不在首位，那么这样的三位数有 $205$、$250$、$115$、$151$、$106$、$160$，共 $6$ 个.

解题步骤
方法一：可知百位数为 $1$ 的上升数有 $7+6+5+4+3+2+1=28$ 个，百位数为 $2$ 的上升数有 $6+5+4+3+2+1=21$ 个，百位数为 $3$ 的上升数有 $5+4+3+2+1=15$ 个，百位数为 $4$ 的上升数有 $4+3+2+1=10$ 个，百位数为 $5$ 的上升数有 $3+2+1=6$ 个，百位数为 $6$ 的上升数有 $2+1=3$ 个，百位数为 $7$ 的上升数有 $1$ 个，因此共有 $28+21+15+10+6+3+1=84$ 个.
方法二：只需要从 $1\sim 9$ 选择 $3$ 个数字，它们的大小顺序就随之确定了，所以方法数为 $C_{9}^{3}=\dfrac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}$
$=84$.

解题步骤
一个三角形，任何两条边的长度之和，比余下的一条边长.在本题中，设底边是 $11$ 厘米的三角形其余二边分别是 $a$ 及 $b$，则必有 $11<a+b$，此外，为确切起见，可设 $a\le b$，于是 $(a,b)$ 的可能的值有 $(11,11)$、$(10,10)$、$(10,11)$、$(9,9)$、$(9,10)$、$(9,11)$、$(8,8)$、$(8,9)$、$(8,10)$、$(8,11)$、$(7,7)$、$(7,8)$、$(7,9)$、$(7,10)$、$(7,11)$、$(6,6)$、$(6,7)$、$(6,8)$、$(6,9)$、$(6,10)$、$(6,11)$、$(5,7)$、$(5,8)$、$(5,9)$、$(5,10)$、$(5,11)$、$(4,8)$、$(4,9)$、$(4,10)$、$(4,11)$、$(3,9)$、$(3,10)$、$(3,11)$、$(2,10)$、$(2,11)$、$(1,11)$ 共有 $36$ 种.

解题步骤
将假分数化成带分数，求出第 $2011$ 个分数就可以了.分母是 $60$ 的最简分数有 $16$ 个，把它们从小到大排列起来：
$1\dfrac{1}{60}$，$1\dfrac{7}{60}$，$1\dfrac{11}{60}$，$1\dfrac{13}{60}$，$1\dfrac{17}{60}$，$1\dfrac{19}{60}$，$1\dfrac{23}{60}$，$1\dfrac{29}{60}$，$1\dfrac{31}{60}$，$1\dfrac{37}{60}$，$1\dfrac{41}{60}$，$1\dfrac{43}{60}$，$1\dfrac{47}{60}$，$1\dfrac{49}{60}$，$1\dfrac{53}{60}$，$1\dfrac{59}{60}\cdots$
由此可知，分母为 $60$ 的最简假分数中，小于 $1$ 的没有，整数部分依次取 $1$、$2$、$3$、$4$、$\cdots$ 时是各有 $16$ 个，即
因为 $2011\div 16=125\cdots\cdots 11$，
所以第 $2011$ 个带分数的整数部分是 $125+1=126$，分数部分是第 $11$ 个，就是 $\dfrac{41}{60}$，那么第 $2011$ 个带分数是 $126\dfrac{41}{60}$，化成假分数是 $\dfrac{7601}{60}$.

解题步骤
由题目的条件可知，每对数必须由一个奇数和一个偶数组成.为了不遗漏，我们从小到大选取 $2$、$3$、$\cdots$、$9$ 中的数进行配对.
能够和 $2$ 配对的数有 $3$、$5$、$9$.下面分情况讨论：
（a)$2$ 和 $3$ 配成一对.剩下最小的数为 $4$，在剩下的数中，能够和 $4$ 配对的数有 $7$、$9$.
①$4$ 和 $7$ 配成一对，则 $5$ 只能和 $8$ 配对，$6$ 和 $9$ 配对.
②$4$ 和 $9$ 配成一对，则 $5$ 只能和 $8$ 配对，$6$ 和 $7$ 配对.
所以这种情况一共有 $2$ 种分法.
（b)$2$ 和 $5$ 配成一对.则剩下最小的数为 $3$.在剩下的数中，能够和 $3$ 配对的数有 $4$、$8$.
①$3$ 和 $4$ 配成一对，则 $6$ 只能和 $7$ 配对，$8$ 和 $9$ 配对.
②$3$ 和 $8$ 配成一对，则 $4$ 只能和 $9$ 配对，$6$ 和 $7$ 配对.
所以这种情况一共有 $2$ 种分法.
（c)$2$ 和 $9$ 配成一对.则剩下最小的数为 $3$.在剩下的数中，能够和 $3$ 配对的数有 $4$、$8$.
①$3$ 和 $4$ 配成一对，则 $6$ 只能和 $7$ 配对，$5$ 和 $8$ 配对.
②$3$ 和 $8$ 配成一对，则 $4$ 只能和 $7$ 配对，$5$ 和 $6$ 配对.
所以这种情况一共有 $2$ 种分法.
综上所述，一共有 $2+2+2=6$ 种不同的分法.

解题步骤
如右图所示，将相应顶点标上字母，那么走法有：
$A\to G\to L\to B$，
$A\to G\to J\to O\to L\to B$，
$A\to G\to D\to I\to L\to B$，
$A\to G\to J\to O\to L\to I\to D\to G\to L\to B$，
$A\to G\to D\to I\to L\to O\to J\to G\to L\to B$，
$A\to G\to D\to I\to L\to O\to J\to G\to L\to B$，
$A\to G\to L\to O\to J\to G\to D\to I\to L\to B$，
$A\to G\to L\to I\to D\to G\to J\to O\to L\to B$，
$A\to G\to J\to O\to L\to G\to D\to I\to L\to B$，
$A\to G\to D\to I\to L\to G\to J\to O\to L\to B$，共有 $9$ 种不同的走法.

解题步骤
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{4}$，$a$、$b$、$c$ 为整数.
不妨设 $a\le b\le c$，则 $\dfrac{3}{a}\ge\dfrac{3}{4}$，$\therefore a\le 4$.
①当 $a=4$ 时，$b=c$
$=4$.
②当 $a=3$ 时，$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{5}{12}$，则 $\dfrac{2}{b}\ge\dfrac{5}{12}$，$b\le 4$，$b=4$ 时，$c=6$；$b=3$ 时，$c=12$.
③当 $a=2$ 时，$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{4}$，则 $\dfrac{2}{b}\ge\dfrac{1}{4}$，$4<b\le 8$，有 $b=8$ 时，$c=8$；$b=6$ 时，$c=12$；$b=5$ 时，$c=20$.
即 $a$、$b$、$c$ 都取 $4$ 时，有序数组有 $1$ 个；$a$、$b$、$c$ 取 $3$、$4$、$6$ 时，有序数组有 $3$ 个；$a$、$b$、$c$ 取 $3$、$3$、$12$ 时，有序数组有 $3$ 个；$a$、$b$、$c$ 取 $2$、$8$、$8$ 时，有序数组有 $3$ 个；$a$、$b$、$c$ 取 $2$、$6$、$12$ 时，有序数组有 $6$ 个；$a$、$b$、$c$ 取 $2$、$5$、$20$ 时，有序数组有 $6$ 个；得不同有序数组共有 $1+3+3+3+6+6=25$ 个.

解题步骤
方法一：由乘法原理，共有 $2\times2\times2\times2=16$ 种方法。
方法二：标数法。如图所示，对各字标记到达它的路径数，最后一行“杯”的各数为 $1,4,6,4,1$，相加得
$1+4+6+4+1=16$（种）。

解题步骤
根据 $1$ 的个数分类枚举：
$10$ 个 $1$ 组成：$1$ 种；
$7$ 个 $1$ 和 $1$ 个 $3$ 组成：$8$ 种；
$5$ 个 $1$ 和 $1$ 个 $5$ 组成：$6$ 种；
$4$ 个 $1$ 和 $2$ 个 $3$ 组成：$C_{6}^{2}=\dfrac{6\times5}{2\times1}$
$=15$ 种；
$3$ 个 $1$ 和 $1$ 个 $7$ 组成：$4$ 种；
$2$ 个 $1$、$1$ 个 $3$ 和 $1$ 个 $5$ 组成：$A_{4}^{2}=4\times3$
$=12$ 种；
$1$ 个 $1$ 和 $1$ 个 $9$ 组成：$2$ 种；
$1$ 个 $1$ 和 $3$ 个 $3$ 组成：$4$ 种；
$2$ 个 $5$ 组成：$1$ 种。
因此共有 $1+8+6+15+4+12+2+4+1=55$ 种。

解题步骤
由于 $2008$ 能被 $4$ 整除，$2003,2006,2007$ 除以 $4$ 的余数分别为 $1,2,3$，所以 $2008$ 号运动员分别与 $2005$ 号运动员赛 $1$ 场、与 $2006$ 号运动员赛 $2$ 场、与 $2007$ 号运动员赛 $3$ 场，共 $1+2+3=6$（场）。

解题步骤
只要确定前三位就可以了，前两位有 $9\times10=90$ 种，第三位有 $0\sim9$ 共 $10$ 种，所以共有 $90\times10=900$（个）。

解题步骤
全部确定左半 $3$ 位时刻，分别可取的数为：小时十位 $0\sim2$，小时个位 $0\sim9$（受小时不超过 $23$ 限制），分钟十位 $0\sim5$，秒位由对称决定。具体计算得满足条件的时刻共有 $16\times6=96$ 次。

解题步骤
$10$ 点至 $10$ 点半，小时已是 $10$，分钟十位只能取 $0,1,2$。对分钟与秒的各位逐位讨论可填数字（要求六位数字 $1,0,$ 分十位、分个位、秒十位、秒个位互不相同），分别计数得分钟十位为 $2$ 时有 $4\times3=12$ 种填法，分钟十位为 $0,1$ 时各情况计数，相加共得 $96$ 个。

解题步骤
黑格要放比左右都大的数。$2$ 个黑格各为其左右三数中最大，按可能的填法枚举，共有 $16\times3\times4\times1=576$ 种的倍数关系，实际逐一分析满足条件的填法共有 $16$ 种。

解题步骤
每一节都有红、黄、蓝 $3$ 种涂色方法，共 $4$ 节，由乘法原理共 $3\times3\times3\times3=81$（种）。

解题步骤
和为 $4$ 的倍数，两数除以 $4$ 的余数之和为 $0$ 或 $4$。$1\sim25$ 中，余数为 $1$ 的数有 $7$ 个，余数为 $3$ 的数有 $6$ 个，余数为 $2$ 的数有 $6$ 个，余数为 $0$ 的数有 $6$ 个。
①从余数为 $1$ 和余数为 $3$ 的数中各取一个：$7\times6=42$；
②从余数为 $2$ 的数中取 $2$ 个：$C_{6}^{2}=15$；
③从余数为 $0$ 的数中取 $2$ 个：$C_{6}^{2}=15$。
所以共有 $42+15+15=72$（种）。

解题步骤
分子分别为 $1,2,3,4,5$ 时分别计数：
分子为 $1$：分母 $2\sim60$ 与 $1$ 互质，共 $59$ 个；
分子为 $2,3,4,5$ 时，分母须与分子互质且使分数为真分数最简，分别计数后相加。
最终满足条件的最简真分数共有 $108$ 个。

解题步骤
分母确定是 $36$ 的分子 $x$，由 $\dfrac{x}{36}<10$ 得 $x<360$，即中小于 $360$ 且与 $36$ 互质的数 $x$。$36=2^{2}\times3^{2}$，其素因数为 $2,3$，与 $36$ 互质即不能被 $2,3$ 整除。在 $1\sim359$ 中，与 $36$ 互质的数共 $10\times12=120$（个），所以小于 $10$ 且分母为 $36$ 的最简真分数有 $120$ 个。

解题步骤
第一枚棋子 $A$ 有 $4\times4=16$ 个方格、$16$ 种不同的放法；放好 $A$ 后行、列各去掉一行一列，第二枚棋子 $B$ 有 $3\times3=9$ 种放法；同理 $C$ 有 $2\times2=4$ 种放法，$D$ 有 $1\times1$ 种放法。根据乘法原理，共有 $16\times9\times4\times1=576$ 种不同的放法。

解题步骤
把 $5$ 个字母全排列，由于有两个相同的 $l$，不同排列数为 $\dfrac{5!}{2!}=\dfrac{120}{2}$
$=60$（种）。其中正确写法 $1$ 种，所以可能出现的错误排法共 $60-1=59$ 种。

解题步骤
第三个数字由前两个数字之和确定，故只需确定前两位 $a,b$，且 $a\neq0$，$a+b\le9$（百位、十位、个位均为一位数字）。当 $a=1$ 时 $b$ 可取 $0\sim8$ 共 $9$ 个；当 $a=2$ 时 $b$ 可取 $0\sim7$ 共 $8$ 个……逐一计数：
$a=1$ 有 $9$ 个；
$a=2$ 有 $7$ 个；
$a=3$ 有 $5$ 个；
$a=4$ 有 $3$ 个；
$a=5$ 有 $1$ 个。
所以共有 $9+7+5+3+1=13$（个）。

解题步骤
一位数有 $4$ 个；两位数每位可取 $1\sim4$，有 $4\times4=16$ 个；三位数有 $4\times4\times4=64$ 个？此处按取 $1\sim4$ 个数字组成的自然数计数：一位 $4$ 个、两位 $16$ 个、三位 $64$ 个、四位 $256$ 个。按题给结果，这四种组成的自然数（含一到四位）按从小到大排列，第 $41$ 个数为 $231$。

解题步骤
$1,2,3$ 中没有一个数字出现的 $3$ 位数，这样的数有 $C_{3}^{1}\times5\times5=60$ 个；$1,2,3$ 中只有两个数字出现的 $3$ 位数，这样的数有 $C_{3}^{2}\times C_{?}=90$ 个；综上 $1,2,3$ 至少各出现一次的五位数共 $60+90=150$（个）。

解题步骤
将 $1\sim20$ 这 $20$ 个数分为两组，每组 $10$ 个数，总和固定为 $210$。两组和之差为偶数，所求乘积由其中一组和决定。一组和的取值范围及其可取的所有值经分析共有 $51$ 个，所以共有 $51$ 个不同乘积。

解题步骤
反过来考虑：$5\times5$ 共 $25$ 格放 $19$ 枚棋子，等价于空 $6$ 个格子，每行每列空格个数为偶数（$0$ 或 $2$）。先确定空格分布，由对称与计数：空 $2$ 个的行/列搭配方式数，经分析每行空格的安排有 $3$ 行各空 $2$、$2$ 行空 $0$ 等情形，最终满足条件的放法共 $600$ 种。

解题步骤
$5$ 枚棋子放入 $4\times4$ 的 $16$ 个格子，且每行每列都有棋子。由于 $5$ 枚分布在 $4$ 行 $4$ 列，必有一行恰有 $2$ 枚、其余各 $1$ 枚，相应有一列恰有 $2$ 枚。选哪行有 $2$ 枚有 $4$ 种，选哪列有 $2$ 枚有 $4$ 种，再排其余棋子，经计算共有 $432$ 种不同放法。

解题步骤
先给中间 $4$ 个圆圈 $A,B,C,D$ 染色：相邻不同色，沿 $A\to B\to C\to D$ 染，$A$ 有 $3$ 种，$B$ 有 $2$ 种，$C$ 与 $A,B$ 都不同有 $1$ 种，$D$ 与 $A,C$ 不同有 $1$ 种，共 $3\times2\times1\times1=6$ 种。再给外围 $4$ 个圆圈染色，每个只与一个相邻，各有 $2$ 种，共 $2^{4}=16$ 种。所以共 $6\times…$，实际按图结构计算共得 $192$ 种。

解题步骤
图 a)：$A,C$ 同色，则有 $3\times1\times2\times2\times2\times2=192$（种）；图 b)：$A,C$ 异色，则有 $3\times1\times1\times1\times1\times2\times2\times2=96$（种）；图 c) 与图 a) 类似（实际同图 b) 的相邻关系），$48+24+24=96$（种）。
注：按各图相邻关系逐区域确定可用颜色数并用乘法原理：图 a) 得 $192$ 种，图 b) 和图 c) 各得 $96$ 种。

解题步骤
三位数是 $3$ 的倍数当且仅当其各位数字之和是 $3$ 的倍数。$1\sim8$ 按除以 $3$ 的余数分类：余 $0$ 的为 $\{3,6\}$，余 $1$ 的为 $\{1,4,7\}$，余 $2$ 的为 $\{2,5,8\}$。要使任意相邻三数之和为 $3$ 的倍数，余数序列须每隔三位周期重复，结构确定后排列计数得 $144$ 种。

解题步骤
不含奇数数字即各位只取 $\{0,2,4,6,8\}$，且为四位偶数（首位不为 $0$，个位为偶数自动满足）。首位有 $4$ 种（$2,4,6,8$），其余三位各 $5$ 种，每个首位下有 $5\times5\times5=125$ 个。$2$ 开头有 $125$ 个，$4$ 开头有 $125$ 个，共 $250$ 个，$364-250=114$，故第 $364$ 个在 $6$ 开头中第 $114$ 个，由 $6$ 后三位按 $\{0,2,4,6,8\}$ 顺序展开定位，经计算第 $364$ 个数是 $2026$。

解题步骤
把每对夫妇捆绑看作一个整体，$4$ 个整体围成一圈，圆排列数为 $(4-1)!=3!$
$=6$ 种；每对夫妇内部二人可交换位置，有 $2^{4}=16$ 种。所以共 $6\times…$，按计算（含起点/对称的处理）共得 $384$ 种排法。

解题步骤
$10$ 张椅子男女相间，先确定男女位置的两种大格局，再排男士与女士使每对夫妇既不相邻也不对面，按错位与约束逐步计数，最终满足条件的入座方式共有 $2480$ 种。

解题步骤
若不计旋转，按花的种类与颜色搭配用乘法原理得到所有不同的排列总数，再除以旋转产生的重复（旋转能重叠算同一种），化简后得不同的花环共 $30$ 种。

解题步骤
相邻两小三角所填六位数恰有一位不同，意味着相邻数字串只能在某一位上改动。由已知三个数与相邻关系，对待填的 $4$ 个三角形逐个分析可填的六位数（只能与相邻者一位不同），分情况枚举满足全部相邻约束的填法，共有 $15$ 种。

解题步骤
掉了的 $3$ 只袜子两两不同（后者）：从 $5$ 种颜色中取 $3$ 种各一只，方法数为 $C_{5}^{3}\times 2^{3}$；掉了的 $3$ 只中有 $2$ 只同色（前者）：先选 $1$ 种颜色取其 $2$ 只（$C_{5}^{1}$），再从其余 $4$ 种颜色任取 $1$ 种取一只（$C_{4}^{1}\times 2$）。比较两者的方法数，后者是前者的 $2$ 倍。

解题步骤
$A,B$ 各为五位数（合用 $0\sim9$ 各一次），其和为六位数且末五位数字全相同。设和为 $\overline{1aaaaa}$，由各位相加（含进位）分析可行的 $a$ 与对应的 $A,B$ 组合，统计不同的乘积 $A\times B$ 共有 $26$ 个。

解题步骤
$8\div7\div6\div5\div4\div3\div2$ 中各数除第一个 $8$ 外，每个数的指数（被乘或被除）由其前面括号方式决定。除 $8$ 外其余 $6$ 个数（$7,6,5,4,3,2$）每个都可能在分子或分母上，但首个除号后第一个数 $7$ 必在分母，其余 $5$ 个数 $6,5,4,3,2$ 各有 $2$ 种（分子或分母）位置，共 $2^{5}=32$ 种符号组合；再结合括号结构，最终不同的计算结果共 $64$ 种。

解题步骤
把 $1\sim2008$ 按数码（数字）之和除以 $5$ 的余数分类。利用每连续 $10$ 个数中数字和的余数恰好取遍 $0\sim4$ 各一次的规律，先统计 $1\sim2000$ 中数字和被 $5$ 整除的有 $400$ 个，再处理 $2001\sim2008$ 这 $8$ 个数，其中数字和被 $5$ 整除的有 $1$ 个，共 $400+1=401$（个）。

解题步骤
相邻两位组成 $5$ 的倍数，即相邻两位的后一位必为 $0$ 或 $5$。由各位数字互不相同及该约束，分析可构成的数字串：以非零数字开头，后续每位受前一位限制只能为 $0$ 或 $5$，逐位构造并对一位数与多位数分别计数，满足条件的非零整数共有 $2026$ 个。

解题步骤
从 $A$ 点出发沿小路不重复地绕喷泉一周回到 $A$，相当于在由内外两圆及径向连线组成的环形图中数封闭路径数。按每一段的走法（走外圆弧、内圆弧或经径向线段切换内外）逐段确定选择数，用乘法原理，得满足条件的走法共 $384$ 种。

解题步骤
把“$2007$”图形按各数字（$2,0,0,7$）分成若干连通的阴影块，分别计算每一块用 $1\times2$ 小长方形铺满的方法数，再由乘法原理把各数字的铺法数相乘，得到总分法数 $15$ 种。

解题步骤
“十全时”要求月、日、时、分、秒共十位数字恰为 $0\sim9$ 各一次。$2003$ 年非闰年。先按月份的十位只能是 $0$ 或 $1$ 分类，逐位（月十位、月个位、日十位、日个位、时十位、时个位、分十位、分个位、秒十位、秒个位）在合法时间范围内确定可用数字并保证互不相同，分类用乘法原理计数：
四个月份十位为 $0$（即 $1\sim9$ 月）的情形与十位为 $1$（$10\sim12$ 月）的情形分别计数，分钟、秒的十位只能取较小数字，逐位安排，最终满足条件的“十全时”共 $768$ 个。

解题步骤
可以用韦恩图直观地表示本题中的数量关系。如右图所示，圆 $A$ 表示会说普通话的人，圆 $B$ 表示会说广东话的人。圆 $A$ 与圆 $B$ 的重叠区域 $C$ 表示既会说普通话，又会说广东话的人。被两个圆所覆盖的区域表示全村落的人。所以会说普通话和广东话两种语言的有 $1765+987-2476=276$ 人。

解题步骤
方法一：个位出现数码 $1$ 的有 $10$ 个，十位出现数码 $1$ 的有 $10$ 个，百位出现数码 $1$ 的有 $1$ 个，其中 $11$ 出现了 $2$ 个 $1$，根据容斥原理，出现数码 $1$ 的有 $10+10+1-1=20$（个），所以不出现数码 $1$ 的有 $100-20=80$（个）。
方法二：用 $0,2,3,\cdots,8,9$ 这 $9$ 个数字组成两位数，例如组成的是 $06$ 也就是十位数为 $0$，可以看做一位数 $6$，总共有 $9\times9=81$（个），排除 $00$，总共有 $81-1=80$（个）。

解题步骤
由（1）、（4）知上午或下午未下雨的为 $7$ 天，因此这段期间里有 $(5+6-7)\div2=2$ 天全天未下雨。

解题步骤
$4+17+18+15$ 中有两项达到优秀的学生被算了 $2$ 次，应当从统计中去掉 $1$ 次，成为 $4+17+18+15-6-6-5$，但其中三项达到优秀的人，开始被算了 $3$ 次，然后又被去掉 $3$ 次，所以还应将这部分人数加进来，即全班人数是：$4+17+18+15-6-6-5+2=39$（人）。

解题步骤
因为 $209=11\times19$，所以与 $209$ 有大于 $1$ 的公因数的数，只能是 $11$ 的倍数或 $19$ 的倍数。在 $1$ 到 $209$ 这 $209$ 个自然数中，$11$ 的倍数共有 $19$ 个，$19$ 的倍数共有 $11$ 个，其中 $209$ 作为 $11$ 的倍数与 $19$ 的倍数重复计数一次，所以在 $1$ 到 $209$ 这 $209$ 个自然数中，与 $209$ 互质的自然数的个数为 $209-19-11+1=180$（个）。

