五年级 · 弦图与勾股定理

🎯找核心概念

这是哪类问题：这一讲专门解决一类问题：图形里藏着直角，要去求某条线段有多长、某块面积有多大。只要看到直角三角形，就能用一条铁律——两条直角边各自平方再相加，正好等于斜边的平方（这就是勾股定理）。本讲既教你直接用这条定理求长度、求面积，也教你它的图形版本『弦图』（四个一样的直角三角形围出大小两个正方形），还教你怎样在没有现成直角三角形时，自己画辅助线、补图、剪拼，把图形变出直角三角形来用。

关键词（大白话）：

勾股定理：在直角三角形里，两条直角边 $a$、$b$ 与斜边 $c$ 满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。知道两条边就能求第三条。
弦图（赵爽弦图）：用四个完全一样的直角三角形拼成一个大正方形，中间会空出一个小正方形。它把『斜边平方=两直角边平方和』直接画了出来。
勾股数：三个能凑成 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的整数，最常见的是 $3,4,5$ 和 $5,12,13$。题目里出现这些数，往往就是在暗示用勾股定理。
斜边平方：斜边（直角对面那条最长的边）的长度乘以自己。本讲很多『面积』其实就是某条斜边的平方。
割补与剪拼：把不规则图形剪开、平移、旋转或补上一块，凑成正方形、矩形或直角三角形，再去算。

🔍理解本质规律

勾股定理是核心工具：直角三角形里 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，已知任意两条边可求第三条。
弦图把定理画成图：四个全等直角三角形拼成的大正方形面积 = 斜边的平方 = 中间小正方形面积 + 四个三角形面积；小正方形边长 = 两直角边之差。
面积常常等于一条边的平方：要画一个面积为某个数的正方形，就找两个直角边，让它们平方和等于这个数，斜边就是要画的边。
没有现成直角三角形时，靠辅助线（作垂线）、补形（补成大矩形/大正方形）、剪拼（弦图旋转拼接）造出直角三角形。
长度不变是常见隐藏条件：连杆长度、折叠前后对应边、菱形四边相等——这些『不变量』正好给出列方程或用定理的等式。

看得见的规律想象四块一模一样的直角三角板（直角边一短一长）。把它们像风车一样头尾相接地围一圈，外面正好拼出一个大正方形（边长就是三角板的斜边），中间会留出一个小方洞（边长就是两直角边之差）。大正方形的地砖总数 = 中间小方洞的地砖 + 四块三角板盖住的地砖。这张『风车图』就是赵爽弦图，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 一眼就看明白了：大正方形面积 $c^{2}$，等于四个三角形 $4\times\frac{ab}{2}=2ab$ 加上中间小正方形 $(b-a)^{2}$，展开正好是 $a^{2}+b^{2}$。

为什么这样解为什么斜边平方等于两直角边平方和？把同样的四个直角三角形换一种拼法：拼成边长为 $(a+b)$ 的大正方形，中间空出的是以斜边为边的正方形 $c^{2}$。两种拼法用的三角形完全一样、总面积一样，于是『大正方形 $-$ 四个三角形 $=$ 中间空白』在两种摆法里都成立，对比就得到 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$。所以本讲所有题，本质都在做同一件事：找到（或造出）一个直角三角形，把已知量塞进 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，缺什么求什么。面积题则反过来用：一条斜边的平方就是一块正方形面积，比较不同拼法的面积差，就等于多出来或少掉的那几块三角形面积。

🗂️分类总结题型

题型	怎么一眼认出	用什么方法
弦图拼合与面积关系g5-c20-p01	题里出现『四个一样的直角三角形/长方形拼成大正方形，中间一个小正方形』，或要比较两种拼法的面积差。	用弦图关系：大正方形边长=斜边、小正方形边长=两直角边之差；面积差=四个直角三角形面积。
正方形/长方形里套小正方形求边长g5-c20-p02	几块长方形围着中间一个小正方形拼成大正方形，给出大、小正方形面积或部分边长。	设大正方形边长，从横、竖两个方向分别表示中间小正方形边长，令两者相等列方程，或直接由面积开方求边长。
格点上的勾股（比长短、画正方形、数面积）g5-c20-p20	图形画在方格纸上，问哪条边最长、画指定面积的正方形、能画出几种正方形。	数出每条斜线段在水平和竖直方向走了几格，用 $a^{2}+b^{2}$ 算它的平方（即对应正方形面积），再比较或枚举。
梯形/多边形作辅助线求边长或周长g5-c20-p04	等腰梯形、台阶形、带直角的多边形，要求腰长、某条斜线段或周长。	作竖直/水平辅助线切出直角三角形，水平边往往是底边之差的一半，再用勾股定理求斜边。
立体与展开里的勾股g5-c20-p06	长方体对角线、圆柱上螺旋缠绕等空间问题。	长方体先求底面对角线再求体对角线（两次勾股）；圆柱把侧面展开成长方形，缠绕线变成对角线。
实际运动中的不变长度g5-c20-p07	连杆、滑块、靠墙木板这类会动但有一段长度不变的题。	抓住不变的那条边（连杆长、正方形边长），在某个位置用勾股定理求出它，再换到目标位置算所求。
整数边长的勾股数问题g5-c20-p09	强调边长是整数、给出像 5、13 这种数，要确定具体边长。	联想常见勾股数 $3,4,5$ 与 $5,12,13$，用整数条件锁定唯一的直角边组合。
比例与对角线求面积g5-c20-p12	长方形长宽成倍数关系、给出对角线长，求面积。	设短边为 $a$、长边按倍数表示，用勾股定理把对角线平方写成 $a^{2}$ 的式子求出 $a^{2}$，面积即长乘宽。
折叠问题列方程g5-c20-p25	纸片沿某条线折叠，给出长宽求折痕段或某线段长。	折叠前后对应线段相等，设未知段为 $x$，在折出的直角三角形里用勾股定理列方程解 $x$。
割补法求内接/阴影图形面积g5-c20-p17	正方形或长方形里嵌一个斜着的四边形、菱形、阴影块，求其面积。	用总面积减去四角直角三角形面积，或把图割成等积小块，阴影占其中几块。
剪拼造正方形g5-c20-p22	把若干小正方形/长方形剪几刀拼成一个大正方形，或四角剪 45° 求中间正方形。	用『面积之和=斜边平方』确定大正方形边长，按弦图方式剪拼。