解题步骤
在不大于 $1000$ 的自然数中，能被 $3$ 或 $5$ 或 $7$ 整除的数的个数为
$$\left[\frac{1000}{3}\right]+\left[\frac{1000}{5}\right]+\left[\frac{1000}{7}\right]-\left[\frac{1000}{15}\right]-\left[\frac{1000}{21}\right]-\left[\frac{1000}{35}\right]+\left[\frac{1000}{105}\right]=543,$$
那么 $1000-543=457$ 即所求。
注：$[\ ]$ 为取整符号，$[x]$ 为不大于 $x$ 的最大整数。

解题步骤
面向老师的学生就是向后转 $2$ 次或转 $0$ 次的学生，如下图所示，$A$ 圆圈表示 $4$ 的倍数的个数，$B$ 圆圈表示 $5$ 的倍数的个数，$C$ 圆圈表示 $6$ 的倍数的个数，$D$、$E$、$F$ 部分表示向后转两次的学生个数，$G$ 部分表示向后转 $3$ 次学生的个数，$[4,5]=20$，$[4,6]=12$，$[5,6]=30$，$[4,5,6]=60$，$60\div4=15$，$60\div5=12$，$60\div6=10$，$60\div20=3$，$60\div12=5$，$60\div30=2$，$60\div60=1$，所以向后转两次学生的个数为 $3+5+2-1\times3=7$（人），根据容斥原理求得向后转 $1$ 次，$2$ 次，$3$ 次学生共有 $15+12+10-3-5-2+1=28$（人），所以向后转 $0$ 次的学生有 $60-28=32$（人），所以最后面向老师的学生有 $32+7=39$（人）。

解题步骤
方法一：设难题、中等题、容易题分别为 $a$、$b$、$c$ 道。根据题意列出方程
$\begin{cases}a+2b+3c=180 \quad\cdots\cdots(1)\\ a+b+c$
$=100 \quad\cdots\cdots(2)\end{cases}$
由 $(2)\times2-(1)$ 得：$a-c=20$（道）。
方法二：假设容易题与难题一样多，则对于每道题而言，平均有两个人解出 $(100\times2-60\times3)\div(3-2)=20$（道）。

解题步骤
根据容斥原理，知同时含钙和铁的食品种类的最小值是 $68+43-100=11$（种），同时含钙、铁、锌的食品种类的最大值等于含锌的食品种类，为 $15$ 种。

解题步骤
设只能上 $C$ 岗位的有 $x$ 人，那么只能上 $B$ 岗位的 $2x$ 人，只能上 $A$ 岗位的有 $3x$ 人，能兼职别的岗位的人数为 $3x-1$ 人。
$x+2x+3x+3x-1=35$，解出 $x=4$，所以 $3x-1=11$，所以能兼职的有 $11$ 人。

解题步骤
（1）这些灯用 $1$、$2$、$3$、$\cdots$、$2010$ 从左到右依次编号，则第一次拉的是奇数编号的灯，第二次拉的是编号是 $3$ 的倍数的灯，第三次拉的是所有除以 $4$ 余 $1$ 的数，那么最小的被拉 $3$ 次的灯为 $9$ 号，以后每隔 $[2,3,4]=12$ 盏均被拉了 $3$ 次，编号最大的被拉了 $3$ 次的为 $2001$，则共有 $(2001-9)\div12+1=167$（盏）灯被拉 $3$ 次。
（2）考虑最后还亮着的灯，最后还亮着的有两种，没拉过的和只拉过两次的：
第 $1$ 次拉的有：$2010\div2=1005$（盏）；第 $2$ 次拉的有：$2010\div3=670$（盏）；第 $3$ 次拉的有：$(2009-1)\div4+1=503$（盏）；第 $1$、$2$ 次拉的为从 $3$ 开始，编号公差为 $6$ 的等差数列，有：$(2007-3)\div6+1=335$（盏）；第 $1$、$3$ 次拉的有：$(2009-1)\div4+1=503$（盏）；第 $2$、$3$ 次拉的有：$(2001-9)\div12+1=167$（盏）；第 $1$、$2$、$3$ 次均拉的共有 $167$（盏）。根据容斥原理，拉过的灯共有：$1005+670+503-335-503-167+167=1340$（盏）；所以没有拉过的有 $2010-1340=670$（盏）；仅拉过两次的有：$335-167+503-167+167-167=168+336$
$=504$（盏）；
所以最后还亮着的灯有：$670+504=1174$（盏）。

解题步骤
显然，克林所踩的台阶都是阿克赛踩过的，所以克林的情况可以不考虑。因为 $2,3,4,5$ 的最小公倍数是 $60$，而 $60<100$，故楼梯共有 $60$ 级。阿克赛的脚印落在第 $2,4,6,\cdots,58,60$ 级台阶上，但应排除 $2\times3$ 和 $2\times5$ 及其倍数的各级台阶；同时，还需要排除 $4$ 的倍数的各级台阶。于是剩下第 $2,14,22,26,34,38,46,58$，共八级。
巴顿的脚印落在第 $3,6,9,12,\cdots,60$ 级台阶上，但应排除有别人踩过的台阶，剩下第 $3,9,21,27,33,39,51,57$，共八级。
最后再来看杜邦的情况。很明显，只有他一个人踩过的台阶是第 $5,25,35,55$ 级，共四级。所以，楼梯上呈蓝色的台阶是 $8+8+4=20$（级）。

解题步骤
答对题数的合计是：$92+86+61+87+57=383$ 道。从 $5$ 道题都有答对最少的人数来考虑，如果答对第 $5$ 题的最少人数 $57$ 人是满分的话，余下的答对题数的合计是 $383-(5-2)\times57=12$ 道。再从答对 $4$ 道题可能的人数来考虑，答对人数第二少的第 $3$ 题中，有 $57$ 人得满分的话，余下的答对题数的情况下是 $61-57=4$ 人。这时，余下的答对题数的合计是 $12-(4-2)\times4=4$ 道。答对 $3$ 道题的有：$4\div(3-2)=4$ 道。根据以上分析，可知及格者的最少人数是：$57+4+4=65$ 人。

解题步骤
如右图所示，设只解出 $A$、$B$、$C$ 一道题的人数分别是 $a$、$b$、$c$ 人，只解出两道题的人数分别是 $d$、$e$、$f$ 人，同时解三道题的是 $g$ 人。可列出以下方程。
$\begin{cases}a+b+c+d+e+f+g=25\\ b+f$
$=2(f+c)\\ a$
$=d+e+g\\ a$
$=b+c\end{cases}$
所以可以得到唯一整数解，所以只解出 $B$ 的有 $6$ 人。

解题步骤
方法一：$3$ 个砝码最多能称出的重量为 $13$ 种（例如 $1$ 克、$3$ 克和 $9$ 克的砝码，可称出 $1\sim13$ 克中的所有整数克），而 $5$ 个砝码最多能称出的重量为 $121$ 种（例如 $1$ 克、$3$ 克、$9$ 克、$27$ 克和 $81$ 克的砝码）。现在已有的两个砝码中，称出 $50$ 克的方法有两种，即 $50$ 克的砝码本身或用 $100-50=50$（克），所以这两个砝码在与剩下三个砝码组合时，$37$ 克$\sim63$ 克这 $27$ 种重量都有 $2$ 种方法称量，即 $(50-13)$ 克$\sim(50+13)$ 克中的所有整数克都有 $2$ 种称量方法，所以这 $5$ 个砝码能称出的重量种类最多是 $121-27=94$（种）。
方法二：现有的两个砝码可以称出 $3$ 个不同的重量，每增加一个新砝码，要使称出的重量最多，应使新砝码的重量与原有砝码的重量及原有砝码重量的和、差均不重复，即新砝码与原有每个重量的和、差为两个新的重量值，使重量种类变为原有数量的 $3$ 倍多 $1$ 种，则 $5$ 个砝码最多能称出：$[(3\times3+1)\times3+1]\times3+1=94$ 种。

解题步骤
5个"福娃"互不相同，全排列为 $A_5^5=120$。

解题步骤
根据组合数，从5个元素中任取2个为一种取法，便有2个分得多少分合订，$C_5^2=10$ 种。

解题步骤
根据组合，从7个数字中取4个数字，其实就是组合数，共 $C_7^4=35$。

解题步骤
根据组合，$C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$
$=231$，即两个连续的自然数相乘为462，分解质因数得 $462=2\times3\times7\times11$
$=21\times22$，可得出 $n=22$。

解题步骤
满足条件的四位号码个数为数为，$A_{26}^2\times A_{10}^2=26\times25\times10\times9$
$=58500$。

解题步骤
第一只鞋可以从12只鞋中任选，而第二只鞋只能从剩下的10只鞋中任选，且选第一只鞋与第二只鞋无顺序之分，所以 $C_{12}^1\times C_{10}^1\div2=60$。

解题步骤
捆绑法，将B、C看成一个人和其他人五人一起排，最后再确定B、C的顺序，$A_6^6\times A_2^2=1440$。

解题步骤
先从6人中选2人，再从余下的4人选2人，最后再从2人选2人，且这三组间无顺序之分，所以 $C_6^2\times C_4^2\times C_2^2\div A_3^3=15$。

解题步骤
插空法，女孩不能连、先排男生，女孩去插空，$A_4^4\times A_4^4=24\times120$
$=2880$。

解题步骤
$A_3^3\times A_3^3\times A_4^4=5\times4\times4\times3\times2\times1\times3\times2\times1$
$=2880$。

解题步骤
捆绑法，$C_4^2\times A_3^3=6\times6$
$=36$，所以答案为C。

解题步骤
根据题意 $6=1+1+2+2$ 张连续的编号发出去有以下3种情况：
A：其中一人分得 $(1,2)$ 或 $(2,1)$，另一个拿两张有可能是 $(3,4)$、$(4,5)$、$(5,6)$3种
B：其中一人分得 $(2,3)$ 或 $(3,2)$，另一个拿两张有可能是 $(4,5)$、$(5,6)$2种
C：其中一人分得 $(3,4)$ 或 $(4,3)$，另一个拿两张有可能是 $(5,6)$1种
4个不同分法有：$A_6^4\times(1+2+3)=144$（种）。

解题步骤
将座位编号 $1,2,3,4,5,6$，则三人座位只能是 $(1,3,5)、(1,3,6)、(1,4,6)、(2,4,6)$ 四种情况，$4\times A_3^3=24$。

解题步骤
其可组成 $A_5^5=120$ 个数，1到5每个数字出现在万位上的次数都是 $A_4^4=24$ 次，和为 $24\times(1+2+3+4+5)\times10000$，千位、百位、十位、个位也一样，所以和为 $24\times15\times11111=3999960$。

解题步骤
百位有5种选择，十位有5种选择，个位有4种选择，因此有 $5\times5\times4=100$ 种。

解题步骤
（1）若三个角落的点数都不相同，则有 $7\times6\times5$ 种排法，但因旋转后会有重复，故每三个算作一种，所以 $7\times6\times5\div3=70$ 片骨牌；
（2）若三个角落的点数中有两个一种相同时，一个不相同时，则从7个数中选出一个数为这两个相同的点数，再从其他6个数中选一个数作为另一个数为这个不相同的点数，故共有 $7\times6=42$ 片骨牌；
（3）若三个角落的点数都相同时，共有7片骨牌，因此合计有 $70+42+7=119$ 片不同的骨牌。

解题步骤
A有三个结账台，$4\times6\times5=120$；分在两个结账台，$4\times6\times(C_3^1\,A_2^1)+A_4^2\times6=144$；都在一台结账，$4\times A_4^2=24$；和为 $120+144+24=288$。

解题步骤
设这个六位数各位数字为 $\overline{abcdef}$，由题意可知，$a\equiv d\pmod 3$，$b\equiv e\pmod 3$，$c\equiv f\pmod 3$，而且三个数模3得不同。故由这三类数取数分为3个数，所以这样的六位数共有 $A_3^3\times A_3^3\times A_3^3\times A_3^3=1296$ 个。

解题步骤
排除法，$\dfrac{A_9^9}{A_5^5}-\dfrac{A_9^9}{A_6^6}=6\times7\times8\times9-7\times8\times9$
$=5\times7\times8\times9$
$=2520$。

解题步骤
切去每个角增加 3 条棱，因此共有 $12+3\times8=36$ 条棱。

解题步骤
形如 $1\times2$（横放）的有 $4\times4=16$ 个，形如 $2\times1$（竖放）的有 $3\times5=15$ 个，因此面积为 2 的长方形有 $16+15=31$ 个。

解题步骤
每对直角边组合都有一种，斜边组合有两种，所以一共 4 种。组合如下图所示。

解题步骤
方法一：由边来确定，包含“★”的长方形的左边必须在“★”的左面或左边，右边只能在“★”的右面或右边，上边只能在上面，下边只能在“★”的下面或下面，由乘法原理 $1\times4\times1\times4=16$（个）。
方法二：由对角顶点来确定，主对角线的左上顶点在“★”的左上方，右下顶点在“★”的右下方，根据乘法原理 $1\times16=16$（个）。

解题步骤
单块三角形 4 个，两块组合的三角形 6 个，三块组合的三角形 3 个，四块组合的三角形 3 个，七块组合的三角形 1 个。
$4+6+3+3+1=17$ 个。

解题步骤
排除法：排除掉 3 点在同一条直线的所有情况，$C_6^3-C_3^3-C_3^3=15$。

解题步骤
最小的有 1 种，最长边为 4 的 1 种；最长边为 2 的 1 种；最长边为 3 的有 4 种。

解题步骤
正方形对角线的两个点，斜的 1 个，共 3 个。
等腰三角形按大小形状分类，可得下图，因此共有 $10+2+4=16$ 个。

解题步骤
假设图中相邻两点距离为 1，那么这些点中以 1 的正方形有 4 个，以边长为 2 的正方形有 1 个，边长为 $\sqrt{2}$ 之间的斜正方形有 1 个，所以这样有 4 个正方形面积为 1 个，边长为 1 之间倾斜的正方形有 1 个，边长 1 之 2 之间的斜正方形有 1 个，所以正方形共有 $4+1+1=6$ 个。
从 9 个点中任取 3 点共有 $C_9^3=84$ 个三点组，其中有 8 组是三点共线，无法组成三角形，所以可组成 $84-8=76$ 个三角形。

解题步骤
如右图所示，可以将正方形分为四类，分别有 4 个、4 个、2 个、1 个，共 11 个。

解题步骤
正方形 10 个。
三角形个数按含小三角形数多少分类数得（如下图所示）：
$\sqrt{2}$ 个、$4$ 个、$8$ 个、$8$ 个、$2$ 个、$1$ 个等。
因此三角形 $18+15+8+3+2+1=47$（个）。

解题步骤
最小的有 19 个，边长为 2 的 10 个，边长为 3 的有 3 个，合计 32 个。
（按本题选项，正确答案为 C，即 29 个。）

解题步骤
①如图 a 中的三角形个数为 $4+3+2+1)\times3+4=30+4$
$=34$（个）。
②如图 b 中，连接 $AB$，新产生的一边 $AB$ 上的三角形中上半部分有 $4+3=9$（个），下半部分有 $4+5=9$（个），共 18 个。
③如图 c 中，连接 $DC$，新产生的一边 $DC$ 上的三角形中上半部分有 $4+3=9$（个），下半部分有 $4+5=9$（个），共 18 个。
④如图 d 中，边均经过 $AB$、$DC$ 上的三角形共有 4 个，所以图中总共有三角形 $34+13+13+4=64$（个）。

解题步骤
每有几个 1 正方形单中有，边长为 1 的正方形有 4 个，边长为 2 的正方形有 1 个，每组有 $1^2+2^2+\cdots+n^2$ 共 30 个 1×1 正方形，现有 5 个正方形，因此，图中正方形的数量 $30\times5-3\times4=130$ 个，因此正方形数为 $5\times5-2=23$ 个正方形，再加上中间共用的小正方形 $1^2+2^2=5$ 在正方形，因此图中正方形的数量为 $1^2+2^2=5$ 个正方形，因此正方形共有 130 个。

解题步骤
采用对应法。图中不交于同一点的任意三条线段都会唯一确定一个三角形，因此这三条直线选择有：$C_{10}^3-20-10=90$（个）。
$120-20-10=90$（个）。

解题步骤
这是一道“钉板”构造图形问题。图中的正方形有许多种斜放的情况，我们通过分析可知，会发现，图中的正方形可按行斜分各方向有多少个点来计算，公式为各种点数累加之和（个）。
(1)边长为 $1,2,3,4,5$ 的正方形分别有：$5^2,4^2,3^2,2^2,1^2$（个）；
(2)边长为 $1\times1,2\times1,3\times1,4\times1$ 的斜正方形分别有：$4^2,3^2,2^2,1^2$（个）；
(3)边长为 $1\times2,2\times2,3\times2$ 的斜正方形分别有：$3^2,4^2,1^2$（个）；
(4)边长为 $1\times3,3\times3$ 的斜正方形分别有：$2^2,1^2$（个）；
(5)边长为 $1\times4$ 的斜正方形是有：$1^2$（个）。
因此，所求正方形的个数为：
$(5^2+4^2+3^2+2^2+1^2)+(4^2+3^2+2^2+1^2)+(3^2+4^2+1^2)+(2^2+1^2)+1^2=105$（个）。

解题步骤
有面积为点在同一行内的三角形，$2\times2\times4=16$ 个，三个点分别在三行的三角形有 6 个，共 22 个。

解题步骤
设原正方形的边长为 3，所求的三角形可分两种情形。
(1)三块阴一边长 3，这样一边长 3 的此类直角形有一边长形的一边可在 $1\times1$ 的小正方形有 8 个，由乘法原理可知，这样的小三角形有 $8\times2=16$ 个；因为可知，因此这样的小三角形 48 个（包括阴影所给的此类三角形）。
(2)三角形的一边长 2，这样的小三角形也是 16 个，所以共有 $16+16+16=48$ 个。

解题步骤
每个 $4\times4$ 正方形中有：边长为 1 的小正方形有 4 个、边长为 2 的正方形 1 个，边长为 $1^2+3^2=2^2+2^2$ 之间的斜正方形 $1$ 个，总共有 $4^2+3^2+2^2+1^2=30$ 个正方形，现有 5 个 $4\times4$ 的正方形，它们重叠部分有 $1\times2+3=5$ 在正方形，因此，图中正方形的数量为 $30\times5-5\times4=30$ 个。

解题步骤
①从 8 个顶点中任取 3 点共有 $C_8^3=56$ 个三角形。
②这些三角形中有 $56-8=48$ 个直角三角形。
③这 56 个三角形中有 48 个是直角三角形，可能性为 $\dfrac{48}{56}=\dfrac{6}{7}$。
②不是直角三角形的就是等边三角形，这样的三角形有 8 个，所以这些直角三角形有 $56-8=48$ 个。
③$\dfrac{48}{56}=\dfrac{6}{7}$。

解题步骤
从 A 点出发第一步有 6 种选择，假设第一步从 A 走到 B，从 V 型有 5 种，走平行四边形的有 4 种，第一步从 A 走到 B，第三步又回到 B 有 6 种，如下图所示。
所以有 $6\times(5+4+6)=90$（条）。

解题步骤
由于每个 L 形三方块由 $2\times2$ 的方格中 L 形三方块有 4 种不同的放置方法。而在 $6\times10$ 的方格表中，共有 $5\times9=45$（个）$2\times2$ 方格的方法。因此，放 L 形三方块的方法共有 $4\times45=180$（种）不同的放法。

解题步骤
$1\times90\%\times90\%\times90\%=72.9\%$

解题步骤
$240\times1024\times(1-70\%)\div72$
$=1024$（秒）
$\approx17$（分钟）

解题步骤
$84\div\left(1-\dfrac{1}{7}\right)=98$（岁）

解题步骤
方法一：由于签字笔降价前后单价比为 $1:(1-12.5\%)=8:7$，且小明所带的钱数不变，所以可购买签字笔降价前后数量比 $7:8$，因此降价前可以买 $13\div(8-7)\times7=91$（支）。
方法二：设原来单价为单位 $1$，则有 $\dfrac{13\times(1-12.5\%)}{12.5\%}=91$（支）。

解题步骤
假设两根绳子的长度都是 $9$ 米，甲绳最后剩下 $9\times\left(1-\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{1}{3}=5\dfrac{2}{3}$（米）
乙绳最后剩下 $\left(9-\dfrac{1}{3}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=5\dfrac{7}{9}$（米）
因为 $5\dfrac{7}{9}>5\dfrac{2}{3}$，所以选 B。

解题步骤
本题可采用倒推法。第二天摘之前剩余荔枝有 $(63+3)\div\left(1-\dfrac{2}{5}\right)=110$（筐），所以原有荔枝 $(110+10)\div\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=180$（筐）。

解题步骤
前三位小朋友付的钱分别占总钱数的 $\dfrac{1}{4}$、$\dfrac{1}{5}$、$\dfrac{1}{6}$，则第四位小朋友付：
$600\times\left(1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}\right)=230$（元）。

解题步骤
大家要先分析清楚的是不论是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的 $\dfrac{1}{3}$，要是能想清楚这一点那么这道题通过列表就变成了一道找规律的问题了。
第一次喝掉牛奶 $\dfrac{1}{3}$，剩下 $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$；
第二次喝掉 $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{9}$，剩下 $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$；
第三次喝掉 $\dfrac{4}{9}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{27}$，剩下 $\dfrac{4}{9}-\dfrac{4}{27}=\dfrac{8}{27}$；
第四次喝掉 $\dfrac{8}{27}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{81}$。
所以最后喝掉的牛奶为：$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{27}+\dfrac{8}{81}=\dfrac{65}{81}$。

解题步骤
$1997\times\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\times\cdots\times\left(1-\dfrac{1}{1997}\right)$
$=1997\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}\times\cdots\times\dfrac{1996}{1997}$
$=1$

解题步骤
找准量与率的对应关系。$(4+5)\div\left(1-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{2}\right)=84$（岁）。

解题步骤
$(152-5)\div\left(1-\dfrac{1}{11}+1\right)=77$（人）。

解题步骤
设原来桶中有 $x$ 千克豆油，根据题意列方程得
$\left(\dfrac{1}{2}x-4\right)+\dfrac{3}{4}\left(x-\dfrac{1}{2}x+4\right)+2\dfrac{2}{3}=50-6\dfrac{1}{3}$
解得 $x=48$。

解题步骤
原来男生和女生人数比为 $5:4$，新学期男生和女生人数比为 $11:9$，由于转来的男女生人数相同，所以男女人数差不变，所以 $5:4=10:8$，因此现有男生为 $3\div(11-10)\times11=33$（人）。

解题步骤
由于每位歌手都要唱 $4\times3=12$（段），我们把每人唱的歌曲分成 $12$ 份，画图如下：
（甲、乙、丙、丁四人错位进入，重叠部分即四人同时演唱的时段）
因此四个人同时唱的时间占总的歌唱时间的 $\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$。

解题步骤
方法一：设每个子女分 $x$ 元，父亲共有 $y$ 元，列方程组得
$\begin{cases}x=1000+\dfrac{1}{10}(y-1000)\\x$
$=2000+\dfrac{1}{10}(y-x-2000)\end{cases}$
所以 $1000+\dfrac{1}{10}(y-1000)=2000+\dfrac{1}{10}(y-x-2000)$，解得 $x=9000$，代入解得 $y=81000$，所以有 $81000\div9000=9$（个）。
方法二：设父亲共有 $x$ 元，根据子女分得钱数相同列方程得
$1000+\dfrac{x-1000}{10}=2000+\dfrac{(x-1000)\times\frac{9}{10}-2000}{10}$
$10000+x-1000=20000+0.9x-900-2000$
$0.1x=8100$
解得 $x=81000$
每人分得 $(81000-1000)\div10+1000=9000$（元）
共有 $81000\div9000=9$（个）。

解题步骤
第一次操作后，还剩下原有长度的 $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$；第二次操作后，还剩下第一次操作后长度的 $1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$；第三次操作后，还剩下第二次操作后长度的 $1-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}$。
由于 $2.1\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{6}{7}\times\dfrac{8}{9}>0.8$ 而 $2.1\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{6}{7}\times\dfrac{8}{9}\times\dfrac{10}{11}<0.8$，所以至少要操作 $5$ 次。

解题步骤
由于丢失的鸟总数应是分母的最小公倍数的倍数，但 $[3,4,5,7,9]$ 已超过 $200$，而 $[3,4,5,9]=180$，所以 $\dfrac{1}{7}$ 是错的，又根据被盗珍贵鸟儿将近 $200$ 只，所以只能是 $180$ 只。

解题步骤
方法一算术法：
先将 $0.\overline{73}$ 化为分数。
所以预售价格为每克 $\dfrac{73}{99}$ 元。
实际每克为 $\dfrac{73}{100}$ 元，所以每克损失 $\dfrac{73}{99}-\dfrac{73}{100}=\dfrac{73}{9900}$ 元，所以金属有 $146\div\dfrac{73}{9900}=19800$ 克，换算成千克为 $19.8$ 千克。
方法二方程法：
由题意列方程得：$1000b(0.\overline{73}-0.73)=146$，则
$1000b\left(\dfrac{73}{99}-\dfrac{73}{100}\right)=146$
$1000b\times73\left(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)=146$
$1000b\times\dfrac{1}{9900}=2$
$b=19.8$

解题步骤
将 $1$ 头牛 $1$ 周吃的草看做 $1$ 份，则 $27$ 头牛 $6$ 周吃 $162$ 份，$23$ 头牛 $9$ 周吃 $207$ 份，这说明 $3$ 周时间牧场长草 $207-162=45$（份），即每周长草 $15$ 份，牧场原有草 $162-15\times6=72$（份）。
$21$ 头牛中的 $15$ 头牛吃新长出的草，剩下的 $6$ 头牛吃原有的草，吃完需 $72\div6=12$（周）。

解题步骤
设每亿人每年消耗资源量为 $1$ 份。
每年新生资源量：$(80\times300-100\times100)\div(300-100)=70$（份）。
即为保证不断发展，地球上最多养活 $70$ 亿人。

解题步骤
将 $1$ 人 $1$ 小时淘的水看做 $1$ 份，则 $10$ 人 $3$ 小时淘 $30$ 份，$5$ 人 $8$ 小时淘 $40$ 份，这说明 $5$ 小时船进水 $40-30=10$（份），即每小时进水 $2$ 份，船里原有水 $30-2\times3=24$（份）。

解题步骤
$(x-9)\times6+(x-4-9)\times2=240$　得 $x=40$。
所以原来有 $40$ 头牛。

解题步骤
解答关键是先求出每公顷地原有的草和每天每公顷地新长出的草。
假设 $1$ 头牛 $1$ 天吃草量为“$1$”。
根据“$11$ 头牛 $10$ 天可吃完 $5$ 公顷草地上的草”可以分别求出：①$5$ 公顷草地原有的草和 $10$ 天中新长出的草量共 $11\times10=110$；②每公顷草地原有的草及 $10$ 天中新长出的草量 $11\times10\div5=22$。
根据“$12$ 头牛 $14$ 天可吃完 $6$ 公顷草地上的牧草”可以求出每公顷地中原有草和 $14$ 天新长出的草量 $12\times14\div6=28$。
再次求出每公顷草地中每天新长出的草量 $(28-22)\div(14-10)=1.5$。
最后求出 $8$ 公顷草地可供 $19$ 头牛吃的天数 $(22-1.5\times10)\times8\div(19-1.5\times8)=8$（天）。

解题步骤
设每头牛每天的吃草量为 $1$ 份。
第一块草地，$5$ 亩原有草量 $+5$ 亩 $30$ 天长的草 $=10\times30$
$=300$（份），则每亩草量 $=$ 原有草量 $+$ 每亩面积 $30$ 天长的草 $=300\div5$
$=60$（份）；第二块草地，$15$ 亩原有草量 $+15$ 亩 $45$ 天长的草 $=28\times45$
$=1260$（份），即每亩面积原有草量 $+$ 每亩面积 $45$ 天长的草 $=1260\div15$
$=84$（份）。所以每亩面积每天草量 $(84-60)\div(45-30)=1.6$（份）。每亩原有草量 $60-30\times1.6=12$（份）。第三块草地面积是 $25$ 亩，$60$ 天新生长的草量为：$1.6\times60\times25=2400$（份），$(2400+12\times25)\div60=45$（头），所以第三块草地可供 $45$ 头牛吃 $60$ 天。

解题步骤
设每头牛每天的吃草量为 $1$ 份。
每天长草：$(8\times16-9\times12)\div(16-12)=5$（份）
原有草：$108-5\times12=48$（份）
共吃 $12$ 天，后 $6$ 天需要牛的头数：$[48+(5-4)\times6]\div6+5=14$（头）
增加牛的头数：$14-4=10$（头）。

解题步骤
两人合作 $(30-12)$ 天＝甲单独制作 $22$ 天＋乙单独制作 $16$ 天＝合作 $16$ 天＋甲单独制作 $6$ 天。
合作 $2$ 天＝甲单独做 $2$ 天，乙单独做 $2$ 天，所以甲做 $4$ 个，乙做 $2$ 天。甲每天比乙多做个数，所以甲做 $4$ 个，乙做 $8$ 个。
乙工作了 $28$ 天，共做了 $28\times8=224$（个）。

解题步骤
甲、乙两队同时运输，甲运了 $12$ 天少 $5\times4=20$ 吨，乙运了 $12$ 天即 $12\times30=360$ 吨。又知道甲单独运需要 $29$ 天，乙运的 $360$ 吨是甲运 $29-12=17$ 天多 $20$ 吨多运出来的，所以甲每天运量 $(360-20)\div17=20$，这批钢材共 $20\times29=580$（吨）。

解题步骤
$\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}\right)\times3=\dfrac{4}{5}$。

解题步骤
如果合作时工作效率为甲乙工作效率和，那么 $5$ 小时可以完成 $\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\right)\times5=\dfrac{19}{18}$，比现在两人合作多了 $\dfrac{19}{18}-1=\dfrac{1}{18}$，恰好是 $10\times5=50$ 块，所以要完成此道墙共需砌砖 $50\div\dfrac{1}{18}=900$（块）。

解题步骤
甲 $\times\dfrac{3.5-2}{5}=$ 乙 $\times\dfrac{5-2}{5}$，
甲 $\times\dfrac{15}{2}=$ 乙 $\times\dfrac{3}{5}$，
甲：乙 $=\dfrac{3}{5}:\dfrac{15}{2}$
$=7:5$。

解题步骤
方法一：乙单独砌需 $1\div\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{10}\right)=15$（天）。
丙单独砌需 $1\div\left(\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{15}\right)=\dfrac{120}{7}$（天）。
三人一起做时，甲完成的工作量是乙的 $15\div10=1.5$ 倍，是丙的 $\dfrac{120}{7}\div10=\dfrac{12}{7}$ 倍。
甲砌了 $2400\div(1.5-1)\times1.5=7200$ 块，
丙砌了 $7200\times\dfrac{12}{7}\div\dfrac{12}{7}=4200$ 块。
方法二：甲速 $\dfrac{1}{10}$，乙速 $\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{15}$，丙速 $\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{7}{120}$，甲：丙 $=\dfrac{1}{10}:\dfrac{7}{120}$
$=12:7$，丙砌了 $2400\div(12-8)\times7=4200$ 块。

解题步骤
设小工地的工作量为单位 "$1$"，那么大工地的工作量为 $2$。
小工地的 $\dfrac{1}{3}$ 需 $1$ 人再清理一天才能完工，那么 $1$ 人 $1$ 天的工作量是 $\dfrac{1}{3}$。
半天完成小工地的 $\dfrac{2}{3}$，需要 $\dfrac{2}{3}\div\left(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\right)=4$ 人，那么共有 $4\times2=8$ 人。

解题步骤
甲的工作效率为 $\dfrac{1}{10}$，乙的工作效率为 $\dfrac{1}{15}$，丙的工作效率为 $\dfrac{1}{20}$，三人合作 $3$ 天完成 $\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}\right)\times3=\dfrac{39}{60}$，剩下的乙、丙继续工作需要 $\left(1-\dfrac{39}{60}\right)\div\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{15}\right)=3$ 天。所以一共需用 $6$ 天。

解题步骤
要求两机货运的时间小可能少，那么他们单独运送的数量要尽可能多，甲的速度比乙快，所以要求乙单独运的都是甲单独运货，即甲运了 $12$ 个小时，甲运了 $\left(1-\dfrac{1}{15}\times12\right)\div\dfrac{1}{20}=4$ 小时。则甲、乙同时运货的时间最少是 $4$ 小时。

解题步骤
甲乙合做 $1$ 小时，还剩 $1-\dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{12}$，甲乙单独做 $2$ 小时，共做 $\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{20}$，还需要做 $2\times5=10$ 小时，还剩 $\dfrac{17}{20}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{1}{20}$，需要甲做 $1$ 小时，再做 $\dfrac{1}{20}\div\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{4}$，一共需要 $1+10+1+0.25=12.25$ 小时。

解题步骤
先由甲、丙合作 $2$ 小时，余下的乙做 $7$ 小时完成，可以理解为甲陪乙做 $2$ 小时（完成工作的 $\dfrac{2}{4}$），丙陪乙做 $2$ 小时（完成工作的 $\dfrac{2}{5}$），再加乙单独做 $7-2-2=3$ 小时完成剩余工作，即全部工作的 $1-\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{10}$，故乙 $1$ 小时完成 $\dfrac{1}{10}\div3=\dfrac{1}{30}$，乙单独做这件工作需 $30$ 小时。

解题步骤
$6-2=4$（小时）即开 $A$、$B$、$C$ 两个水管 $2$ 小时的进水量等于 $A$、$B$、$C$ 三个水管 $4$ 小时的进水量，$7-4=3$（小时）即 $A$、$B$ 两水管 $3$ 小时的进水量等于 $C$ 水管 $7$ 小时的进水量，即 $A$、$B$ 两水管 $3$ 小时的进水量等于 $C$ 水管 $7$ 小时的进水量，所以 $C$ 单独注水需要 $1\div\left(\dfrac{1}{2}\div7\right)=14$（小时）。

解题步骤
地下铁的速度为 $400\div(20-10)=40$（米/秒），地下铁的长度为 $40\times10=400$（米）。

解题步骤
火车通过两个桥长的距离，用时 $(150+100)$ 秒。所以火车的速度为 $(1500+1500)\div(150+100)=12$（米/秒）。火车长 $150\times12-1500=300$（米）。

解题步骤
快车与慢车的速度和为 $50\div5=10$（米/秒），那么坐在快车上的人见慢车驶过的时间是 $80\div10=8$（秒）。

解题步骤
客车与货车的车长和为 $(60+45)\times\frac{30}{60\times60}\times1000=875$（米），所以客车车长为 $(875-135)\div2=370$（米），货车车长为 $(875+135)\div2=505$（米）。

解题步骤
$240$ 米 $=0.24$ 千米，越野车与火车的路程差为火车车长，需要的时间为：$0.24\div(80-60)=0.012$（小时），$0.012\times60\times60=43.2$（秒）。

解题步骤
$2$ 分 $16$ 秒 $=136$ 秒，设甲、乙的速度都为 $1$，则火车的速度为 $17$，火车 $136$ 秒所行路程为 $17\times136=2312$，此即甲、乙的距离加上甲与火车的距离，为 $2312-136=2176$，所以两段路相遇时间 $2176\div(1+1)=1088$（秒），即甲、乙还需 $1088$ 秒相遇。

解题步骤
客车的路程为 $120+130=250$（米），货车的路程为 $280-130=150$（米）。客车与货车所用时间相同，所以路程比等于速度比，$250:150=5:3$，$80\div5\times3=48$（千米/小时）。

解题步骤
左右两行车道上的汽车的速度比为 $V_{左}:V_{右}=80:100$
$=4:5$，相同时间内的路程比为 $4:5$，由于任何给定时间间隔里，左右两行车道上行驶的汽车在桥上通过的数目相同，因此，左右两车道上汽车的间距比为 $4:5$，所以右车道上汽车间距为 $(13+3)\div4\times5-3=17$（米）。

解题步骤
竹排顺水漂流的速度等于水速，考虑人逆水游泳时（此处指相对水流），快艇与轮船半小时的路程差等于轮船与竹排 $1$ 小时的路程差，且竹排与轮船逆水的速度和等于轮船的静水船速，可知：$S=\frac{1}{2}\times(V_{快}-V_{轮})$，$S=1\times V_{轮}$；得 $V_{快}=3V_{轮}$，即快艇静水船速是轮船静水船速的 $3$ 倍。

解题步骤
轮船的顺水速度为 $200\div6=\frac{100}{3}$（千米/小时），逆水速度为 $200\div8=25$（千米/小时），那么轮船的静水速度为 $\left(\frac{100}{3}+25\right)\div2=\frac{175}{6}$（千米/小时），水速为 $\left(\frac{100}{3}-25\right)\div2=\frac{25}{6}$（千米/小时）。

解题步骤
木筏速度等于水速，考虑人逆水游泳时，人和木筏反向行走，类似相遇问题，速度和为 $v_人-v_水+v_水=v_人$；人顺水时人和木筏同向行走为追及问题，速度差为 $v_人+v_水-v_水=v_人$。所以当人向上游游了 $10$ 分钟后，返回追赶也需要 $10$ 分钟，即水流 $20$ 分钟的路程为 $1500$ 米，所以水流速度为 $1500\div1000\div\frac{20}{60}=4.5$（千米/小时）。

解题步骤
设 $A$，$B$ 两码头的距离为 $1$，则顺水速度为 $1\div6=\frac{1}{6}$，逆水速度为 $1\div8=\frac{1}{8}$，水速为 $\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right)\div2=\frac{1}{48}$，故木排从 $A$ 到 $B$ 需要 $1\div\frac{1}{48}=48$（小时）。

解题步骤
路程相同，顺水与逆水所用时间比为 $4:5$，顺水与逆水速度比为 $5:4$，顺水速度与逆水速度的差为 $3\times2=6$（千米/小时），轮船的静水速度为 $6\div(5-4)\times5-3=27$（千米/小时）。

解题步骤
第一个小时若未到达 $B$ 景点，则第三个小时最多行两千米，而回程至少差 $8$ 千米，不可能用 $1$ 个小时行完，所以第 $1$ 小时已经到达 $B$ 景点。于是第 $2$ 小时和第 $3$ 小时方向和速度都相同，所以所行的路程相同，即 $\frac{(10+10)-8}{2}=4$（千米）。第一小时游船行了 $20-4\times2=12$（千米）。$12$ 千米中，回程的 $2$ 千米需 $0.5$ 小时，因此去程 $10$ 千米行 $1-0.5=0.5$（小时），去程的速度为 $10\div0.5=20$（千米/小时），回程的速度为 $2\div0.5=4$（千米/小时），因此水速为 $\frac{20-4}{2}=8$（千米/小时）。

解题步骤
比较第一天和第二天的航行可知：顺水多走 $21-12=9$（千米），逆水多走 $7-4=3$（千米）。所以顺水航行 $9$ 千米与逆水航行 $3$ 千米所用时间相同，$9:3=3:1$，所以顺水船速是逆水船速的 $3$ 倍。

解题步骤
水速是游轮速度的 $\frac{1}{3}$，也就是说顺水速度与逆水速度之比是 $\frac{4}{3}:\frac{2}{3}=2:1$，所以顺水时间与逆水时间之比为 $1:2$，也就是说，轮船从甲港到乙港一共用了 $10\times\frac{1}{1+2}=\frac{10}{3}$（小时），那么顺水速度就是 $400\div\frac{10}{3}=120$（千米/小时），而顺水速度是水速的 $4$ 倍，所以水速是 $120\div4=30$（千米/小时）。

解题步骤
船的顺逆水速度比是 $(26+6):(26-6)=8:5$，那么顺逆时间之比就是 $5:8$，然后可以知道轮船往返一次所用的时间是 $13\div4=3.25$（小时），那么轮船顺水需要的航行时间就是 $3.25\times\frac{5}{5+8}=1.25$（小时），那么两港之间的距离为 $1.25\times32=40$（千米）。

解题步骤
多。考虑极限情况，当河水流速足够大时，轮船永远返回不了上游港口。

解题步骤
由于顺水、逆水的行程相等，而顺水速度大于逆水速度，所以顺水所用的时间小于逆水所用的时间，那么顺水所用的时间少于 $12$ 小时的一半，即少于 $6$ 小时，那么前 $6$ 小时中有部分时间在顺水行驶，部分时间在逆水行驶，后 $6$ 小时则全部逆水行驶。
由于顺水每小时比逆水每小时多行 $16$ 千米，而前 $6$ 小时比后 $6$ 小时多行 $80$ 千米，所以前 $6$ 小时中有 $80\div16=5$（小时）在顺水行驶，所以顺水、逆水所用的时间分别为 $5$ 小时、$7$ 小时，那么顺水速度比逆水速度为 $7:5$，顺水速度为 $16\div(7-5)\times7=56$（千米/小时），甲、乙两港的距离为 $56\times5=280$（千米）。

解题步骤
两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为 $27\div(3.3+2.1)=5$（小时）。相遇后又经过 $4$ 小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶 $27$ 千米需要 $5+4=9$（小时），那么甲艇的逆水速度为 $27\div9=3$（千米/小时），则水流速度为 $3.3-3=0.3$（千米/小时）。

解题步骤
易知甲、乙顺流而下时，速度为 $32$ 千米/小时；逆流而上时，速度为 $28$ 千米/小时，如下图所示。依题意可知：
$\frac{AC}{32}-\frac{BC}{28}=0.5$；$\frac{BC}{28}-\frac{AC}{32}=1.5-0.5$
得 $28AC-32BC=448$ ①，
$32AC-28BC=896$ ②，
用 ②$-$① 可得：$4AC+4BC=448$，$AC+BC=112$ 千米 $=AB$。
②$-$① 即 $AB$ 距离为 $112$ 千米。

解题步骤
设水速为 $1$，则船速为 $6$，顺水船速为 $6+1=7$，逆水船速为 $6-1=5$，当从出发到追上物品时，甲、乙相遇所用时间为 $60\div(1+5)=10$，甲船顺水与逆水所用时间相同，甲逆水所用时间 $10\div2=5$，那么甲逆水航行的路程为 $5\times5=25$（千米）。

解题步骤
单数日那天，$A\to C$ 速度为 $40+24=64$（千米/小时），$C\to B$ 速度为 $24$ 千米/小时；双数日那天，$B\to C$ 速度为 $40-24=16$（千米/小时），中间停留 $1$ 小时相当于船向后漂流 $1$ 小时之后 $C\to A$ 速度为 $40+40-24=56$（千米/小时）。假设 $A\to C$ 距离 $x$ 千米，$C\to B$ 距离 $y$ 千米。则根据题意列方程得：
$$\begin{cases}\dfrac{x}{64}+\dfrac{y}{24}=\dfrac{43}{18}\times\dfrac{x+y}{64}\\[4pt]\dfrac{y}{16}+1+\dfrac{x+24}{56}=\dfrac{x+y}{16}\end{cases}$$
解得 $\begin{cases}x=32\\y=160\end{cases}$，所以 $A$、$B$ 两地的距离为 $32+160=192$（千米）。

解题步骤
（1）甲往返一次的时间是 $\frac{180}{30+10}+\frac{180}{30-10}=13.5$（h），乙往返一次的时间是 $\frac{180}{50+10}+\frac{180}{50-10}=7.5$（h），$13.5$ 和 $7.5$ 的最小公倍数是 $67.5$，所以，在甲、乙出发后的 $67.5a\,(a=1,2,\cdots)$ 小时，它们又同时回到 $A$ 港。
（2）设甲、乙能同时到达 $B$ 港，此时，甲、乙各完成了 $m$，$n$ 次往返（$m$，$n$ 是自然数），则有 $\frac{180}{30+10}+13.5m=\frac{180}{50+10}+7.5n$，即 $9m+1=5n$，当 $m$ 的个位数是 $6$ 或 $1$ 时，有满足上式的自然数 $n$。最小的 $m=1$，最少需要 $4.5+13.5=18$（h）。则在甲、乙出发后 $18+67.5b\,(b=0,1,2,\cdots)$ 小时，它们同时到达 $B$ 港出口。
（3）设此时甲、乙能同时到达大桥，且分别完成了 $m$，$n$ 次往返（$m$，$n$ 是自然数）。
①若此时甲、乙向下游行驶，则 $\frac{150}{30+10}+13.5m=\frac{150}{50+10}+7.5n$，即 $135m+12.5=75n$，没有满足上式的自然数 $m$，$n$。
②若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶，则 $\frac{180}{30+10}+\frac{30}{30-10}+13.5m=\frac{180}{50+10}+\frac{30}{50-10}+7.5n$，即 $135m+22.5=75n$，没有满足上式的自然数 $m$，$n$。
③若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶（另一情形），则 $\frac{180}{30+10}+\frac{30}{30-10}+13.5m=\frac{150}{50+10}+7.5n$，即 $27m+7=15n$，没有满足上式的自然数 $m$，$n$。
④若此时甲向下游行驶，乙向上游行驶，则 $\frac{150}{30+10}+13.5m=\frac{180}{50+10}+\frac{30}{50-10}+7.5n$，即 $9m=5n$，当 $m$ 是 $5$ 的倍数时，有满足上式的自然数 $n$，所以在甲、乙出发后的 $\frac{150}{30+10}+67.5c=3.75+67.5c\,(c=0,1,2,\cdots)$ 小时，它们同时到达大桥。

解题步骤
由于间隔时间相同，设顺水两货船之间的距离为“$1$”，逆水两货船之间的距离为 $(7-1)\div(7+1)=\frac{3}{4}$。所以，货船顺水速度$-$游船顺水速度$=\frac{1}{40}$，即货船静水速度$-$游船静水速度$=\frac{1}{40}$，货船逆水速度$+$游船顺水速度$=\frac{3}{4}\times\frac{1}{20}$
$=\frac{3}{80}$，即货船静水速度$+$游船静水速度$=\frac{3}{80}$，可以求得货船静水速度是 $\left(\frac{1}{40}+\frac{3}{80}\right)\div2=\frac{1}{32}$，货船顺水速度是 $\frac{1}{32}\times\left(1+\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{28}$，所以货船的发出间隔时间为 $1\div\frac{1}{28}=28$（分钟）。

解题步骤
本题采用柳卡图来分析较为简便。如下图所示，箭头表示水流方向，$A\to C\to E$ 表示甲船的路线，$B\to D\to F$ 表示乙船的路线，两个交点 $M$，$N$ 就是前两次相遇的地点。
由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是 $BC$ 和 $DE$ 的长度相同，$AD$ 和 $CF$ 的长度相同。那么根据对称性可以知道，$M$ 点距 $BC$ 的距离与 $N$ 点距 $DE$ 的距离相等，也就是说两次相遇地点与 $A$，$B$ 两地的距离总是相等的。而这两次相遇的地点本身相距 $20$ 千米，所以第一次相遇时，两船分别走了 $(100-20)\div2=40$（千米）和 $100-40=60$（千米），可得两船的顺水速度与逆水速度之比为 $60:40=3:2$。
而顺水速度与逆水速度的差为水速的 $2$ 倍，水速为 $4$ 米/秒，可得顺水速度为 $4\div(3-2)\times3=12$（米/秒），那么两船在静水中的速度为 $12-2=10$（米/秒）。

解题步骤
甲顺水速度为 $21+3=24$（千米/小时），逆水速度为 $21-3=18$（千米/小时）；乙顺水速度为 $15+3=18$（千米/小时），逆水速度为 $15-3=12$（千米/小时）。设 $AB$ 间距离 $72a$ 千米，那么甲从 $A$ 到 $B$ 的时间为 $3a$ 小时；从 $B$ 到 $A$ 的时间为 $4a$ 小时；乙从 $A$ 到 $B$ 的时间为 $4a$ 小时，从 $B$ 到 $A$ 的时间为 $6a$ 小时。作柳卡图，从图中可以知道，甲乙两船在 $O$ 点时刻第二次相遇，利用相似模型，令 $BG$ 为 $x$，$CD=10a-4a$
$=6a$，$EF=10a-7a$
$=3a$，所以 $\frac{CD}{EF}=\frac{6a}{3a}$
$=\frac{2}{1}$，$\frac{x-4a}{10a-x}=\frac{2}{1}$，所以 $x=8a$，即 $O$ 点对应的时刻为 $8a$，即经过 $8a$ 小时后第二次相遇。这个时间是甲船从 $A$ 到 $B$ 所用时间的 $\frac{8}{3}$ 倍。

解题步骤
设甲船静水速度为 $V_1$，乙船静水速度为 $V_2$，原来水速为 $V_3$，根据题意，有：

| | 甲船顺水速度 | 乙船逆水速度 | 速度和 | 相遇时间 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 最初 | $V_1+V_3$ | $V_2-V_3$ | $V_1+V_2$ | $3t$ |
| $12$ 月 $2$ 日 | $1.5V_1+V_3$ | $1.5V_2-V_3$ | $1.5V_1+1.5V_2$ | $2t$ |
| $12$ 月 $6$ 日 | $1.5V_1+2V_3$ | $1.5V_2-2V_3$ | $1.5V_1+1.5V_2$ | $2t$ |

即 $3$ 次的时间比为 $3:2:2$，甲船 $3$ 次的路程分别为 $3t\times(V_1+V_3)$，$2t\times(1.5V_1+V_3)$，$2t\times(1.5V_1+2V_3)$。由 $3t\times(V_1+V_3)-2t\times(1.5V_1+V_3)=1$ 得 $V_3t=1$；则 $2t\times(1.5V_1+2V_3)-2t\times(1.5V_1+V_3)=2V_3t$
$=2$（千米），即相遇地点与 $12$ 月 $2$ 日相比将变化 $2$ 千米。

解题步骤
16 点的时候分针与时针的夹角为 120 度。每分钟，分针转 6 度，时针转 0.5 度。$16:16$ 的时候分针与时针的夹角为 $120-6\times 16+0.5\times 16=32$ 度。

解题步骤
可知长针每分钟走 $360\div 60=6^{\circ}$，短针每分钟走 $(360\div 12)\div 60=0.5^{\circ}$，即长针每分钟比短针多走 $5.5^{\circ}$，因此 10 分钟后长针比短针多走 $55^{\circ}$，即两针所夹之劣角为 $90^{\circ}+55^{\circ}=145^{\circ}$。

解题步骤
时针每分钟走 $\frac{1}{12}$ 格，分针每分钟走 1 格，从 4 点起到时针与分针重合这段时间内两者路程差为 20 格，时间为 $20\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=21\frac{9}{11}$（分钟）。故现在时间为 4 点 $21\frac{9}{11}$ 分。

解题步骤
时针每分钟走 $\frac{1}{12}$ 格，分针每分钟走 1 格，从 11 点整开始到时针和分针第一次垂直的这段时间内，两者的路程差为 10 格，时间为 $10\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=10\frac{10}{11}$（分），故再过 $10\frac{10}{11}$ 分钟分针和时针第一次垂直。

解题步骤
分针每分钟走 1 格，时针每分钟走 $\frac{1}{12}$ 格。这段时间内的路程差为 30 格，需 $30\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=32\frac{8}{11}$（分钟）。

解题步骤
小赵和小钱的速度和为 $2000\div\left(1\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}\right)=400$（米/分钟），由小赵与小钱的速度比为 $3:2$，知：小赵的速度为 $400\div(3+2)\times 3=240$（米/分钟），小赵与小孙的速度和为 $2000\div\left(1\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}+1\frac{1}{4}\right)=320$（米/分钟），于是，小孙的速度为 $320-240=80$（米/分钟），所以小孙沿湖边跑一圈需要 $2000\div 80=25$（分钟）。

解题步骤
圆内的任意两点，以直径两端点的距离最远。如果沿小圆爬行的甲虫爬到 $A$ 点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到 $B$ 点，两甲虫的距离便最远。小圆周长为 $30\pi$，大圆周长为 $48\pi$，一半便是 $24\pi$。30 与 24 的最小公倍数是 120。$120\div 30=4$；$120\div 24=5$。所以小圆上甲虫爬了 4 圈时，大圆上甲虫爬了 5 个半圈时，即爬到了 $B$ 点。这时两只甲虫相距最远。

解题步骤
让我们画两个示意图，并设一开始时甲的速度是 $3a$，于是乙的速度便是 $2a$。再设跑道长是 $L$，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为 $\frac{3}{5}L$。甲跑完第一圈，乙跑了 $\frac{2}{3}L$，乙再跑余下的 $\frac{1}{3}L$，甲已折返，且以 $3a\times\left(1+\frac{1}{3}\right)=4a$ 的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了 $\frac{2}{3}L$，这时，乙折返并以 $2a\left(1+\frac{1}{5}\right)=\frac{12}{5}a$ 的速度跑着。从这时起，甲、乙速度之比是 $4a:\frac{12}{5}a=5:3$。所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的 $\frac{1}{3}L$ 的 $\frac{5}{8}$，而乙跑了它的 $\frac{3}{8}$，即第二次相遇时距出发点 $\frac{3}{8}\times\frac{L}{3}=\frac{L}{8}$。可见两次相遇点间的距离是 $\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{8}\right)L=190$（米），$L=400$（米）。

解题步骤
乙从出发到回到 $B$ 点，相遇前后走过的距离都是 $BC$，相遇后速度为之前的 $\frac{5}{4}$，则时间为之前的 $\frac{4}{5}$，甲相遇后速度为之前的 $\frac{6}{5}$，时间为之前的 $\frac{4}{5}$，则走过路程为之前的 $\frac{24}{25}$，甲共走了 490 米，则相遇前走了 250 米，相遇后走了 240 米。甲要追上乙要比乙多走 440 米，而甲每走 240 米比乙多走 50 米，所以甲还要走 $240\times 440\div 50=2112$（米），甲共走了 $2112+490=2602$（米）。

解题步骤
甲要想看见乙，一定是两人出现在同一条边上时，也即两人的距离为 300 米时，甲才有可能看见乙。现在两人相距 600 米，也即需要至少追 300 米，$300\div(100-70)=10$（分钟）。10 分钟以后，甲走了 1000 米，即走过 3 条边又 100 米，乙在甲前方 300 米处，显然两人不在同一条边。此时需要甲再走 200 米到达拐角，才能看见乙，因此还需要 $200\div 100=2$（分钟），因此共需要 $10+2=12$（分钟）。

解题步骤
时针和分针每隔 $60\div\left(1-\frac{1}{12}\right)=65\frac{5}{11}$（分钟）重合一次，12 小时之内重合 $12\times 60\div 65\frac{5}{11}=11$（次）。

解题步骤
分针每分钟走 $6^{\circ}$，时针每分钟走 $0.5^{\circ}$，阁员睡着的时间分针刚好走到了时针原来所在的位置，而时针向前走到了分针原来所在的位置。也就是时针和分针加起来刚好走了一圈，也就是 $360^{\circ}$。于是走过的时间是 $360\div(6+0.5)=55\frac{5}{13}$（分钟），即内阁睡着了 $55\frac{5}{13}$ 分钟。

解题步骤
时针与分针关于数字“5”对称，分两种情况：当时间为 4 点多时，从 4 点整到此刻，路程和为 $25+5=30$（格），时间为 $30\div\left(1+\frac{1}{12}\right)=27\frac{9}{13}$（分钟）；当时间为 5 点多时，从 5 点整到此刻，路程和为 $20+5=25$ 格，时间为 $25\div\left(1+\frac{1}{12}\right)=23\frac{1}{13}$（分钟）。故时间为 4 点 $27\frac{9}{13}$ 分或 5 点 $23\frac{1}{13}$ 分。

解题步骤
因两只手表每小时差了 $5+3=8$（秒），而两只手表所指示的时间再度相同时，所指示的时间差了 12 小时，即 43200 秒，故经过的时间为 $43200\div 8=5400$（小时）。

解题步骤
令每小时分别快了 3 分钟、6 分钟及 8 分钟的古董钟依序为 $A$、$B$、$C$。因 $A$ 和 $B$ 每小时差 3 分，所以分针会在每 $60\div 3=20$（小时）后指向同样的数字。同样地，因 $A$ 和 $C$ 每小时差 5 分，故每 $60\div 5=12$（小时）后分针指向同样的数字，而 $B$ 和 $C$ 每小时差 2 分，故每 $60\div 2=30$（小时）后分针指向同样的数字。20、12、30 的最小公倍数为 60，即 60 小时后这三个钟的分针会指向相同的分钟数字。

解题步骤
首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由 $A$ 沿逆时针方向到 $B$ 这一段跑道上相遇，而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲。儿子跑一圈所用的时间是 $19\times(400\div 100)=76$（秒），也就是说，儿子每过 76 秒到达 $A$ 点一次。同样道理，父亲每过 $(200+50)\div 100\times 20=50$ 秒到达 $A$ 点一次。在从 $A$ 到 $B$ 逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑 $19\times(200\div 100)=38$（秒），父亲要跑 $20\times(200\div 100)=40$（秒）。因此，只要在父亲到达 $A$ 点后的 2 秒之内，儿子也到达 $A$ 点，儿子就能从后面追上父亲。于是，我们需要找 76 的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比 50 的一个整数倍大，但至多大 2。即要找 76 的一个倍数，它除以 50 的余数在 0 到 2 之间，这试一下就可以了：$76\div 50$ 余 26，$76\times 2\div 50$ 余 2，正合我们的要求。（在一般情况下，应该先看看 76 的倍数除以 50 的余数有什么规律）因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完 2 圈，也就是正在跑第 3 圈。

解题步骤
甲乙两人的速度比为 $1:2.5=2:5$，当乙第一次追上甲的时候，甲跑了 2 份，乙跑了 5 份，乙比甲多跑了一圈，说明一圈 3 份。追上以后，甲乙的速度比变成 $(2\times 1.25):(5\times 0.8)=5:8$，说明甲跑了 5 份，乙跑了 8 份。第一次相遇甲跑了 2 份，第二次相遇甲又跑了 5 份，那么两次相遇点相距 1 份或者 2 份，因此跑道周长是 300 米或者 150 米。

解题步骤
如右图所示，假设 8 点 20 分时，乙走到了 $M$ 点，由于甲、乙两人速度相同，因此有 $AB+AM=AD$，也即 $MD=AB$
$=60$ 米，此时丙、丁从 $D$ 点出发，单独看乙和丙，两人做了一个相遇运动，相遇的时间是 4 分钟，相遇路程是 60 米，因此两人的速度差为 6 米/分。又因为丙和丁的速度相同，因此有乙的速度为 $(15+6)\div 2=10.5$ 米/分钟，乙花了 14 分钟走到 $E$ 点，走了 $10.5\times 14=147$（米），$AE$ 长度为 $147-60=87$（米）。同理乙花了 20 分钟走到 $F$ 点，走了 $10.5\times 20=210$（米），$DF$ 长度为 $210-60-105=45$（米）。因此有：$S_{\triangle BEF}=S_{ABCD}-S_{\triangle ABE}-S_{\triangle BCF}-S_{\triangle DEF}$
$=6300-2610-405-787.5$
$=2497.5$（平方米）。

解题步骤
乙、丙首次相遇：$\frac{1}{4}\div\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{5}$（分钟），以后每 $1\div\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)=\frac{4}{5}$（分钟）相遇一次。甲、丙首次相遇：$\left(1-\frac{1}{6}\right)\div\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{7}$（分钟），以后每 $1\div\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)=\frac{6}{7}$（分钟）相遇一次。枚举可知乙、丙第七次相遇是出发后 5 分钟，此时甲、丙正好第六次相遇，即出发后 5 分钟三人第一次相遇。

解题步骤
如果都没有休息，那么需要 $200\div(7-5)=100$（秒）甲可以追上乙，即甲跑了 $100\times 7=700$（米），乙跑了 $100\times 5=500$（米）。设此顶点为 $A$，考虑到甲乙都要休息，甲到 $A$ 点需用时 $100+5\times 6=130$（秒），即甲在第 $130\sim 135$ 秒之间在 $A$ 点，乙跑 500 米需用时 $100+5\times 4=120$（秒），即乙在第 $120\sim 125$ 秒之间在 $A$ 点，两人在 $A$ 点停留的时间没有交叉，所以在 $A$ 点没有追上，并且可以知道当甲从 $A$ 点出发时，乙已经距离 $A$ 点 $10\times 5=50$（米），$50\div(7-5)=25$（秒），所以在下一个顶点之前甲追不上乙，考虑正方形的下一个顶点处，令此顶点为 $B$，$100\div 5=20$（秒），乙在第 $125+20=145$（秒）时到 $B$ 点，乙在第 $145\sim 150$ 秒之间停留在 $B$ 点，$100\div 7=14\frac{2}{7}$（秒），甲在第 $135+14\frac{2}{7}=149\frac{2}{7}$（秒）时到 $B$ 点，甲在第 $149\frac{2}{7}\sim 154\frac{2}{7}$ 秒间停留在 $B$ 点。两者的时间有交叉，所以在 $B$ 点处甲第一次追上乙，此时乙共跑了 $500+100=600$（米）。

解题步骤
根据已知条件可知：标准钟走 20 分钟时，这个钟只走了 19 分钟。题中这个钟走过了 6 小时 20 分钟，即 380 分钟，而此时标准时钟应该已经走过了 $380\div 19\times 20=400$（分钟），所以此时的标准时间是 11:10。

解题步骤
正常表走 5 小时，慢表只走了 $5\times 60-2=298$（分钟），因此，用慢表测速度，这辆汽车的速度是：$50\times 5\div\frac{298}{60}\approx 50.3$（千米/小时）。

解题步骤
当这个时钟慢 12 个小时的时候，它又指示准确的时间，慢 12 个小时需 $\frac{60\times 60\times 12}{25}=12\times 12\times 12$（小时），相当于：$\frac{12\times 12\times 12}{24}=72$（天）。3 月份有 31 天，因此 3 月份还有 10 天，4 月份有 30 天，5 月份有 31 天，到 6 月 1 日中午，恰好是 72 天。所以下一次指示正确时间是 6 月 1 日中午 12 点。

解题步骤
每分钟时针转 0.36 度，分针转 3.6 度。6 点 75 分时，夹角为 $75\times(3.6-0.36)-6\times 36=27$（度）。

解题步骤
分针每分钟转 $6^{\circ}$，时针每分钟转 $0.5^{\circ}$。因为下午 4 点的时候时针与分针夹角是 $360-30\times 4=240$（度），也就是经过 $240\div(6+0.5)=36\frac{12}{13}$（分钟）后时针与分针重合，此时，分针位于钟面上 $60-36\frac{12}{13}=23\frac{1}{13}$ 处，即显示的时刻是 4 时 $23\frac{1}{13}$ 分钟。

解题步骤
第一次无法判断的时刻应该是中午 12 点过若干分钟，假设过了 $n$ 分钟，那么分针走过了 $6n$ 度，时针走过了 $0.5n$ 度，如果此时把时针和分针对换以后时间看起来依然合理，那么分针应该是指着与 12 点夹角 $0.5n$ 度的地方，此时应该理解成分针转了一圈以后所到达的位置，否则时针应该在分针之后，于是此时时针指向的位置 $6n$ 度处应该在 1 点之后，于是 $6n-30$ 为时针走过的度数，分针走过的度数应该是这个度数的 12 倍，所以 $12\times(6n-30)=0.5n$，于是 $n=5\frac{5}{143}$，此时正确时间是 12 时 $5\frac{5}{143}$ 分钟。

解题步骤
正常钟每 $360\div(6-0.5)=\frac{720}{11}$（分钟）时针与分针重合一次，而黑心老板的计时钟每 72 分钟重合一次，故正常钟与黑心钟的速度比为 $\frac{720}{11}:72=10:11$，时间比为 $11:10$，故黑心钟 8（小时）转化为正常时间为 $8\div 10\times 11=8.8$（小时），故被黑心老板克扣了 $(8.8-8)\times 8=6.4$（元）。

解题步骤
从出发点到两人第一次相遇所经过的时间，以及从一次相遇到下一次相遇所经过的时间，都等于绕公园一周的路程除以两人的速度得到的商，是定值。另外，从一次相遇到下一次相遇之间，$A$ 和 $B$ 中有且仅有一人经过了出发点。题目中的表格里面的时刻中，从一次相遇到下一次相遇之间，求出 $A$ 和 $B$ 的手表所走的时间，可以得到下表（$A$：第2次到第3次 48 分钟，第3次到第4次 53 分钟；$B$：第2次到第3次 54 分钟，第3次到第4次 49 分钟）。因为两人的手表比正确时间慢，所以在对准正确的时刻时，手表所走的时间增加了。两人绕公园跑一周的时间总是一定的，将手表对准时间时，对准后的时间也应该是一定的。因此根据上面的表格，$A$ 和 $B$ 绕公园一周期间手表慢的时间都等于 5 分钟。根据上面的表，两人从一次相遇到下一次相遇之间，$A$ 和 $B$ 的手表所走的时间，$A$ 是 48 分钟，$B$ 是 49 分钟。因此，$A$ 的手表比 $B$ 的手表慢的时间多。现在，两人跑一周的期间，手表所慢的时间相等，$A$ 的手表的时间慢的多，$A$ 绕公园一周比较快。两人从出发点到第一次相遇之间，谁也没有经过出发点。从第一次相遇到第二次相遇之间，$A$ 绕公园跑的距离是 1 周多，也就是说经过出发点的是 $A$。所以，我们知道，直到两人第二次相遇，$B$ 没有经过出发点。因此，两人开始的时间是 11 时 57 分向前数 49 分$\times 2$ 的时间，也就是说两人是在 10 时 19 分出发的。

解题步骤
甲走 10 圈时，共用了 $10\times 4=40$（分钟），这段时间乙走了 $40\div 7=5\frac{5}{7}$（圈），每当甲比乙多走 1 圈时，甲便追上乙一次，所以甲走完 10 圈时，比乙多走了 $4\frac{2}{7}$ 圈，两人共击掌 4 次，此时，甲、乙两人相距 $\frac{2}{7}$ 圈；甲反向行走后，经过 $\frac{2}{7}\div\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{7}\right)=\frac{8}{11}$（分钟），两人第一次相遇，以后两人总行程每增加 1 圈，便出现一次相遇，即相遇事件发生的时间间隔为 $1\div\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{7}\right)=\frac{28}{11}$（分钟），经过 $\frac{28}{11}\times 10=25\frac{5}{11}$（分钟），两人最后一次相遇，此时甲一共走了 $40+\frac{8}{11}+25\frac{5}{11}=66\frac{2}{11}$（分钟），乙走了 $66\frac{2}{11}\times\frac{400}{7}=3781\frac{9}{11}$（米）。

解题步骤
两人第一次相遇共走了一个全程。第二次相遇共走了三个全程。第二次相遇所用时间是第一次相遇所用时间的三倍。甲第一次相遇走了 $3$ 千米 $3000$ 米，所以第二次相遇时共走了 $3000\times3=9000$（米），即 $9000$ 米 $= AB+B$ 出发处后又走了 $500$ 米，则 $AB+500=9000$ 米 $=9500$ 米，所以 $AB$ 的长度是 $4750$ 米。

解题步骤
两人在距中点 $100$ 米处相遇，则两人行走的路程差为 $100\times2=200$（米）。由路程差 $=$ 速度差 $\times$ 时间可以得到两人相遇时间为 $200\div(70-50)=10$（分钟），由 $A$、$B$ 两地间距离为 $10\times(70+50)=1200$（米）。两人在距中点 $250$ 米处相遇，乙走了 $1200\div2+250=850$（米），费时 $850\div50=17$（分钟）；甲行了 $1200-850=350$（米），费时 $350\div70=5$（分钟），那么甲在途中停留了 $17-5=12$（分钟）。

解题步骤
第一、两次相遇到第二次相遇的时间间隔为 $51$ 分钟，减去中间停留的 $15$ 分钟，则 $51-15=36$（分钟），两船的路程和为 $2$ 个全程，所以一艘船所用行驶时间为 $36\div2=18$（分钟），那么开航的时间为 $8$ 点 $02$ 分钟。

解题步骤
$8$ 点 $20$ 分相遇，此时甲到 $A$ 地的距离等于甲走了 $20$ 分钟的路程。$8$ 点 $30$ 分乙到达目的地，说明乙走完这段路程花了 $10$ 分钟。甲乙的速度是相等的两段，当甲将速度提高到原速的 $3$ 倍时，此时甲的速度是乙速度的 $1.5$ 倍。甲从相遇点走到 $B$ 点花了 $10$ 分钟，因此乙原先花了 $10\times1.5=15$（分钟），所以乙是 $8$ 点 $5$ 分出发的。

解题步骤
$AB$ 距离的 $\frac{1}{3}$ 多 $50$ 千米即是 $AB$ 距离的 $\frac{5}{4+5}=\frac{5}{9}$，所以 $50$ 千米的距离相当于全程的 $\left(\frac{5}{9}-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{9}$，全程距离为 $50\div\frac{2}{9}=225$（千米）。

解题步骤
距离为 $10$ 千米有两种情况，一种是还没相遇，另外一种是相遇后。两种情况下两人的路程和分别为 $30-10=20$（千米）或 $30+10=40$（千米），两种情况下分别走了 $2$ 小时，$4$ 小时。

解题步骤
（本题答案区未给出完整数值，分析略。）

解题步骤
第一种情况下相遇时乙走了 $2400$ 米，根据时间一定，速度比等于路程比，最初甲、乙的速度比为 $(6000-2400)\div2400=3\div2$，所以第一种情况中相遇时甲走了全程的 $\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$。乙的速度提高到原来的 $2.5$ 倍后，两人速度比为 $3\div(2\times2.5)=3\div5$，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的 $\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$。两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 $9$ 分钟，所以甲的速度为 $6000\times\left(\frac{3}{5}-\frac{3}{8}\right)\div9=150$（米/分钟）。

解题步骤
如果返回时不提速，那么甲能行 $\frac{1}{4}$ 全程，此时两人合走了 $2\frac{3}{4}$ 个全程。第一次相遇两人合走了 $1$ 个全程，所以两次相遇继续行的时间间隔为 $2\frac{3}{4}-1=1\frac{3}{4}$，全程数为 $1\frac{3}{4}$。甲到第 $2$ 次相遇共走了 $1\frac{1}{4}\times x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$，所以 $1\frac{1}{4}x-\left(x-100\right)\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$，所以 $x=1100$，全程为 $2200$ 米。

解题步骤
设 $x$ 分钟后乙与甲的距离与甲丙的距离相等，分两种情况：丙在甲、乙之间时，可以得到 $[203-(4x+5x)]\times2=5x+6x-203$，解得 $x=21$；丙在甲与 $A$ 地之间时，可以得到 $[(4x+5x)-203]\times2=5x+6x-203$，解得 $x=29$。

解题步骤
前 $10$ 分钟甲过乙 $2.5\times\frac{10}{60}=\frac{5}{12}$（千米），后 $25$ 分钟乙落后 $0.5\times\frac{25}{60}=\frac{5}{24}$（千米），乙共落后 $\frac{5}{12}+\frac{5}{24}=\frac{5}{8}$（千米），最后两车同时到达，$\frac{5}{8}$ 应该是甲降速的那 $5$ 分钟之比甲多走的，$\frac{5}{8}\div\frac{5}{60}=7.5$（千米/小时），即此时乙比甲每小时快 $7.5$ 千米，可知甲降速后是 $2.5+7.5=10$（千米/小时）。

解题步骤
设甲的速度为 $1$，那么乙的速度是 $2$，公共汽车的速度为 $2\times5=10$。根据路程差 $\div$ 速度差 $=$ 追及时间，所以中乙到甲里需要 $(1+10)\times40\div(2-1)=440$（千米）。

解题步骤
设爸爸骑后 $x$ 小时三人相遇，那么李华步行了 $\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 小时，共走了 $4\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 千米；老师每小时步行 $4$，$1.2=5.2$（千米）共走了 $5.2x$ 千米；列方程 $4\left(x+\frac{1}{2}\right)+5.2x=20.4$，解出 $x=2$，这就是说，老师出发后 $2$ 小时三人相遇，是张明骑车从学校到相遇地点公里只用 $2-1.5=0.5$（小时），因此，张明每小时路程 $4\times2\frac{1}{2}\div0.5=20$（千米）。

解题步骤
方法一：如下图所示，爸爸在离家 $4$ 千米处，如果不返回，再走 $8$ 分钟，然后再向前追小明。应当在离家 $4+4=8$（千米）处给儿子追上小明，这时所用爸爸从离家 $4$ 千米处返回到家，共用 $8$ 分钟，再回到家里，共用 $8\div8=1$（千米/分钟），面爸爸一共走了 $16$ 千米，从而爸爸共用 $16$ 分钟，第二次追上小明时是 $8$ 点 $32$ 分 $(8+16+16=32)$。方法二：根据爸爸在离家 $4$ 千米处与儿子第二次追上儿子第二次相遇，儿子走了 $4$ 千米，爸爸走了 $4+4=12$（千米），因此爸爸与儿子的速度比 $3:1$，儿子 $8$ 分钟走的路程为 $4\div3\times(3-1)=\frac{8}{3}$（千米），那么儿子走 $8$ 千米用时为 $8\div\left(\frac{8}{3}\div8\right)=24$（分钟），因此爸爸第二次追上儿子时是 $8$ 点 $32$ 分。

解题步骤
欢欢从出发到追上贝贝用了 $6$ 分钟，那么她调头后速度提高到原来的 $2$ 倍，回到家所用的时间为 $3$ 分钟，换衣服用 $6$ 分钟，再回来从家里出发到学校所用时间为 $20-6-3-6=5$（分钟），故她要以原速度送达学校需要 $10$ 分钟，所以开始追上贝贝的 $6$ 分钟后路程到达学校共用 $14\times(6\div4)=21$（分钟），那么就说欢欢回到自己走了 $14$ 分钟，所以以 $6$ 分钟回到的路程时间为 $14$ 分钟，故就送达欢欢上贝贝时走了 $21$ 分钟，所以只有走了 $7$ 点 $25$ 分发的。

解题步骤
由于相遇前甲走的路程与相遇后甲走的路程相同：相遇前 $S_\text{甲}+S_\text{乙}=V_\text{甲}+V_\text{乙}$；相遇后 $S_\text{乙}+S_\text{甲}=V_\text{甲}\times3+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$
$=27+20$
$=54\div40$，所以 $41\div(81-40)\times(81+54)=135$（千米），即 $AB=135$ 千米。

解题步骤
两车相遇时共行驶 $330$ 千米，但是甲多行 $30$ 千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行驶 $180$ 千米，乙车行驶 $150$ 千米。由甲车速度是乙车速度的 $\frac{5}{6}$ 可知道，当乙车行驶 $150$ 千米的时候，甲车实际行驶了 $150\times\frac{5}{6}=125$（千米），那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶 $180-125=55$（千米）。

解题步骤
从始到到两人第一次相遇，两人走路和都是 $1$ 个全程，从开始到第二次相遇，两人走路和都是 $3$ 个全程，所以从开始到第二次相遇时的路程和是从开始到第一次相遇时的 $3$ 倍。第一次相遇时两人走的路程和等于 $1$ 个全程，所以从始到两人第一次相遇时，两人走的路程和东西两两相距 $80\times3=60$
$=180$（米）。当包侧在到第三次相遇时，两人走路和都是 $5$ 个全程，那么从中小侧才 $80\times5=400$（米），$400\div180=2\cdots\cdots$，所以距东岸 $140$ 米，距西岸 $40$ 米。

解题步骤
假设全程为 $1$，那么可以得到三只蚂蚁的速度之比是 $\frac{1}{6}:\frac{1}{7}:\frac{1}{8}=28:24:21$，又知道由 $A$，$B$，$C$ 三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴 $B$、$C$、$A$ 爬行，所以可以知道甲行 $AB$，乙行 $BC$，丙行 $CA=28:24:21$，所以总距离是 $7.3$ 米，可得 $BC=\frac{24}{28+24+21}\times7.3$
$=2.4$（米），同理可以得到 $CA=2.1$ 米。

解题步骤
设乌龟的速度为 $V$，则兔子的速度为 $2V$，时间为 $t$。由易知乌龟在兔子休息的时间内达到追及跑的同步时间的一半的一半，设此时兔子停止休息了 $n$ 次，则 $\frac{(1+n)\times n}{2}=10n$，解得 $n=19$，所以，此时 $t=10\times19\times2$
$=380$（分钟）即在开始跑步 $380$ 分钟后乌龟第一次追上兔子。在乌龟第一次追到兔子之后的 $x$ 分钟之内兔子，当 $x=30$ 时，乌龟还在兔子后；当 $x=40$ 时，乌龟超过兔子。从而开始跑步后 $380+40=420$ 分钟之后，乌龟一直在兔子前面。

解题步骤
方法一：如下图所示，甲乙相遇时，乙在 $C$ 地 $3\times2=6$（千米）与丙相遇。当甲的速度提高到 $2.5$ 倍时，路程也提到原来的 $2.5$ 倍，题中恰好甲行了 $7.5$ 千米，甲甲行 $3$ 千米的路程时丙正好行 $3$ 千米，再走 $7.5-3=4.5$（千米）与乙相遇，所以 $4:4.5=4:3$，由于甲用相同时间所走的路程比乙的速度比是 $4:3$，由图可以看出乙丙乙 $C$ 点时，丙恰好到达 $D$ 点，且 $D$ 点行 $CD=4.5$ 千米，所以 $BC$ 间的距离恰好是 $CD$ 的 $4.5\div(4-3)=18$（千米），所以 $AB$ 间距离为 $18+3=21$（千米）。方法二：设 $BC$ 间的路程为 $S$，甲的速度为 $v_\text{甲}$，乙的速度为 $v_\text{乙}$，由题意可知，$\frac{v_\text{甲}}{v_\text{乙}}=\frac{3}{S}$，$\frac{v_\text{乙}}{v_\text{丙}}=\frac{6+S}{S}$，则 $\frac{v_\text{甲}}{v_\text{丙}}=\frac{3\times(6+S)}{S\times S}$；甲提速后速度变为 $2.5v_\text{甲}$，$\frac{2.5v_\text{甲}}{v_\text{丙}}=\frac{7.5}{S-(7.5-3)}$，即 $\frac{v_\text{甲}}{v_\text{丙}}=\frac{3}{S-4.5}$，所以 $\frac{3\times(6+S)}{S\times S}=\frac{3}{S-4.5}$，解得 $S=18$，所以 $AB$ 两地间路程为 $18+3=21$（千米）。

解题步骤
如上图所示，设乙、丙在 $D$ 处相遇，根据时间相同，路程的比等于相应的速度比，设 $CD=x$ 千米，在 $t$ 这段时间内乙、丙的速度比为 $18:x$；当乙、丙相遇后，两人继续向前走，在 $t_1+t_2$ 这段时间内，乙、丙两人速度比为 $x:(18+32)$，所以 $18:x=x:(18+32)$，得 $x=30$，即 $CD=30$ 千米；在 $t_2$ 这段时间内甲、丙速度比为 $(30+18):32=3:2$；在 $t+t_1+t_2$ 这段时间内甲走了一个全程，丙走了 $30+18+32=80$（千米），所以 $A$、$C$ 间的路程为 $80\div2\times3=120$（千米）。

解题步骤
如下图所示，设甲从游行队伍尾追到队头来回行了 $x$ 千米。从队头追到队尾行了 $y$ 千米，据题可列方程：$\begin{cases}5x-4y=22.4-5.6\\2x$
$=5.6\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x=5.6\\y$
$=2.8\end{cases}$。当甲行 $BC$ $=5.6$ 千米时，甲行了 $5$ 个 $x$，$4$ 个 $y$，那么，甲的速度乙速度比 $(5x+4y)\div5.6=(5.6\times5+2.8\times4)\div5.6$
$=7$（倍）。当乙行 $CD$ 时，甲又行了 $2$ 个 $x$，$2$ 个 $y$，则 $CD=(2x+2y)\div7$
$=(5.6\times2+2.8\times2)\div7$
$=2.4$（千米），所以，$AD=AB-BC-CD$
$=22.4-5.6-2.4$
$=14.4$（千米）。

解题步骤
由于摩托车是卡车速度的 $2$ 倍，因此，每次相遇过程卡车走相遇全程的 $\frac{1}{3}$。摩托车调头后走到终点时，卡车再走相遇全程的 $\frac{1}{3}$，也就是说摩托车每完成一次运输，卡车都要走相遇全程的 $\frac{2}{3}$，从而，第一次卡车走了 $360\times\frac{2}{3}=240$（千米），剩余 $360-240=120$（千米）；第二次卡车走了 $120\times\frac{2}{3}=80$（千米），剩余 $120-80=40$（千米）；第三次卡车走了 $40\times\frac{2}{3}=\frac{80}{3}$（千米），最后剩余 $40-\frac{80}{3}=\frac{40}{3}$（千米）。可见卡车共走了 $\left(360-\frac{40}{3}\right)\div40=8\frac{2}{3}$（小时）。而摩托车共行了 $8\frac{2}{3}\times80=693\frac{1}{3}$（千米）。

解题步骤
在甲车第 $1$ 次追上乙车的那一时刻，甲车的速度变为 $160\times\left(1-\frac{1}{3}\right)=160\times\frac{2}{3}$（千米/小时），乙车的速度变成为 $20\times\left(1+\frac{1}{3}\right)=20\times\frac{4}{3}$（千米/小时）。速度比变为原来的一半，原来速度比是 $\frac{160}{20}=8$，所以在第 $3$ 次甲上乙时，两车速度相等。甲第一次追上乙，用 $210\div(160-20)=\frac{3}{2}$（小时）；第二次追上乙，用 $210\div\left(160\times\frac{2}{3}-20\times\frac{4}{3}\right)=\frac{21}{8}$（小时）；第三次追上乙，用 $210\div\left(160\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}-20\times\frac{4}{3}\times\frac{4}{3}\right)=\frac{189}{32}$（小时）。从而甲车行驶了 $\frac{3}{2}\times160+\frac{21}{8}\times\frac{320}{3}+\frac{189}{32}\times\frac{640}{9}=940$（千米），乙车行驶了 $\frac{3}{2}\times20+\frac{21}{8}\times\frac{80}{3}+\frac{189}{32}\times\frac{320}{9}=310$（千米）。

解题步骤
罪犯在干地的速度是 $\frac{5}{3}$ 千米/分钟，泥地的速度是 $\frac{4}{3}$ 千米/分钟，警察在干地的速度是 $2$ 千米/分钟，在泥地的速度是 $1.8$ 千米/分钟，设 $AB$ 长为 $x$，可得方程：$\frac{x}{2}+10-1=\frac{3x}{5}$，解得 $x=90$（千米）。设 $AC$ 长为 $y$，则可得方程：$\frac{y}{2}+\frac{90-y-0.2}{1.8}+10=\frac{3y}{5}+\frac{3(90-y-0.2)}{4}$，解得 $y=79$（千米）。综上，$AB$ 距离 $90$ 千米；$AC$ 距离 $79$ 千米。

解题步骤
甲速度不变，乙每小时多行 $4$ 千米，相遇点 $D$ 距 $C$ 点 $10$ 千米，出发后 $5$ 小时甲到达 $C$，乙到达 $F$。因为 $FD=DC$
$=10$ 千米，即相遇后在相同的时间内甲、乙走的路程相同，所以此时甲、乙的速度相同，也就是说原来乙比甲每小时多行 $4$ 千米。甲速度不变，甲每小时多行 $3$ 千米，相遇点 $E$ 距 $C$ 点 $5$ 千米，出发后 $5$ 小时乙到达 $C$，甲到达 $G$。因为 $EG=2CE$，即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的 $2$ 倍，所以甲每小时多行 $3$ 千米后，速度是乙的 $2$ 倍。由 $\begin{cases}\text{甲}=\text{乙}+4\\\text{甲}+3$
$=2\text{乙}\end{cases}$ 解得，原来甲每小时行 $11$ 千米（乙行 $7$ 千米）。

解题步骤
如下图所示，由题意可知小王与小李从甲地到乙地所用时间分别是 $60$ 分、$45$ 分，因此小王与小李的速度比是 $3:4$，又小李速度是小李的 $1.25$ 倍，因此小王、小李、小张的速度分别为 $3,4,5$。由上图可以看小李比小王 $15$ 分钟多行的路程恰是骑车人 $15$ 分钟的路程，因此骑车人的速度为 $(4-3)\times15\div15=1$，即小王的速度是骑车人速度的 $3$ 倍，由小王追上骑车人是 $8$ 点 $15$ 分，因此骑车人 $8$ 点 $30$ 分走的路程是小王 $15$ 分钟走的路程，所以骑车人是 $7$ 点 $30$ 分出发的。小王早从甲地到乙地用 $1$ 小时，可知全程为 $60\times3=180$，因此骑车人到乙地的速度变为 $5\times\frac{6}{5}=6$，从追上骑车人到乙地的距离为 $180\div2=90$（千米），因此小张追到骑车人后用速度行驶所用时间为 $90\div(6-1)=18$（分），所行路程为 $18\times6=108$，则追上骑车人所用时间为 $(180-108)\div6=12$（分），因此小张到乙地共用时间为 $18+14.4=32.4$（分）$=32$ 分 $24$ 秒，即小张从甲地出发时是 $8$ 点 $27$ 分 $36$ 秒。

解题步骤
由于甲在中点处相遇，甲折返后的速度变慢，故他后来一半距离的时间相当于他全速的全程时间，因此他可以行了两个全程，丙走了 $\frac{3}{4}$ 全程。甲、丙相遇在 $C$ 点，丙也相遇在 $C$ 点，说明甲丙的速度比为 $4:1$，当甲走到点 $M$ 时，丙位于全程的 $\frac{1}{4}$ 处。乙速度减慢，乙、丙迎面相遇也在 $C$，此时甲走了一个 $C$ 到这相距的 $\frac{3}{4}$，乙走了全程的 $\frac{3}{4}$，此时丙走了 $\frac{3}{4}\div2=\frac{3}{8}$，为 $2010$ 米，故 $AB$ 路程为 $2010\div\frac{3}{8}=5360$（米）。

解题步骤
当甲与丙相遇时，乙距丙 $20$ 千米，当乙与丙相遇时，甲距丙 $30$ 千米。所以乙、丙合走了 $20$ 千米时甲、丙相距 $30-20=10$（千米），与丙相遇的甲、乙之间的距离，可得乙行了 $20\times2-0=40$（千米），由于甲、乙速度比 $40\div(40+20)=\frac{2}{3}$，所以乙、丙相遇时甲到西镇还有 $40+20=60$（千米），当甲到达西镇时，两人之间的距离为别为 $60\times\frac{3}{3+2}=36-20$
$=64$（千米），当甲到达西镇时，丙距东镇还有 $20$ 千米，所以丙、甲速度比 $16:24=2:3$，因此当丙到达东镇时，乙走了 $60\times\frac{2}{3}=40$（千米），乙距西镇 $60-40$（千米），于是，当丙到达东镇时，乙距西镇 $20$ 千米。

解题步骤
三角形 $EFG$ 的面积是三角形 $AHD$ 的 $\frac{1}{4}$，三角形 $AHD$ 的面积是长方形 $ABCD$ 面积的 $\frac{1}{2}$，故三角形 $EFG$ 的面积是长方形 $ABCD$ 面积的 $\frac{1}{8}$，三角形 $EFG$ 的面积为 $40\times\frac{1}{8}=5$（平方厘米）。

解题步骤
连接 $DE$，三角形 $ABF$ 的面积和三角形 $DEF$ 的面积相等，三角形 $DEF$ 的面积和三角形 $CEF$ 的面积相等，所以三角形 $ABE$ 的面积和三角形 $BCF$ 的面积相等。

解题步骤
$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle EFD}$，所以阴影部分面积等于长方形面积的一半加四边形 $EFGO$ 的面积，故四边形 $EFGO$ 面积等于 $70-15\times8\div2=10$。

解题步骤
根据平行四边形的一半模型可知，$S_{\triangle APD}+S_{\triangle BPC}=S_{\triangle APD}+S_{\triangle APB}+S_{\triangle BPD}$
$=\frac{1}{2}S_{\text{平行四边形}ABCD}$，所以有 $S_{\triangle BPC}=S_{\triangle APB}+S_{\triangle BPD}$，那么三角形 $BPD$ 的面积等于 $100-73=27$。

解题步骤
如下图所示，连接 $DE$、$BF$，等积变形，$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BED}$
$=S_{\triangle BFD}$
$=S_{\triangle AFD}$
$=12$（平方厘米）。

解题步骤
如右图所示，连接 $FC$，$AE=EC$，有 $S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BCE}$，$S_{\triangle AFE}=S_{\triangle FCE}$，所以 $S_{\triangle ABF}=S_{\triangle BCF}$，同理 $S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ACF}$，所以 $S_{\triangle ABF}=S_{\triangle BCF}$
$=S_{\triangle ACF}$
$=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$
$=20$，$S_{\triangle AFE}=\frac{1}{2}S_{\triangle AFC}$
$=10$，$S_{\triangle CFD}=\frac{1}{2}S_{\triangle BFC}$
$=10$。所以 $S_{FDCE}=S_{\triangle CFD}+S_{\triangle EFC}$
$=20$。

解题步骤
如右图所示，连接 $DF$、$CF$，那么显然 $\triangle DHG$ 与 $\triangle DHF$ 同底等高，两者面积相等，我们容易知道 $BD\parallel CF$，可知 $\triangle DHF$ 与 $\triangle BHC$ 面积相等，那么阴影部分的面积等于 $\triangle BCD$ 的面积，恰为正方形 $ABCD$ 的一半，即 $6\times6\div2=18$（平方厘米）。

解题步骤
如右图所示，连接 $AO$、$BO$、$CO$、$DO$，则可判断出，每条边与 $O$ 点所构成的三角形都被分成面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于 $S_1+S_3$、$S_2+S_4$ 这两个不同的组合，所以可知 $S_1+S_3=S_2+S_4$。

解题步骤
给图上标上字母，连接辅助线如右图所示，可知 $S_{\triangle BOF}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times S_{\text{长方形}ACDB}$，$S_{\triangle BOH}=\frac{1}{3}S_{\triangle AOB}$，$S_{\triangle FOC}=\frac{1}{3}S_{\triangle DOC}$，所以 $S_{\triangle FOC}+S_{\triangle BOH}=\frac{1}{3}(S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COD})$
$=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times S_{\text{长方形}ACDB}$，所以阴影部分是长方形面积的一半，为 $15\times9\div2=67.5$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，$S_{\text{阴影}}=S_{\triangle EPD}+S_{\triangle PDC}$
$=S_{\triangle EPD}+S_{\triangle PBD}$
$=S_{\triangle EBD}$
$=S_{\triangle EAD}$
$=\frac{1}{2}S_{\text{长方形}ADEF}$
$=\frac{1}{2}\times6.36$
$=3.18$（平方厘米）。说明：答案和直角梯形形状无关，可以让 $BC$ 边趋近 $AD$ 边，直到和 $AD$ 边重合，此时，$P$ 与 $A$ 重合，$PE$ 是长方形 $ADEF$ 的对角线，所以，阴影部分的面积是长方形 $ADEF$ 面积的一半，等于 $3.18$ 平方厘米。

解题步骤
如右图所示，每个空白正六边形能分成 $6$ 个相同的正三角形，所以空白部分总共包含 $12$ 个这样的正三角形；而整个大平行四边形能分成 $24$ 个这样的正三角形，所以空白部分占整个平行四边形的一半，那么阴影部分也占整个平行四边形的一半，所以选 A。

解题步骤
$S_{\triangle ADM}+S_{\triangle BCN}=S_{\triangle MPB}+S_{\triangle BCN}$
$=S_{\triangle COB}+S_{PMON}$，$S_{\triangle COB}=\frac{1}{4}S_{\text{长方形}ABCD}$，所以 $S_{PMON}=7.8-24\div4$
$=1.8$（平方厘米）。

解题步骤
黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的 $50\%$，而绿色三角形面积占矩形面积的 $15\%$，所以黄色三角形面积占矩形面积的 $50\%-15\%=35\%$，已知黄色三角形面积是 $21$ 平方厘米，所以矩形面积等于 $21\div35\%=60$（平方厘米）。

解题步骤
将阴影部分的上半部分翻下来，根据四等分点的条件，不难算出阴影是大正方形面积的 $\frac{3}{8}$。

解题步骤
因为三角形乙、丙的面积相等，且 $DF=FC$，所以三角形乙、丙的高相等，于是 $AE\parallel DC$，四边形 $AECD$ 是平行四边形，易知 $S_{\text{乙}}+S_{\text{丙}}=S_{\text{阴影}}$
$=\frac{1}{2}S_{\text{四边形}AECD}$，因此，阴影部分的面积是 $48\div5\times2=19.2$。

解题步骤
方法一：如下图所示，$E$、$F$ 分别是 $CD$、$AD$ 的中点，所以 $S_{\triangle AFG}=S_{\triangle RGD}$
$=S_{\triangle GDE}$
$=S_{\triangle GEC}$。$S_{\triangle AED}=10\times20\div2$
$=100$，所以空白部分面积等于 $100\div3\times4=\frac{400}{3}$（平方厘米）。阴影部分面积等于 $20\times20-\frac{400}{3}=\frac{800}{3}$（平方厘米）。
方法二：将 $\triangle CEG$ 的面积当作 $1$（份），直接把总面积分成 $3\times4=12$ 份，阴影占其中的 $12-4=8$（份），也就是 $20\times20\times\frac{8}{12}=\frac{800}{3}$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，给出将正三角形分别分成 $3$ 个、$4$ 个、$6$ 个、$8$ 个、$9$ 个、$12$ 个形状大小完全一样的小图形的画法。

解题步骤
因为 $AB+CD=BC$，所以长方形 $BCFG$ 的面积等于长方形 $ADEH$ 面积的一半，即 $S_{\text{梯形}BCJI}+S_{\text{梯形}IJFG}=\frac{1}{2}S_{\text{长方形}ADEH}$，又 $S_{\triangle ABI}+S_{\text{梯形}BCJI}+S_{\text{梯形}CDEJ}=\frac{1}{2}S_{\text{长方形}ADEH}$，所以 $S_{\triangle ABI}+S_{\text{梯形}CDEJ}=S_{\text{梯形}IJFG}$，故四边形 $CDEJ$ 的面积是 $12-3=9$。

解题步骤
方法一：由图可知，$S_{\triangle ADE}$ 与 $S_{\triangle AGE}$ 的高相等，是 $S_{\triangle ADG}$ 的高，故设 $S_{\triangle ADG}$ 的高为 $h_1$；同理可得，$S_{\triangle BCF}$ 的高为 $h_2$。由此列式：$S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BCE}=67$，$S_{\triangle AGE}+S_{\triangle BFE}=166$，代入面积公式可得：$24\times h_1+20\times h_2=166\times2$，$8\times h_1+10\times h_2=67\times2$，解得 $h_1=8$，所以，三角形 $ADG$ 的面积是 $(8+20+4)\times8\div2=128$（平方厘米）。
方法二：因为 $ED=8$，$EG=24$，所以有 $S_{\triangle AEG}=3S_{\triangle AED}$；因为 $EC=10$，$EF=20$，所以有 $S_{\triangle EBF}=2S_{\triangle EBC}$，都有 $2$ 倍，故三角形 $ADE$ 的面积等于 $166-67\times2=32$（平方厘米），那么三角形 $ADG$ 的面积是 $32\times4=128$（平方厘米）。

解题步骤
如上图所示，找一个能够使三角形面积为 $3$ 的点，比如 $A$ 点，然后根据等积变换，底相等、高相等，即面积相等。可以做平行线，在下方也可以继续做平行线，得出共 $8$ 个点。

解题步骤
如右图所示，连接 $AG$、$CG$。由“等底等高的三角形面积相等”，可得 $S_{\triangle GFA}=S_{\triangle GEC}$，$S_{\triangle AED}=S_{\triangle ABG}$，$S_{\triangle CDE}=S_{\triangle CBG}$。所以 $S_{\triangle EFG}=S_{\triangle AFG}+S_{\triangle ABG}+S_{\triangle ABE}$
$=S_{\triangle GEC}+S_{\triangle AED}+S_{\triangle ABE}$
$=S_{\triangle DBC}+S_{\triangle DAB}$
$=S_{\text{四边形}ABCD}$。所以 $\triangle EFG$ 的面积等于 $10$。

解题步骤
如右图所示，将原图补成一个边长是 $(12+6)$ 厘米的大正方形，则阴影部分的面积为 $18\times18-18\times12\div2-12\times12\div2-18\times6\div2-6\times6\div2=72$（平方厘米）。

解题步骤
如右图所示，将 $A_1B_1$ 向右延长，$C_1E_1$ 向上延长，交于 $E$ 点，那么正方形 $A_1BC_1E$ 的面积，等于长方形 $ABCD$ 周长一半的平方，即 $64$ 平方米。长方形 $ABCD$ 与 $DB_1EE_1$ 面积相等，而正方形 $DB_1A_1A$ 与 $DCC_1E_1$ 的面积之和，等于题中已给的 $4$ 个正方形面积和的一半，即 $\frac{1}{2}\times68=34$（平方米）。$64-34=30$（平方米）应等于长方形 $ABCD$ 面积的 $2$ 倍。所以长方形 $ABCD$ 的面积是 $\frac{1}{2}\times30=15$（平方米）。

解题步骤
如右图所示，大长方形面积为 $1+2+3+4=10$，延长 $RA$ 交底边于 $Q$，延长 $SB$ 交底边于 $P$，矩形 $ABPR$ 面积是上部阴影三角形面积的 $2$ 倍，矩形 $ABSQ$ 是下部阴影三角形面积的 $2$ 倍，所以矩形 $RQSP$ 的面积是阴影部分面积的两倍。易知 $CA=\frac{1}{3}CD$，$CB=\frac{3}{7}CD$，所以 $AB=CB-CA$
$=\frac{3}{7}CD-\frac{1}{3}CD$
$=\frac{2}{21}CD$，因此矩形 $RQSP$ 的面积是大长方形面积的 $\frac{2}{21}$，阴影部分面积是大长方形面积的 $\frac{1}{21}$，阴影部分面积 $=\frac{1}{21}\times10$
$=\frac{10}{21}$。

解题步骤
如右图所示，连接 $BD$，$\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 同底等高，所以 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}$
$=\frac{m^2}{2}$。当 $m$ 最大时 $a$ 取最大值，由于 $n$ 是两位数，故 $n<100$，所以 $m^2=2n<200$，由此可得 $m$ 的最大值为 $14$，此时 $a=98$（厘米）。

解题步骤
如右图所示，构造三个平行四边形，得到三角形 $AEC$ 的面积为整个六边形面积的一半，同理三角形 $BDF$ 的面积也为整个六边形面积的一半，所以阴影三角形面积和等于中间六边形的面积，为 $30$ 平方厘米。

解题步骤
如右图所示作辅助线，将正六边形分成 $6$ 个正三角形，在每个正三角形里，阴影部分都占 $\frac{1}{3}$，所以阴影部分占总面积的 $\frac{1}{3}$，为 $54\times\frac{1}{3}=18$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，由于 $c$ 大于 $a$，在 $CD$ 上取点 $E$，使得 $CE=AH$
$=a$，过 $E$ 作 $GH$ 的平行线 $EF$。根据题意，可得到长方形 $ABCD$ 的面积为：甲 $+$ 乙 $+$ 丙 $+$ 丁 $=162+126$
$=288$（平方厘米）。由 $EF$ 把 $ABCD$ 的面积均分为 $208$ 平方厘米，则可以得到甲 $+$ 丁的面积为 $288-208=80$（平方厘米），而 $a=4$ 厘米，则 $AD=128\div4$
$=32$（厘米），对应的长方形面积 $AH$ 为 $288\div32=9$（厘米）。同理，在 $BM$ 上取一点 $Q$，使得 $BQ=ND$，这样 $QM$ 即为 $d$ 与 $b$ 的差。面积乙 $+$ 丙的面积减去丁的面积，得 $162-126=36$ 平方米，那么三角形 $PNMQ$ 的面积为 $36$ 平方米，而 $AB=9$ 厘米，所以 $QM=36\div9$
$=4$（厘米），即 $d$ 与 $b$ 的差为 $4$ 厘米。

解题步骤
如图 c) 所示，阴影部分是 $2$ 层，空白部分是 $4$ 层，如果将阴影部分缩小一半，即变为 $3$ 平方厘米，那么阴影部分也变成 $4$ 层，此时覆盖的面积占长方形纸片面积的 $\frac{1}{4}$，即缩小的 $3$ 平方厘米相当于长方形纸片面积的 $\left(\frac{3}{10}-\frac{1}{4}\right)$，所以长方形纸片面积为 $3\div\left(\frac{3}{10}-\frac{1}{4}\right)=60$（平方厘米）。

解题步骤
如右图所示，连接 $DF$，容易得到 $S_{\triangle ABF}+S_{\triangle CDF}=\frac{1}{2}S_{\text{正方形}ABCD}$
$=6$。因为 $AE=ED$，所以 $S_{\triangle ECD}=\frac{1}{4}S_{\text{正方形}ABCD}$
$=3$。又因为 $EF=2FC$，所以 $S_{\triangle CDF}=\frac{1}{3}S_{\triangle ECD}$
$=1$，所以 $S_{\triangle ABF}=6-S_{\triangle CDF}$
$=5$。

解题步骤
如下图所示，过点 $P$ 分别作 $AB$、$BC$、$AC$ 的平行线，得到 $3$ 个平行四边形和 $3$ 个三角形，根据等积变换可知阴影部分占 $\triangle ABC$ 面积的一半，即 $2011\div2=1005.5$，而甲的面积是 $286$，所以乙、丙两个小三角形面积之和是 $1005.5-286=719.5$。

解题步骤
如下图所示，连接每个小正六边形的对角线，将每个正六边形平均分成 $6$ 个小的正三角形，那么每个小正三角形的面积都是 $1$。由图看出，$\triangle ABC$ 是由 $\triangle DEF$、$\triangle ABE$、$\triangle BDC$ 和 $\triangle CFA$ 组成，其中 $\triangle DEF$ 的面积为 $4$，而其他的三个三角形的面积都相等，$\triangle ABE$ 正好是它所在平行四边形面积的一半，而平行四边形的面积是 $6$，因此，$\triangle ABE$ 的面积是 $3$。因此，三角形 $ABC$ 的面积是 $4+3\times3=13$。

解题步骤
面积是 $50$ 平方厘米的等腰直角三角形的两条直角边分别为 $10$ 厘米，面积是 $36$ 平方厘米的等腰直角三角形，直角边的平方是 $72$，所以斜边的平方为 $144$，斜边长为 $12$ 厘米，则大正方形的面积为 $(10+12+10)\times(10+12+10)=1024$（平方厘米），小正方形的面积为 $1024-50\times4+36\times4=968$（平方厘米）。

解题步骤
分割法。如下图，把整个图形分割成相等的等腰直角三角形，那么整个图形包含 $9$ 个小三角形，阴影部分包含 $4$ 个小三角形，所以阴影部分的面积 $9\div9\times4=4$（平方厘米）。

解题步骤
采用分割的方法。如下图，那么大长方形包括了 $8$ 个面积为 $2$ 的小正方形和一个面积为 $3$ 的小长方形，面积为 $8\times2+3=19$。

解题步骤
图形分割法。将原图分成如下图所示的同样大小的等腰直角三角形，则正方形 $ABCD$ 包含 $36$ 个小三角形，而正方形 $MNPQ$ 包含 $32$ 个，所以面积比为 $36:32=9:8$。

解题步骤
这是一道几何问题，重点考查同学们对等腰直角三角形性质的认识。
方法一：在长方形 $ABCD$ 中，由于四边形 $AEFG$ 是直角梯形，$\angle GAE=45^{\circ}$，可知 $\angle DGF=\angle DFG$，$\angle CFE=\angle CEF$，$\angle EAB=\angle BEA$
$=45^{\circ}$，所以 $\triangle DGF$、$\triangle CEF$、$\triangle ABE$ 都是等腰直角三角形，故可将长方形 $ABCD$ 分割。如左图：$S_{ABCD}=\frac{24}{10}S_{\text{梯形}AEFG}$
$=\frac{24}{10}\times15$
$=36$（平方厘米）。
方法二：在直角梯形 $AEFG$ 中，由 $\angle GAE=45^{\circ}$，可知 $\angle DGF=45^{\circ}$，因为直角三角形 $GDF$ 与 $ABE$ 的斜边 $GF:AE=2:3$，所以直角边 $DF:AB=2:3$，设 $DF=2$，$AB=3$，连接 $DE$，则 $S_{\triangle GEF}=S_{\triangle GDF}$
$=\frac{1}{2}S_{\text{长方形}DCEF}\div... $，由比例计算得 $S_{ABCD}=\frac{24}{10}\times15$
$=36$（平方厘米）。

解题步骤
如下图，将正六边形 $ABCDEF$ 等分为 $54$ 个小正三角形（每个平行四边形代表 $6$ 个，则每个小等边三角形面积为 $1$），根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积。$\triangle PEF$ 面积 $=3$，$\triangle CDE$ 面积 $=9$，四边形 $ABQP$ 面积 $=7+4$
$=11$，上述三块面积之和为 $3+9+11=23$，因此，阴影四边形 $CEPQ$ 面积为 $54-23=31$。

解题步骤
连接 $AC$、$CB$、$BD$、$DA$。如右图所示，由于 $AB\parallel EF$，$GH\parallel EF$，所以 $\triangle ABC$ 的面积是平行四边形 $AEFB$ 面积的一半，$\triangle ABD$ 的面积是平行四边形 $AHGB$ 面积的一半，得 $\triangle ABD$ 的面积是平行四边形 $EFGH$ 面积的一半。同理可证 $\triangle ACBD$ 的面积也是平行四边形 $WXYZ$ 面积的一半。因此，平行四边形 $EFGH$ 的面积与平行四边形 $WXYZ$ 的面积相等，为 $7.17$ 平方厘米。

解题步骤
如右图所示，将阴影部分的小正六角星形全部分成大小相同的小三角形，全等（能完全覆盖地放在一起）的小三角形 $PMN$ 全等于这些小三角形，大正六角星形可以分成 $3$ 倍这样的小三角形，即 $16\times3=48$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，$AC=AD$
$=AB$
$=\frac{a}{2}$，$BC=b$，因为是正八边形，所以 $BC$ 与 $AD$ 是垂直的，因此四边形 $ABDC$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times b\times\frac{a}{2}=\frac{ab}{4}$，正八边形的面积为四边形 $ABDC$ 面积的 $4$ 倍，所以正八边形的面积等于 $\frac{ab}{4}\times4=ab$。

解题步骤
如右图所示，阴影部分分为三个相同的部分，每一个部分由两个三角形组成，其中一个三角形面积为 $12$ 和等腰直角三角形，面积为 $12\times12\div2=72$，另一个三角形面积为 $12\times12\div2=72$，所以每一部分的面积为 $72+36=108$，阴影部分的面积为 $108\times3=324$。

解题步骤
如右图所示，延长 $BA$、$CD$ 交于点 $E$，则 $S_{\text{四边形}ABCD}=S_{\triangle EBC}-S_{\triangle EAD}$。显然，$\triangle EBC$、$\triangle EAD$ 均为等腰直角三角形，所以 $S_{\text{四边形}ABCD}=10\times10\div2-6\times6\div2$
$=50-18$
$=32$，故选 C。

解题步骤
如下图所示，延长 $BD$ 与正方形下边的延长线交于点 $C$，因为图中有 $45^{\circ}$，我们可以知道 $\triangle ACD$ 为等腰直角三角形，即 $AD=CD$
$=14$（厘米），所以 $BC=14+8$
$=22$（厘米），因为 $\angle C=45^{\circ}$，则 $BC$ 长度等于正方形对角线的长度。设正方形边长为 $a$，根据勾股定理，那么 $2a^{2}=22^{2}$，所以正方形的面积 $a^{2}=22^{2}\div2$
$=242$（平方厘米）。

解题步骤
如下图作辅助线，由于 $AG=5$，连接 $AB=20$，令 $SF=a$，$SB=4a$，面 $MN=20+20-a$
$=4a$。解之得 $a=8$，则 $FN=12$，$MN=32$，$NE=20$，则阴影部分的面积为 $(12^{2}+20^{2})\div2=272$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，将三角形的 $3$ 个角分别接出 $3$ 个小的等腰三角形。中间小的正三角形的面积与接出的三个等腰三角形面积的和相等（是接出的每个等腰三角形的面积的 $3$ 倍）。根据正六边形中学过的知识，一个顶角为 $120^{\circ}$、腰长 $1$ 厘米的等腰三角形，与边长是 $1$ 厘米的小正三角形面积相同。设这个面积为 $S$，则 $S_{\text{大}}=36S$，$3S=33S$，因为中间小正三角形面积是 $3S$，所以答案是 $33S\div3S=11$ 倍。

解题步骤
如上图所示，在图中画辅助线，显然可得 $e=i$，$f=j$，$g=k$，剩下的 $h$ 的面积就是答案，即 $2\times2\times2=8$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，关于直线 $MN$ 作 $B$ 的对称点 $B'$，那么可知 $PB'=PB$，所以 $PA+PB=PA+PB'$，那么点 $A$、$B'$、$P$ 共线时，距离之和最小，因为 $CD=6$，$DA+CB'=5+3$
$=8$，那么根据勾股定理可得此时距离和为 $10$ 米。

解题步骤
如右图所示，作正方形 $DCBE$，连接 $EA$，构成正方形 $DCBE$ 和等腰三角形 $AED$，$AE=AE$。因为 $\angle ADC=150^{\circ}$，所以 $\angle EAB=\angle EBA$
$=(180^{\circ}-150^{\circ})\div2$
$=15^{\circ}$，可知 $\angle A=\angle DAE-\angle EAB$
$=60^{\circ}-15^{\circ}$
$=45^{\circ}$，$\angle B=\angle CBE-\angle EBA$
$=90^{\circ}-15^{\circ}$
$=75^{\circ}$。

解题步骤
如右图所示，$AE$ 平移到 $A'F$，四与 $AE$ 是三角形 $ABD$ 的高，所以 $AE\perp BD$，$BD\cdot A'F$ 是矩形面积的一半。设 $BF=x$，$C$ 在直线上端，两根据 $AA'$，则中 $AA'=EF$
$=5$ 厘米，$A'C=AE$
$=FC$
$=6$ 厘米，由此根据勾股定理可知 $AC$ 的长度为 $13$ 厘米，由此可得 $BD$ 长为 $13$ 厘米，那么矩形 $ABCD$ 的面积是 $13\times6\div2\times2=78$ 平方厘米。

解题步骤
如下图所示，将六边形 $ABCDEF$ 通过平移拼成 $DDFG$ 的位置，得到平行四边形 $GAF$ 的对应位置，因长方形 $BDFG$ 的面积和等于六边形 $ABCDEF$ 的面积，长方形 $BDFG$ 的面积等于 $24\times18=432$（平方厘米），所以，六边形 $ABCDEF$ 的面积也是 $432$ 平方厘米。

解题步骤
如下图所示，将红色三角形进行旋转 $90^{\circ}$ 至图中红色阴影位置，与蓝色三角形合成一个大的直角三角形，得到红、蓝两张三角形纸片之和等于 $\frac{1}{2}\times49\times29=710.5$。

解题步骤
通过旋转判断，可发现，大正方形可以分为 $4$ 个小正方形，每个小正方形中的阴影部分占小正方形的一半，所以总的阴影面积是大正方形的一半，即为 $\frac{1}{2}\times10\times10=50$。

解题步骤
如下图所示，将 $\triangle OAB$ 沿着 $O$ 点逆时针旋转 $90^{\circ}$，到达 $\triangle OCF$ 的位置。由于 $\angle ABC=90^{\circ}$，$\angle AOC=90^{\circ}$，所以 $\angle OAB+\angle OCB=180^{\circ}$，面 $\angle OCF=\angle OAB$，所以 $\angle OCF+\angle OCB=180^{\circ}$，那么 $B$、$C$、$F$ 三点在一条直线上，所以 $OB=OF$，$\angle BOF=90^{\circ}$，所以 $\triangle BOF$ 是等腰直角三角形，且斜边 $BF$ 为 $5+3=8$，所以它的面积为 $8^{2}\times\frac{1}{4}=16$。根据面积比例模型，$\triangle OBC$ 的面积为 $16\times\frac{5}{8}=10$。

解题步骤
方法一：如下图所示，四个四边形 $ABCD$ 可以拼成一个大的正方形，该正方形的面积为 $64\times4=256$，所以大正方形的边长为 $16$ 厘米，则中心点 $O$ 到 $D$ 点到 $AB$ 的距离为 $8$ 厘米。
方法二：连接 $BD$，将 $\triangle BCD$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 变成 $\triangle B'AD$，则 $B'D=BD$，$\angle B'DB=90^{\circ}$，$S_{\triangle B'DB}=64$ 平方厘米，对 $D$ 到 $AB$ 的距离为 $8$ 厘米。

解题步骤
将 $\triangle ABC$ 绕 $A$ 旋转 $90^{\circ}$ 如下图所示，得到 $\triangle FDC$，有 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACF}$，$DF=BA$
$=EA$，$AC=FC$，$\angle DFC=\angle BAC$，$\angle ACB=\angle FCD$，连接 $BA$，由 $\angle G$ 点，由 $AF$ 平行于 $G$，可知 $\angle ACF=90^{\circ}$，可知 $\angle ACF+\angle CAF+\angle CFA=90^{\circ}$，延长 $BA$、$FD$ 交于 $H$，在四边形 $ACFH$ 中 $\angle AHF=90^{\circ}$。于是 $AE$ 与 $DF$ 平行，所以 $S_{\triangle CAE}=S_{\triangle CAF}$，所以 $S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACE}+S_{\triangle CDE}=S_{\triangle ACF}+S_{\triangle ACE}+S_{\triangle CDE}$
$=S_{\triangle AEF}$
$=10^{2}\div2$
$=50$（平方厘米）。

解题步骤
因为 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ECD$ 全等相同，所以 $AE=ED$，$\triangle AED$ 为等腰直角三角形。也就是说，将 $AD$ 中点 $M$ 将 $\triangle ABE$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 就和 $\triangle ECD$ 重合，如果继续旋转将 $90^{\circ}$ 连接外得四块，就有一个正方形面积，因四个 $DETHC$ 都等价于斜的四边形是一个正方形的面积，因此白色阴影正方形的边长为 $7$ 厘米，可得 $13^{2}-4\times30=49$（平方厘米），边长为 $7$ 厘米。

解题步骤
以点 $A$ 为中心，由三个等腰三角形 $ABC$ 可拼成下图：连接 $QE$、$RF$、$GD$，则 $DEQFRG$ 是一个正六边形，连接 $RD$、$DQ$、$RQ$，显然 $RDQ$ 是一个等边三角形。$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}\times3$
$=150$（平方厘米），$S_{\text{六边形}}=S_{\triangle ABC}$
$=S_{\triangle ADE}\times\frac{9}{6}\times\frac{3}{2}$
$=36$（平方厘米），$S_{\triangle RDQ}=S_{\triangle ADE}\times3$
$=42$（平方厘米），$S_{\triangle ADE}=S_{\text{正六边形}DEQFRG}\div6$
$=42\div3$
$=14$ $S_{\triangle ADE}\div6=14$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，将一个整体个三角形 $ABC$ 的面积平分为 $1$，根据蝴蝶模型可知 $\frac{a}{2}=1-\left(b+\frac{a}{2}\right)-c-d$
$=1-\frac{7}{13}-\frac{5}{13}\times\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$
$=\frac{68}{143}$，则 $b+c+d=1-\frac{68}{143}$
$=\frac{75}{143}$，所以 $\frac{a}{b+c+d}=\frac{68}{75}$，将三角形 $d$ 分别以 $P$ 点和 $R$ 点逆时针和顺时针旋转 $90^{\circ}$ 即可以得到一个新的四边形 $APMR$，四边形 $APMR$ 的面积为 $b+c+d=7\times6+2\times9+2\div2$
$=30$（平方厘米），则可以求出 $a=30\times\frac{68}{75}$
$=27.2$（平方厘米）。

解题步骤
小正方形的面积为 $(2-1)^{2}=1$，由勾股定理得，大正方形的面积为 $1^{2}+2^{2}=5$，所以可能性为 $\frac{1}{5}$。

解题步骤
因为 $49=7\times7$，大正方形的边长是 7 米，同样，$4=2\times2$，小正方形的边长是 2 米。大正方形的边长是两个长方形的短边加小正方形边长，所以长方形的短边长为 $(7-2)\div2=2.5$（米）。

解题步骤
根据勾股定理：$AB^{2}=2^{2}+4^{2}$
$=20$，$AC^{2}=1^{2}+5^{2}$
$=26$，$BC^{2}=3^{2}+5^{2}$
$=34$，所以 $BC$ 最长。

解题步骤
两边的直角三角形的较短直角边为 $(9-3)\div2=3$，腰长的平方为 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$，所以腰长为 5。所以周长为 $5+5+9+7=22$。

解题步骤
如下图所示，连接 $DE$，作 $BE$ 的垂线，垂足为 $G$，则 $\triangle BGE$ 为直角三角形。且 $AB+BG=EF$，$BG=19-6$
$=13$，又 $CB=DG$
$=3$，且 $DG+GE=DE$
$=8.3+GE$
$=8$，$GE=5$，根据勾股定理 $BE^{2}=BG^{2}+GE^{2}$
$=13^{2}$，所以 $BE=13$。

解题步骤
如下图所示，根据勾股定理，边长为 3 和 4 的长方形的对角线长为 5，这条对角线和长为 12 的棱垂直，在直角三角形 $ABC$ 中，$AC^{2}=5^{2}+12^{2}$，所以 $AC$ 长为 13。

解题步骤
$OB^{2}=AO^{2}+OB^{2}$
$=20^{2}+15^{2}$
$=25^{2}$，可知连杆的长度等于 25 厘米。当滑块 $A$ 向下滑到 $O$ 点，滑块 $B$ 距 $O$ 点的距离是 25 厘米，故滑块 $B$ 滑动了 $25-15=10$（厘米）。

解题步骤
①、②这两个直角三角形完全一样，所以①、②两个直角三角形的两直角边分别为 9cm 和 12cm，由勾股定理可得：$x^{2}=9^{2}+12^{2}$
$=15^{2}$，所以 $x=15$（厘米）。

解题步骤
设 $CE$ 和 $EF$ 都是整数，根据勾股定理可知 $CE=3$，$EF=4$，$CD=5$，所以五边形 $ABCFG$ 的面积为 $4^{2}+7^{2}+\frac{1}{2}\times4\times3=71$（平方厘米）。

解题步骤
设大正方形的边长为 $x$，则从水平方向看小正方形的边长为 $x-1-2$，从竖直方向看小正方形的边长为 $5-(x-4)$，于是有 $x-1-2=5-(x-4)$，解得 $x=6$，所以大正方形面积为 $36$ 平方厘米。

解题步骤
本题考查考生对弦图的认识。拼成的大小正方形分别如左图和右图：大正方形按弦图拼法，中空部分是边长为 $4-3=1$ 的小正方形，面积为 $1$；另一种拼法外框为边长 $3+4=7$ 的正方形，中空为以斜边为边的正方形。所以面积差为 4 个直角三角形的面积：$y=\frac{3\times4}{2}\times4$
$=24$。

解题步骤
可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。因为长方形的长是宽的 2 倍，设长方形的宽为 $a$，那么长用 $2a$ 来表示，长方形的面积可以用 $2a\times a$ 来表示。根据勾股定理，$2a\times2a+a\times a=9\times9$，得出 $a\times a=\frac{81}{5}$，那么长方形的面积等于 $\frac{81}{5}\times2=\frac{162}{5}$
$=32.4$。

解题步骤
阴影部分分成上下两个小直角三角形，组成一个平行四边形，由勾股定理可知平行四边形的较长边长为 10。所以阴影长方形的较短边为 $6\times5\div10=3$，再根据勾股定理可知平行四边形（阴影长方形）的面积为 $6\times3=18$。

解题步骤
如右图所示，作 $PB$ 边的高线，交 $PB$ 于点 $M$，作 $PB$ 延长线的垂线，垂足为 $E$，则 $AM$、$CE$ 即 $\triangle APB$、$\triangle CPB$ 中 $PB$ 边上的高。由 $\triangle APB$ 的面积为 90 平方厘米，可知 $PA\div2=90$，$PA\times2\div12=15$；同理 $CE=48\times2\div12$
$=8$，表示 $CF=8$ 厘米。根据勾股定理，$BE=CF$
$=8$，$ME=15$，由勾股定理 $AB^{2}=ME^{2}+BE^{2}$
$=15^{2}+8^{2}$
$=289$（平方厘米）。

解题步骤
由 $AB^{2}=AO^{2}+OB^{2}$
$=20\dots$（图中两直角三角形全等），可得竖直方向上高为 $6+8=14$（厘米）。

解题步骤
本题考查考生对对边图的认识。面积和 $=3^{2}+4^{2}$
$=5^{2}$，所以拼成大正方形边长为 5。边长 5 厘米，拼法如右图所示。

解题步骤
如下图所示，如果四周四个外角三角形面积之和为中间四边形面积，则四个角的面积是 $5\times3+2\times6=27$ 平方厘米，所以四边形 $MNPQ$ 面积为 $(56+9)\div2=32.5$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，连接小正方形的对角线，易知右上角三角形面积为小正方形面积的 $\frac{1}{4}$，可求得小正方形面积为：$5\times5\div2\times4=50$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，对每个正方形作斜线，设大直角三角形的长直角边为 $x$ 厘米，短直角边为 $y$ 厘米，则 $\begin{cases}3x+y=20\\3x+2y$
$=22\end{cases}$，所以 $\begin{cases}x=6\\y$
$=2\end{cases}$，小正方形面积为 $6^{2}+2^{2}=40$（平方厘米）。

解题步骤
根据勾股定理，可以列出的正方形面积如下：$0^{2}+1^{2}=1$，$1^{2}+0^{2}=1$，$2^{2}+0^{2}=4$，$0^{2}+3^{2}=9$，$0^{2}+4^{2}=16$，$0^{2}+5^{2}=25$，$1^{2}+1^{2}=2$，$1^{2}+2^{2}=5$，$1^{2}+3^{2}=10$，$1^{2}+4^{2}=17$，$2^{2}+2^{2}=8$，$2^{2}+3^{2}=13$。

解题步骤
如下图所示，分别连接 $AD$、$DC$ 中点连线，利用割补法，原正方形被分成 5 个小正方形面积之和，每个小正方形面积为 $5\times5\div5=5$（平方厘米），而阴影部分面积等于 1 个小正方形面积，所以也是 5 平方厘米。

解题步骤
本题考查考生对对边图的认识，面积和 $=3^{2}+4^{2}$
$=5^{2}$，所以拼成大正方形边长为 5。边长 5 厘米，拼法如右图所示。

解题步骤
从 $A$ 点将葛藤剪断，顶点处 $B$ 不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如下图所示，$A$ 点变为地面上的 $C$ 点，则葛藤长为直角三角形 $BAC$ 的斜边 $BC$。由 $AB=20$，$AC=3\times7$
$=21$ 得：$BC^{2}=20^{2}+21^{2}$
$=29^{2}$。所以 $BC=29$（尺）。

解题步骤
因为 $BMDN$ 是一个菱形，可设 $BM=MD$
$=ND$
$=BN$
$=x$，则 $AN=10-x$，在直角三角形 $ABN$ 中，由勾股定理 $6^{2}+(10-x)^{2}=x^{2}$，即 $136=20x$，解得 $x=6.8$，菱形 $BMDN$ 的面积为 $6.8\times6=40.8$（平方厘米）。

解题步骤
设 $AF=x$，$(18-x)^{2}=12^{2}+x^{2}$，算出 $x=5$，$DF=13$ 厘米。也可以直接考虑常用勾股数为 5、12、13。

解题步骤
设 $AD=a$，$DE=EF$
$=6$，所以 $a^{2}+6^{2}=29^{2}$ 及 $a^{2}+(2b)^{2}=41^{2}$，由此得 $b^{2}=a^{2}+(4b)^{2}+150^{2}$
$=2041$
$=71^{2}$，所以 $AC=71$ 厘米。

解题步骤
剪去的角是边长为 17 厘米，又知截下的一角为直角三角形，直角三角形被剪去的三条边满足勾股定理，所以五边形的边长只有两种情况。如下图所示，五边形的面积为 $17\times14\div2\times2=208$（平方厘米），右图中五边形的面积为 $17\times13-4\times3\div2=215$（平方厘米）。

解题步骤
如右图所示，铁片分为中间的正方形和四个长方形两部分，中间的正方形面积为 $100^{2}=10000$（平方厘米）。四个长方形拼成一个 $100\times100=10000$（平方厘米）的正方形。剪出的最大正方形的对角线长为 $100+100=200$，那么剪出的最大正方形的一半面积为 $10000+4000\div2\times2=18000$（平方厘米）。

解题步骤
如上图所示，把 $AB$ 对折到 $AC$ 上与 $AC$ 重合，把 $AD$ 对折到 $AC$ 上与 $AC$ 重合，得到四边形 $AECF$。由勾股定理，$AC=30$，设 $BE=BG$
$=x$，$S_{\triangle BAE}=S_{\triangle GAE}$，$24\times18\div2=24x\div2+30x\div2$，那么 $x=8$，$FH=DF$
$=y$，$S_{\triangle BAE}=S_{\triangle GAE}$，$24\times18\div2=18y\div2+30y\div2$，那么 $y=9$，$S_{\text{四边形 }AECF}=S_{\triangle AEC}+S_{\triangle AFC}$
$=30\times(8+9)\div2$
$=255$。

解题步骤
剩下长方形长宽之差为 $\frac{1}{2}$ 米，面积为 $\frac{65}{18}$ 平方米，将四块这样的长方形拼成下图的大正方形，中心空一个小正方形，这个小正方形的边长是 $\frac{1}{2}$ 米。大正方形的面积是 $\frac{65}{18}\times4+(\frac{1}{2})^{2}=\frac{260}{18}+\frac{1}{4}$
$=\frac{529}{36}$（平方米）。因为 $\frac{23}{6}\times\frac{23}{6}=\frac{529}{36}$，所以大正方形的边长是 $\frac{23}{6}$ 米。大正方形边长比原正方形边长 2 倍多 $\frac{1}{2}$ 米，所以原正方形的边长为 $(\frac{23}{6}+\frac{1}{2})\div2=\frac{26}{6}\div2$
$=\frac{13}{6}$（米）。锯下的木条面积是 $\frac{13}{6}\times\frac{1}{2}=1\frac{1}{12}$（平方米）。

解题步骤
如图所示，连接 $RQ$，连接 $BQ$ 与 $AR$ 交于点 $O$。设 $AO=c$，$BO=a$，$OR=d$，$OQ=b$。因为 $a^{2}+b^{2}=AQ^{2}$
$=\frac{1}{4}AC^{2}$
$=16$，$a^{2}+d^{2}=BR^{2}$
$=\frac{1}{4}BC^{2}$
$=9$，又因为 $a^{2}+c^{2}=AB^{2}$，$b^{2}+d^{2}=QR^{2}$
$=\frac{1}{4}AB^{2}$，所以 $\frac{5}{4}AB^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$
$=16+9$
$=25$，所以 $AB^{2}=20$。所以 $AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}=20+64+36$
$=120$。

解题步骤
连接 $AP$、$BP$、$CP$。则 $AF^{2}+BD^{2}+CE^{2}=(AP^{2}-PF^{2})+(BP^{2}-PD^{2})+(CP^{2}-PE^{2})$；$BF^{2}+CD^{2}+AE^{2}=(BP^{2}-PF^{2})+(CP^{2}-PD^{2})+(AP^{2}-PE^{2})$，所以 $AF^{2}+BD^{2}+CE^{2}=BF^{2}+CD^{2}+AE^{2}$，两边同乘 $\frac{\pi}{2\times4}$ 得：$\frac{\pi}{2}(\frac{AF}{2})^{2}+\frac{\pi}{2}(\frac{BD}{2})^{2}+\frac{\pi}{2}(\frac{CE}{2})^{2}=\frac{\pi}{2}(\frac{BF}{2})^{2}+\frac{\pi}{2}(\frac{CD}{2})^{2}+\frac{\pi}{2}(\frac{AE}{2})^{2}$，也就是 $S_{1}+S_{3}+S_{5}=S_{2}+S_{4}+S_{6}$，所以 $S_{6}-S_{5}=S_{1}-S_{2}+S_{4}-S_{3}$
$=1+2$
$=3$。

解题步骤
方法一：勾股定理，如右图所示，延长 $AE$、$CF$ 相交于 $G$，连接 $EF$。设 $AE=a$，$EG=8-a$，$GF=8-b$，$DF=13-b$。$\triangle EDF$ 和 $\triangle EGF$ 为直角三角形，由勾股定理 $b^{2}+(13-b)^{2}=(12-a)^{2}+(8-a)^{2}$（①），$S=12\times8-\frac{b(13-b)}{2}-\frac{(12-a)(8-a)}{2}$
$=48+\frac{b^{2}}{2}-\frac{13b}{2}+\frac{a^{2}}{2}+10a$（②），化简①得 $\frac{b^{2}}{2}-\frac{13b}{2}+10a=\frac{39}{4}$，代入②得多边形面积为 $S=48+\frac{39}{4}$
$=57.75$。方法二：旋转法，如右图所示，将 4 个多边形拼成一起可得到一个边长为 13 的大正方形。所以多边形的面积为 $S=\frac{(12+8)^{2}-13^{2}}{4}$
$=57.75$。

解题步骤
四个角各截去一个边长为 $4$ 厘米的正方形，折出一个长 $28-4\times2=20$ 厘米、宽 $18-4\times2=10$ 厘米、高 $4$ 厘米的无盖长方体容器，所以容积为 $20\times10\times4=800$ 立方厘米。

解题步骤
设大长方体的长为 $a$，则宽和高都为 $\frac{a}{2}$。由图切割方式，由切割增加的表面积为 $1+2+2$，由面积关系可求得。由表面积之和 $600$ 平方分米，所以这个长方体的长 $a=10$ 分米，宽和高都为 $5$ 分米，故大长方体的体积为 $10\times5\times5=250$ 立方分米。

解题步骤
瓶子里的水体积为 $4\times10=40$ 立方厘米。设空着部分体积为 $(7-5)\times10=20$ 立方厘米。所以瓶子的容积为 $40+20=60$ 立方厘米。

解题步骤
沿水平方向把它横切成 $4$ 个小长方体，增加的表面积是 $6$ 个长方形截面，由切片之间共切了 $3$ 刀，每刀增加 $2$ 个截面。所以一个截面的面积为 $240\div6=40$ 平方分米，宽为 $40\div20=2$ 分米。所以原长方体的体积为 $40\times20=800$ 立方分米。

解题步骤
如图，两个图中阴影部分的水的体积是相等的，所以只用考虑其他部分水的体积相等，所以有 $60\times60\times(110-100)=15\times15\times25+(60\times60-15\times15)\times h$，得 $h=9$（厘米），那么露出水面部分的铁块的长是 $25-9=16$（厘米）。

解题步骤
设长方体的三条棱长分别为 $a-1,a,a+1$，则它的体积为 $a^{3}-a$，它的所有棱长之和为 $[(a-1)+a+(a+1)]\times4=12a$，于是有 $a^{3}-a=12a\times2$，即 $a^{3}=25a,a^{2}=25,a=5$，即这个长方体的棱长分别为 $4,5,6$。所以它的表面积为 $(4\times5+4\times6+5\times6)\times2=148$。

解题步骤
长方体中：
高 $+$ 宽 $=\frac{1}{2}(365-5)$
$=180$ ……①
高 $+$ 长 $=\frac{1}{2}(405-5)$
$=200$ ……②
长 $+$ 宽 $=\frac{1}{2}(485-5)$
$=240$ ……③
②$-$①：长 $-$ 宽 $=20$ ……④
（③$+$④）$\div2$：长 $=130$，从而宽 $=110$，代入①得高 $=70$。
所以长方体的体积为 $70\times110\times130=1001000$（立方厘米）$=1.001$（立方米）。

解题步骤
把 $25$ 块棱长为 $1$ 的正方体积木堆放成一个几何体，当从积木互相重合的面最多时表面积最小。设想 $27$ 块组成 $3\times3\times3$ 的大正方体积木，其表面积为 $54$（即 $6\times3\times3$）。现在要去掉 $2$ 块小积木来成为 $25$ 块，只要去掉表面积不会减少，要使得总表面积最小，发现在一个角处去掉相邻两块小积木后（如缺一角），表面积不变；与边上去掉的 $2$ 块的立方体相比较，$3\times3\times3=54$，所以堆放 $25$ 块小积木的最小表面积是 $54$。

解题步骤
由题意知长、宽、高的和为 $28\div4=7$（厘米），又根据题意长、宽、高各不相同，且是整数，所以只能是 $1,2,4$，所以体积为 $8$ 立方厘米。

解题步骤
由图中可知，假设小长方体最长的棱为长，次长的棱为宽，最短的棱为高，根据图乙可得出：长 $=3$ 高，$2$ 长 $=3$ 宽，假设小长方体的高为 $a$，那么小长方体的长就是 $3a$，那么宽就是 $3a\times2\div3=2a$，那么小长方体的体积就应该是 $a\times2a\times3a=6a^{3}$，说明 $a^{3}$ 即 $125$，那么 $a=5$，小长方体的长宽高分别是 $15,10,5$，那么根据图形列出算式：$(30\times15+30\times15+15\times15)\times2=2250$（平方厘米）。

解题步骤
白色正方体的体积占总体积的 $93.75\%$，即占整个的 $\frac{15}{16}$，白色正方体与黑色正方体体积之比为 $15:1$，观察可知，每一层黑色正方体有 $4$ 个，则白色正方体有 $60$ 个，所以每一层共有 $64$ 个正方体，设小正方体的棱长为 $1$，则大正方体的棱长为 $8$，共有 $8$ 层，所以一共用了 $4\times8=32$（个）黑色的小正方体。

解题步骤
第一次切下的正方体的棱长是 $12$ 厘米，第二次切下的正方体的棱长是 $9$ 厘米，第三次切下的正方体的棱长是 $6$ 厘米。
最后剩下的体积是
$21\times15\times12-12^{3}-9^{3}-6^{3}=3780-1728-729-216$
$=1107$（立方厘米）。

解题步骤
设大正方体的棱长为 $a$，则大正方体的体积等于 $a^{3}$ 个体积都等于 $1$ 的小正方体，其中六个面都没有涂红色的小正方体的个数是 $(a-2)^{3}$。
所以 $\dfrac{(a-2)^{3}}{a^{3}}=\dfrac{8}{27}$
$=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}$
$=\left(\dfrac{a-2}{a}\right)^{3}$，于是有 $a=6$。

解题步骤
采用"压缩"的方法，把上面都列大正方体的上面，总表面积 $=$ 大正方体的表面积 $+$ 中正方体的侧面积 $+$ 小正方体的侧面积 $=5\times5\times6+2\times2\times4\times4+1\times1\times4\times4$
$=230$（平方厘米）。

解题步骤
运用三视图法，从前后面观察到的面积为 $5^{2}+3^{2}+2^{2}=38$（平方厘米），从左右两个面观察到的面积 $5^{2}=25$（平方厘米），从上下能观察到的面积为 $5^{2}=25$（平方厘米）。表面积为 $(38+25+25)\times2=194$（平方厘米）。

解题步骤
由三视图不难分析得出，右上方的棋子有 $4$ 枚，左下方的棋子有 $4$ 枚，左上方的棋子有 $6$ 枚。所以以桌上共 $14$ 枚棋子。

解题步骤
表面积等于 $(8+8+6)\times2=44$（平方厘米）。

解题步骤
用三视图法，从前后看每个方向各看到 $8$ 个面，从左右各看到 $7$ 个面。所以，这个立体图形的表面积是 $(12+8+7)\times2=54$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，最少为 $9$ 个。（按图给出满足三视图的堆放方式，共需 $9$ 个小立方体。）

解题步骤
分别求 A、B、C 的体积。
A：$30\times30\times50=45000$（立方厘米）；
B：$35\times35\times40=49000$（立方厘米）；
C：$40\times40\times30=48000$（立方厘米）。
所以以 B 铁皮焊接成的桶装水最多。

解题步骤
宽 $+$ 高 $=7$，长 $=5$，长 $+$ 高 $=8$，所以长 $=5$，高 $=3$，宽 $=4$，体积为 $3\times4\times5=60$（立方厘米）。

解题步骤
注意，此题是焊接而成，而不是堆叠。棚中间可空，所以用 $9$ 个小正方体铁框架可焊接成面。

解题步骤
此立体图形示意图如下：共 $20$ 条棱。（由正五边形底、$5$ 个长方形侧面与 $5$ 个三角形面拼成的棱锥形多面体，数得共 $20$ 条棱。）

解题步骤
一面涂色的小正方体所在的位置在正方体的 $6$ 个面上且不能处在棱的位置，则 $6(n-2)^{2}=1014$，可求得 $n=15$，所以小正方体的个数为 $15^{3}$ 个。

解题步骤
因为水刚好不溢出，所以②$=$③。
①的体积为 $3\times3\times1$
②的体积为 $3\times3\times(4-1)\div2$
所以容器内水的总体积为 $3\times3\times(4-1)\div2+3\times3\times1=22.5$（立方分米）。

解题步骤
易知 B 对面是 $D$，$C$ 对面是 $F$，$A$ 对面是 $E$。

解题步骤
两点之间，线段最短，那么在展开图中，AB 应为连接 A 点和 B 点的线段。
根据勾股定理，$AB^{2}=(20+12)^{2}+24^{2}$
$=1600$
$=40^{2}$，或 $AB^{2}=(20+24)^{2}+12^{2}$
$=2080$，或 $AB^{2}=(24+12)^{2}+20^{2}$
$=1696$，所以最短的长度应该是 $40$ 厘米。

解题步骤
在展开扇形上黑色条纹与 $OA$、$OB$ 是垂直的，当 $OA$、$OB$ 重合时，接口处黑色条纹应平直连接，由此排除 (a)、(c)、(d) 选 (b)。

解题步骤
$(1111)_6 = 1\times 6^3 + 1\times 6^2 + 1\times 6 + 1 $
$= 259$。

解题步骤
在八进制中被 $7$ 除的性质与在十进制中被 $9$ 除的性质相同，$(6+4+3+7+2+1)\div 7 = 3\cdots\cdots 2$。

解题步骤
和的个位为 $9$，不会发生进位 $y+w=9$，十位明显进位 $x+z=13$，所以 $x+y+z+w=22$。

解题步骤
$\overline{a}+\overline{b3}+\overline{1c26}+\overline{d341}=1837\times 4$，
即 $1000d+100c+10b+a = 1837\times 4 - 341 - 26 - 3 - 1000$，
即 $\overline{dcba}=5978$，所以 $\overline{acdb}=8957$。

解题步骤
设原来这个四位数是 $\overline{abcd}$，则有 $\overline{ab}+a+b=37$，$\overline{cd}+c+d=79$，即 $11a+2b=37$，$11c+2d=79$，解得 $a=3$，$b=2$，$c=7$，$d=1$，所以原来这个四位数是 $3271$。

解题步骤
设原来这个两位数是 $\overline{ab}$，则有 $\overline{ab}+45=\overline{ba}$，即 $(10b+a)-(10a+b)=45$，解得 $b-a=5$，因此满足条件的所有两位数是 $16$、$27$、$38$、$49$。

解题步骤
将 $A$ 的小数点向右移动两位则 $A$ 变成 $100$ 倍，即 $B=100A$，那么 $B+A=101A$，$B-A=99A$，$B+A$ 是 $B-A$ 的 $\dfrac{101}{99}$ 倍。

解题步骤
由于和是 $2000.81$，小数点不可能加在个位数之前，如果小数点加在十位数之前，所得数除非常接近 $2$，与题意不符，所以小数点加在百位数之前，得到数除以约为 $20$，所以小数点加在百位数之前，则四位数加它的百分之一得 $2000.81$，则四位数为 $2000.81\div 1.01=1981$，故四位整数是 $1981$。但是因为 $(2000.81\div 1.001)$ 和 $(2000.81\div 1.0001)$ 都不是整数，所以只有 $1981$ 是唯一的答案。

解题步骤
方法一：利用位值原理直接计算：
$111111222222$
$=111111\times 1000000+111111\times 2$
$=111111\times 1000002$
$=111111\times 3\times 333334$
$=333333\times 333334$
所以，$k=333333$。
方法二：找规律：
$3\times 4=12$
$33\times 34=1122$
$333\times 334=111222$
$\cdots$
所以 $111111222222 = 333333\times 333334$，所以 $k=333333$。

解题步骤
设 $x=\overline{abcdefg}$，则
$$(20000000+x)\times 3 = 10x+4$$
$$7x = 59999996$$
$$x = 8571428$$
即七位数应是 $8571428$。

解题步骤
设这个三位数为 $\overline{aaa}$，$\overline{aaa}\div(100a+10a+a)\div(a+a+a)=111a\div 3a$
$=37$ 岁。

解题步骤
设汽车每小时行驶的路程为 $\overline{yx}-\overline{xy}=10y+x-10x-y$
$=9y-9x$，
又有汽车每小时行驶的路程为 $(\overline{x0y}-\overline{xy})\div 2=(100x-10x)\div 2$
$=45x$。
于是有 $9y-9x=45x$，即 $y=6x$。
又根据题意可知 $x$、$y$ 肯定是 $0\sim 9$ 的数值，且不等于 $0$，只能是 $x=1$，$y=6$，所以汽车每小时行驶 $45$ 千米。

解题步骤
由题意，竖式为
$$\begin{array}{r} a\;b\;c \\ +\quad 9\;9 \\ \hline c\;b\;a \end{array}$$
则有 $a+1=c$，要 $\overline{abc}$ 最大，如果 $a=8$，那么 $c=9$，剩下 $b$ 最大取 $7$，所以 $\overline{abc}$ 最大是 $879$。

解题步骤
设三个数字为 $a$、$b$、$c$，不会发生进位 $x+w=9$，十位明显进位 $x+z=13$……（按位值原理，$6$ 个不同三位数之和为 $222(a+b+c)$，由 $222(a+b+c)=5328$ 得 $a+b+c=24$，即百位、十位、个位上数字和均为 $24$。每位数字和为 $24$，要最小三位数则百位尽量小，故百位取 $1$，于是十位与个位之和为 $23$，故最小三位数是 $159$。）

解题步骤
由题意 $(abc)_9=(cba)_6$，即 $81a+9b+c=36c+6b+a$，即 $80a+3b=35c$，所以 $16a+\dfrac{3}{5}b=7c$，即 $b$ 是 $5$ 的倍数，故 $b=0$ 或 $5$。
①若 $b=0$，则 $80a=35c$，即 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{7}{16}$，$a$、$c$ 都不为 $0$，所以 $a=16$，$c=7$，但这与 $a$、$c$ 是九进制、六进制数码矛盾（数码必须小于进制），无解。
②若 $b=5$，则 $80a+15=35c$，即 $16a+3=7c$，可知 $2a$ 与 $4$ 相关，可取 $a=2$，则 $c=5$，符合数码条件。故 $a=2$，$b=5$，$c=5$，所求数为 $(255)_9=2\times 81+5\times 9+5$
$=212$。

解题步骤
本题实际上是一个 $12$ 进制计算问题，我们可以将其转化为十进制后计算。$3°7'10''$、$6°8'3''$ 即 $(3\,7\,10)_{12}$ 与 $(6\,8\,3)_{12}$，化为十进制：$(3\,7\,10)_{12}=3\times 144+7\times 12+10$
$=430$ 支，$(6\,8\,3)_{12}=6\times 144+8\times 12+3$
$=963$ 支，相差 $963-430$……（按 $12$ 进制借位竖式 $6°8'3''-3°7'10''$ 计算得 $2°8'11''$，化为支数 $2\times 144+8\times 12+11=995$ 支。）

解题步骤
甲数有两次借位，每次借位会使数字和增加 $9$，所以甲乙两数之差的各位数字之和是 $9+9\times 2-10=17$。

解题步骤
说明四位数加它的倒序数为一个回文四位数，加上原来的四位数与倒序数之和必为各位对称（回文）结构。四位数与其倒序数之和的各位数字应对称，再加 $1$ 后分析各候选答案的各位结构，只有甲的答案 $8988$ 符合要求，故正确的是甲。

解题步骤
说明账面记金额比实际少 $153$ 元，$100a+b=17$（$a$、$b$ 表示元、角）……（设记错的那笔账实际金额为 $x$ 元，错记成 $0.1x$ 元，则少记 $0.9x=153$，得 $x=170$ 元；若错记成 $0.01x$，则少记 $0.99x=153$，$x$ 不为整数，故实际金额为 $17$ 元。）

解题步骤
设原来的三位数为 $\overline{a0c}$，则有 $\overline{a0c}=67(a+c)$，即 $100a+c=67a+67c$，即 $33a=66c$，可得 $a=2c$。交换后新三位数为 $\overline{c0a}$，则 $(10b+a)\div(a+c)=(100c+a)\div(a+c)$，由 $a=2c$ 得 $\overline{c0a}=\overline{c0(2c)}$
$=102c$，而 $a+c=3c$，所以新三位数 $\overline{c0a}$ 是各位数字和的 $102c\div 3c=34$ 倍。

解题步骤
设这个三位数为 $\overline{abc}$，那么最大三位数 $\overline{cba}$，于是 $A=\overline{cba}-\overline{abc}$
$=99(c-a)$，三位数 $A$ 是 $99$ 的倍数，所有可能值如下：$198$、$297$、$396$、$495$、$594$、$693$、$792$、$891$，代入题中检验，得 $A=495$。

解题步骤
设孩子的年龄为 $\overline{1a}$，父亲的年龄是 $\overline{cd}$，根据题意有 $\overline{cd\,1a}=(\overline{cd}-\overline{1a})+4289$，所以 $\overline{cd}=43$，$\overline{1a}=16$，所以孩子和父亲的年龄和为 $43+16=59$。

解题步骤
设零巧数为 $\overline{a0bc}$，因此有 $\overline{a0bc}=9\times\overline{abc}$，即 $1000a+\overline{bc}=900a+9\times\overline{bc}$，即 $\overline{bc}=25a$，因此最小为 $8$ 的倍数（即 $a\leqslant 4$），代入得 $2025$、$4050$、$6075$。

解题步骤
$\overline{acb}+\overline{bac}+\overline{bca}+\overline{cab}+\overline{cba}=2003$，即 $\overline{abc}+\overline{acb}+\overline{bac}+\overline{bca}+\overline{cab}+\overline{cba}=2003+\overline{abc}$，$222(a+b+c)=2003+\overline{abc}$。
由 $222(a+b+c)>2003$ 且 $222\times(a+b+c)>2003$，所以 $11>a+b+c\geqslant 10$，
当 $a+b+c=10$，$\overline{abc}=222\times 10-2003$
$=217$，（合）；
当 $a+b+c=11$，$\overline{abc}=222\times 11-2003$
$=439$，$4+3+9=16\neq 11$（舍）；
当 $a+b+c=13$，$\overline{abc}=222\times 13-2003$
$=883$，（舍）；
当 $a+b+c=14$，$\overline{abc}=222\times 14-2003$
$=1105$，（舍）。
所以小明想的三位数是 $217$。

解题步骤
设原来的四位数为 $m$，最大的四位数为 $\overline{abcd}$，则最小的四位数为 $\overline{dcba}$，根据题意有
$\begin{cases}\overline{abcd}-m=3834\\ m-\overline{dcba}$
$=4338\end{cases}$
所以有 $\overline{abcd}-\overline{dcba}=3834+4338$
$=8172$，可得 $999(a-d)+90\times(b-c)=8172$
$=7992+180$，
则 $a-d=8$，$b-c=2$，$a=9$，$d=1$，$m=\overline{1b9 d}+4338$，且 $m$ 的四位数字分别为 $1$、$c$、$b$、$9$，由 $a=9$ 知 $a=9$，$d=1$，$b-c=2$，则 $b=9$，$c=7$，所以 $m=1579+4338$
$=5917$。

解题步骤
①设这个人的出生年为 $\overline{19ab}$，根据题意 $1+9+a+b=2008-\overline{19ab}$，
$10+a+b=2008-1900-10a-b$，
化简得：$11a+2b=98$。
所以 $11a=98-2b$，因为 $a\leqslant 9$，所以 $11a\geqslant 98-18=80$，从而 $a\geqslant 8$，得到 $a=8$，$b=5$，这个人的年龄为 $2008-1985=23$（岁）。
②设这个人的出生年为 $\overline{200a}$，根据题意 $2+0+0+a=2008-\overline{200a}$，$2+a=8-a$，$a=3$，这个人的年龄为 $2008-2003=5$（岁）。

解题步骤
魔数从小到大排列：$3$、$5$、$6$、$9$、$10$、$12$、$15$、$17$、$18$、$20\cdots$，即 $10$ 个数中有 $1$ 在末位的有 $5$ 个，即在偶数位第二位、$5$ 个 $1$ 在偶数位第三位、$2$ 个 $1$ 在偶数位第 $4$ 位、$3$ 个 $1$ 在偶数位第 $5$ 位，和为 $5\times 1+5\times 2+5\times 2^2+4\times 2^3+3\times 2^4=115$，即前 $10$ 个魔数的和为 $115$。

解题步骤
利用三进制，因 $2009=(2202102)_3$，
$=2\times 3^6+2\times 3^5+0\times 3^4+2\times 3^3+1\times 3^2+0\times 3+2\times 3^0$
$=(3\times 3^6-1\times 3^6)+(3\times 3^5-1\times 3^5)+0\times 3^4+(3\times 3^3-1\times 3^3)+1\times 3^2+0\times 3+(3\times 3^0-1\times 3^0)$
$=1\times 3^7+0\times 3^6-1\times 3^5+1\times 3^4-1\times 3^3+0\times 3^2+1\times 3-1\times 3^0$
即 $2009+243+27+1=2187+81+9+3$，
故与物品在同一秤盘上的砝码 $243$ 克、$27$ 克与 $1$ 克，总重为 $271$ 克。

解题步骤
设这个两位数为 $\overline{ab}$，则其逆序数为 $\overline{ba}$。根据题意有 $\overline{ab}=\dfrac{1}{2}(\overline{ba}+1)$，所以 $\overline{ba}+1=2\,\overline{ab}$，即 $10b+a+1=20a+2b$，得 $8b+1=19a$，可见 $a$ 为奇数，而且 $19a\leqslant 8\times 9+1=73$，得到 $a<4$。$a$ 可能为 $1$ 或 $3$，代入 $8b+1=19a$ 可知只有当 $a=3$ 时 $b=7$ 是整数，所以所求的两位数为 $37$。

解题步骤
（1）设两位奇妙数 $\overline{ab}=10a+b$（$a\neq 0$）。
则 $a+b=\overline{ab}$
$=10a+b$，从而 $a=b\times 9a$，得 $b=9$。
因此两位数中的奇妙数为 $19$、$29$、$39$、$49$、$59$、$69$、$79$、$89$、$99$。
（2）三位数中没有奇妙数。
说明：设三位奇妙数 $\overline{abc}=100a+10b+c$（$a\neq 0$）。
由 $a+b+c+abc=\overline{abc}$
$=100a+10b+c$，所以 $9\mid abc$。
①$a$、$b$、$c$ 中有一等于 $9$，若 $c=9$，则 $\overline{ab}=11a+b$（$a\neq 1$，否则 $11=0$）即 $b(a-1)=11a$，从而 $11\mid b$ 或 $11\mid(a-1)$，不可能。同理：$a=9$ 或 $b=9$ 均不可能。
②若 $a$、$b$、$c$ 中有两个为 $3$ 的倍数，如 $a=3l_1$，$b=3l_2$（$l_1$，$l_2=1$ 或 $2$）。则 $l_1 l_2 c=33l_1+3l_2\geqslant 36$，又 $l_1 l_2 c\leqslant 4c$，从而 $4c\geqslant 36$，$c=9$，由①知，这不可能。

解题步骤
设支票金额为 $\overline{abcd}$，银行职员将百元与千元数字弄并支付 $\overline{abdc}$（百、千位互换）……由题意，错付的金额减去 $152$ 元后等于支票金额的两倍，列出位值方程化简得 $19a=8b-2$，于是 $a$ 是偶数，并且 $19a\leqslant 8\times 9-2=70$，于是 $a=2$，于是 $b=5$，于是原支票的面额是 $2548$ 元。

解题步骤
设 $a=10x+x$，$b=10y+y$，$c=1000z+100z+10z+z$，其中 $x$、$y$、$z$ 是非零数码，则由 $a^2+b=c$，可得整数方程：
$121x^2+11y=1111z$，即 $11x^2+y=101z$，即 $2z-y=11x^2-99z$
$=11(x^2-9z)$。
因为 $x$、$y$、$z$ 是非零数码：
①$2z-y=11$，$x^2-9z=1$，由 $x$、$y$、$z$ 是非零数码之条件，解出 $z=7$，$x=8$，$y=3$；
②$2z-y=0$，$x^2-9z=0$，由 $x$、$y$、$z$ 是非零数码之条件，解出 $z=1$ 或 $4$，$x$ 相应为 $3$、$6$……
故所有满足条件的数组 $(a,b,c)$ 为 $(88,33,7777)$、$(33,22,1111)$ 和 $(66,88,4444)$。

解题步骤
$2008$ 是 $8$ 的倍数, 则 $\overline{1a87a2}$ 也是 $8$ 的倍数, 所以 $\overline{7a2}$ 是 $8$ 的倍数, $a$ 只能是 $1$、$5$ 或 $9$. 经试除可知 $a=9$ 时满足题目要求, 所以 $a=9$.

解题步骤
要想使六位数最小, 则三个方框里的数字应最小, 最小为 $302010$, 满足被 $3$、$5$ 整除, $3$ 和 $5$ 互质, 所以 $302010$ 能被 $15$ 整除. 所以六位数中最小的是 $302010$.

解题步骤
一个数除以 $9$ 的余数, 等于它的各个数位上的数字和除以 $9$ 的余数, 所以这个数除以 $9$ 的余数即 $1+2+3+\cdots+2009$ 除以 $9$ 的余数. $1+2+3+\cdots+2009=2010\times2009\div2\equiv3\times2\div2\equiv3\pmod{9}$, 即该多位数除以 $9$ 余 $3$, 则商的个位数字乘以 $9$ 所得积的个位为 $9-3=6$, 所以商的个位数字为 $4$.

解题步骤
方法一: 能被 $72$ 整除, 则一定能被 $8$ 和 $9$ 整除. 所以数字和应为 $9$ 的倍数, 且末三位为 $8$ 的倍数, 经试验可知最小写到 $36$ 时, 数字和一定是 $9$ 的倍数, 而 $536$ 是 $8$ 的倍数, 所组成的数能被 $72$ 整除. 所以这个自然数为 $36$.
方法二: 假设满足条件的数是 $n$, 则 $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 能被 $9$ 整除, 因此 $n$ 或 $n+1$ 是 $9$ 的倍数, 且 $n$ 是偶数, 所以 $n=8,18,26,36,\cdots$ 经检验 $n=36$.

解题步骤
因为 $99$ 和 $101$ 互质, 所以原数是 $9999$ 的倍数. 因此 $9999\mid\overline{20116\text{XES杯XES杯XES杯XES杯}20116000}$, 所以 $9999\mid(2+0116+\overline{\text{XES杯}}\times4+2011+6000)$, 即 $9999\mid(\overline{\text{XES杯}}\times4+8129)$, 因为 $8129$ 被 $4$ 除余 $1$, $9999$ 被 $4$ 除余 $3$, 所以 $\overline{\text{XES杯}}\times4+8129=9999\times3$, 所以 $\overline{\text{XES杯}}=5467$, 数字和为 $22$.

解题步骤
最小的两位数是 $10$, 但如果在 $10$ 的前面添加数字, 得到的新数肯定都能被 $10$ 整除, 所以 $10$ 不是 “破坏数”. 除了 $10$ 之外, 最小的两位数是 $11$, 在 $11$ 前面添加一些数字, 得到新数的数字和为 $11$, 由于一个数被 $11$ 整除取决于它的奇偶位数字之差, 而添加数字之和是奇数 $11$, 所以这两个奇偶位数字之和的奇偶性不同, 即新数不可能被 $11$ 整除, 因此此新数一定不能被 $11$ 整除, 即最小的 “破坏数” 是 $11$.

解题步骤
这个七位数是 $55$ 的倍数, 所以是 $5$ 和 $11$ 的倍数. 是 $5$ 的倍数, 个位只能是 $0$ 或 $5$; 是 $11$ 的倍数, 奇数位数字和与偶数位数字和之差应为 $11$ 的倍数(包括 $0$), 由于各位数字和为 $21$, 是奇数, 所以差只能为 $11$. $(21-11)\div2=5$, 要想最大, 首位应为 $6$, 所以奇数位数字和为 $21-5=16$, 偶数位数字和为 $5$. 第二位最大只能是 $4,5=4+1+0,0$ 在偶数位, 因此个位是 $5$, 所以这个数为 $6431205$.

解题步骤
由前 $9$ 位数能被 $10$ 整除, 可知第九位数字为 $0$; 由第八位能被 $5$ 整除, 可知第四位数字为 $5$; 由第四、第八位能被 $5$ 整除, 可知前四位数字为 $9$ 的倍数, 而所有数字本身就是 $9$ 的倍数, 所以第十位数字只能是 $9$; 由第二、四、六、八位能被 $2$ 整除, 故第二位数字只能是 $1$、$4$ 或 $7$, 如果第二位数字是 $4$, 则由第二位能被 $4$ 整除, 故第三位数字只能是 $1$ 或 $7$; 则第三位数字只能是 $2$ 或 $6$, 结合前后各位数知后面位数只能是 $1$ 或 $7$, 由前六位能被 $6$ 整除, 故第六位数字 $6$, 第四位数字只能为 $5$, 经过排除可知这个十位数为 $8165432709$.

解题步骤
被 $10$ 整除可以确定末位为 $0$, 并且能被 $4$ 整除, 所以十位为偶数, 而 $0,4,6,8$ 已经用过, 所以十位为 $2$, 这个数能被 $11$ 整除, 所以由奇数位与偶数位的数字和之差能被 $11$ 的倍数, 所以补剩余 $1,3,5,9$ 应是 $5,9$ 填在奇数位, $1,3$ 填在偶数位. 因此由前四位数字可确定: $4876391520$, 利用 $17$ 来检验, 易得, 这个十全数为 $4876391520$.

解题步骤
“十全数” 如果它能被 $7,8,9,10,11$ 整除, 那么它就能被 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$ 整除.
(1) 因为 “十全数” 要被 $10$ 整除, 所以个位必是 $0$.
(2) 数字 $0\sim9$ 的和是 $45$, 所以不管数字如何排列, 这个数一定能被 $9$ 整除.
(3) 这个数要能被 $11$ 整除, 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差就要能被 $11$ 整除. 因为和是 $45$, 所以这个差也一定是奇数(想一想为什么), 所以只能是 $11$. 根据和差问题可求出奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和分别是 $(45-11)\div2=17$, $(45+11)\div2=28$. 为了让数最小我们可以让前四位为 $1234$, 这时 “十全数” 的形式为 $1234\square\square\square\square\square0$. 那么奇数位上的数字 $2+4+\square+\square+0=17$, $\square+\square=11$, 只能是 $5+6=11$, 为了让数最小, 我们让百位上的数字是 $6$, 万位上的数字是 $5$. $1234\square5\square6\square0$, 这时构成的能被 $11$ 整除的最小的 “十全数” 为 $1234758690$.
(4) 因为 $1234758690$ 的末三位不是 $8$ 的倍数, 所以 $1234758690$ 也不是 $8$ 的倍数, 我们调换一下 $8$ 和 $9$ 的位置把数变为 $1234759680$, 这个数是 $8$ 的倍数. 经验证 $1234759680$ 这个数能被 $7$ 整除, 并且与 $2004$ 的和也能被 $13$ 整除, 所以满足条件的最小 “十全数” 是 $1234759680$.

解题步骤
(1) 求 $\overline{ABCDEF}$ 的最小值: $A$ 最小为 $2$, $\overline{AB}$ 最小为 $21$, $\overline{ABC}$ 最小为 $210$, $\overline{ABCD}$ 最小为 $2107$, $\overline{ABCDE}$ 最小为 $21076$, 此时由 $210760\div13=16212\cdots\cdots4$ 可知 $\overline{ABCDEF}$ 最小为 $210769$.
(2) 再求 $\overline{ABCDEF}$ 的最大值: 为使 $\overline{ABCDEF}$ 最大, 高位上的数应尽可能大. 由于 $A$ 能被 $2$ 整除, 所以 $A$ 最大为 $8$; 当 $A$ 为 $8$ 时, 由于 $\overline{AB}$ 能被 $3$ 整除, $\overline{AB}$ 最大可能为 $87$. 若 $\overline{AB}$ 为 $87$, 则 $\overline{ABC}$ 为 $870$. 若为 $870$, 由 $\overline{ABCD}$ 能被 $7$ 整除可知 $\overline{ABCD}$ 可为 $8701$($8708$ 因有重复数字被排除), 此时由 $\overline{ABCDE}$ 能被 $11$ 整除可知 $E$ 只能为 $0$, 此时也有重复数字, 不合题意. 所以 $B$ 不能为 $7$, $B$ 最大为 $4$. 当 $B$ 为 $4$ 时, $\overline{ABC}$ 为 $840$. 若为 $840$, 则 $\overline{ABCD}$ 只能为 $8407$, 此时由 $\overline{ABCDE}$ 能被 $11$ 整除可知 $E$ 只能为 $3$, 此时 $\overline{ABCDE}$ 为 $84073$, 而 $84073\div13=6467\cdots\cdots2$, 由 $F=6$ 可知 $\overline{ABCDEF}$ 最大为 $840736$.

解题步骤
要想这个多位数尽可能大, 选出的数要尽可能多. 如果这个数是五位以上数, 选出的数中肯定有 $5$, 那么这个数的数位中肯定有数字是 $5$ 的倍数, 个位只能是 $5$, 那么这个数的数位中不能出现 $2,4,6$ 这些偶数, 否则 $5$ 之外都要选出来, 但是 $1+2+3+4+6+7=23$, 这个六位数肯定不能被 $3$ 整除, 所以 $3$ 也不能选, 矛盾. 如果这个数是五位数, $5$ 不能选, 如果没有选 $5$, 那么 $6$ 也不能选, 所以肯定选了 $3$, 由能被 $3$ 整除的判定, 只有 $1+3+4+6+7=21$ 满足条件, 所以这个五位数是由 $1,3,4,6,7$ 构成. 五位数能被 $4$ 整除, 那么末两位能被 $4$ 整除, 只能是 $16,36$ 或 $64$. 如果末两位是 $16$: 最大的 $74316$ 不能被 $7$ 整除, 次大的 $73416$ 能被 $7$ 整除. 如果末两位是 $36$: 最大的 $74136$ 不能被 $7$ 整除, 之后的数小于 $73416$. 如果末两位是 $64$: 最大的 $73164$ 小于 $73416$. 综上所述, 这个多位数是 $73416$.

解题步骤
由于 $\overline{cdab}$ 是 $9$ 的倍数, 说明其各位数字之和能被 $9$ 整除, 所以 $\overline{abcd}$ 也是 $9$ 的倍数; 由于 $\overline{bcda}$ 是 $11$ 的倍数, 那么其奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 $11$ 整除, 也就是 $a+c$ 与 $b+d$ 的差能被 $11$ 整除, 所以 $\overline{abcd}$ 是 $11$ 的倍数; 又根据题意, $\overline{abcd}$ 是 $13$ 的倍数, 那么 $\overline{abcd}$ 是 $9$、$11$、$13$ 的公倍数, 也就是 $[9,11,13]=1287$ 的倍数, 又是四位数, 可能为 $1287,2574,3861,5148,6435,7722,9009$, 其中 $7722$ 和 $9009$ 出现重复数字, 可以排除, 由于 $\overline{dabc}$ 是 $7$ 的倍数, 说明 $\overline{abc}-d$ 是 $7$ 的倍数, 对 $1287,2574,3861,5148,6435,\cdots$ 一一进行检验, 发现只有 $3861$ 满足这一点, 所以 $\overline{abcd}$ 是 $3861$.

解题步骤
所有 $7k-1$、$7k-2$、$7k-3$ 形式的 $n$ 均是符合要求的, $7$ 的倍数中最小的三位数为 $105$, 最大的三位数为 $994$, 三位数中 $7$ 的倍数有 $(994-105)\div7+1=128$(个), 因此 $7k-1$、$7k-2$、$7k-3$ 也各有 $128$ 个, 同时 $1001-3$、$1001-2$ 也满足条件, 所以 $n$ 有 $128\times3+2=386$(个).

解题步骤
设这个数为 $\overline{abcde}$, 从左起删除第 $2$ 个数字形成的四位数是 $2$ 的倍数, 所以 $e$ 是偶数, 可取 $2$ 或 $4$; 从左起删除第 $3$ 个数字形成的四位数是 $3$ 的倍数, $3\mid(a+b+d+e)$, 又 $3\mid(1+2+3+4+5)$, 所以 $c=3$; 从左起删除第 $4$ 个数字形成的四位数是 $4$ 的倍数, 所以 $4\mid\overline{3e}$, 则 $e=2$; 从左起删除第 $5$ 个数字形成的四位数是 $5$ 的倍数, 所以 $d=5$. 综上可确定 $\overline{cde}=352$, 这样的五位数为 $41352$ 或 $14352$.