✏️举例验证

例 1 g5-c20-p01

题：赵爽弦图：四个全等直角三角形（直角边 2 和 1）围成大正方形，中间是小正方形（阴影）。往里投针，扎到小正方形的可能性是多少？

按规律解：中间小正方形的边长 = 两直角边之差 = $2-1=1$，面积 = $1^{2}=1$。大正方形的边长就是直角三角形的斜边，面积 = 斜边平方 = $1^{2}+2^{2}=5$。投到小正方形的可能性 = 小正方形面积 $\div$ 大正方形面积 = $\frac{1}{5}$。

为什么对：这正是弦图的两条核心结论：小正方形边长是两直角边之差，大正方形面积是斜边平方（也就是两直角边平方和）。概率就是两块面积之比，所以答案 $\frac{1}{5}$ 一定对。

例 2 g5-c20-p06

题：长方体三条棱长分别是 3、4、12，求体对角线 $AC$。

按规律解：先在底面用一次勾股定理：以 3 和 4 为直角边，底面对角线 = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$。这条底面对角线和竖直的长棱（12）互相垂直，再用一次勾股定理：$AC^{2}=5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}$，所以 $AC=13$。

为什么对：立体里的距离不能一步求，但可以拆成两个互相垂直的直角三角形：先算底面，再把底面对角线当作新的一条直角边。两次都满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，而且 $3,4,5$ 和 $5,12,13$ 都是常见勾股数，结果是整数，验证无误。

例 3 g5-c20-p25

题：长方形长 $BC=18$、宽 $AB=12$，折叠后求 $DF$ 的长。

按规律解：设 $AF=x$。折叠让对应边相等，折出的直角三角形里斜边是 $18-x$（折过来的那段），两条直角边是宽 $12$ 和 $x$，于是 $(18-x)^{2}=12^{2}+x^{2}$。展开：$324-36x+x^{2}=144+x^{2}$，约掉 $x^{2}$ 得 $324-36x=144$，$36x=180$，$x=5$。所以 $DF=18-x=13$。

为什么对：折叠的关键是『折过去的那段和原来一样长』，这就给出一个等量关系。把它放进直角三角形用勾股定理列方程即可。注意到 $5,12,13$ 是勾股数，也能直接猜到答案，反过来印证列方程没错。

例 4 g5-c20-p20

题：在 $5\times5$ 方格纸上，用没刻度的直尺能画出几种不同面积（必须是整平方厘米）的正方形？面积分别是多少？

按规律解：格点正方形的边可以是『正的』也可以是『斜的』。一条斜边在水平方向走 $a$ 格、竖直方向走 $b$ 格，它作为正方形的边时，正方形面积就是 $a^{2}+b^{2}$。在 $5\times5$ 范围内枚举：正放的有 $1,4,9,16,25$；斜放的有 $1^{2}+1^{2}=2$、$1^{2}+2^{2}=5$、$1^{2}+3^{2}=10$、$1^{2}+4^{2}=17$、$2^{2}+2^{2}=8$、$2^{2}+3^{2}=13$。

为什么对：格点正方形面积等于它一条边的平方，而这条边正是某个直角三角形的斜边，斜边平方 = 水平格数平方 + 竖直格数平方。把所有放得下的水平/竖直组合枚举一遍，就得到全部可能面积，不会漏也不会重。

🌱拓展应用

🛒 生活里的同类问题：

靠墙的梯子下滑：梯子长度不变，墙根到梯脚、墙根到梯顶构成直角三角形，可算任意时刻的高度（和滑块连杆题 g5-c20-p07 同理）。
电视/手机屏幕的尺寸：屏幕对角线长度由长和宽用勾股定理算出，长方形对角线题 g5-c20-p12 就是这个道理。
古代《九章算术》的葛藤缠柱（g5-c20-p23）：把圆柱表面『摊平』，螺旋线变直线，就是测绘、包装里『最短路径』问题的雏形。
铺地砖、做风车窗花：四块一样的三角形或长方形拼正方形，正是弦图，木工、剪纸里常用。

🔄 变形我还认得吗：

把『求长度』换成『求面积』：同一个直角三角形，问斜边长还是问以斜边为边的正方形面积，本质都是 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
把『正方形拼图』换成『分数边长』（如 g5-c20-p30 木条问题），数变难了但弦图拼法不变，照样能围成大正方形求边长。
把『一次勾股』换成『两次勾股』（长方体对角线 g5-c20-p06）或『展开后勾股』（圆柱 g5-c20-p23），先想清楚哪两条边互相垂直。
把直角三角形『藏起来』：菱形（g5-c20-p24）、折叠（g5-c20-p29）、中线垂直（g5-c20-p31）里没有现成直角三角形，要先设未知数、找垂直关系，再用定理列方程。
面积差类（g5-c20-p11、p33）：两种拼法的差恰好是几个直角三角形面积，认出这一点就不用硬算。

🚀 它是后面什么的前置基础：

初中会正式学『勾股定理』及其逆定理、无理数（如 $\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$），本讲的格点正方形面积正是平方根的直观来源。
初中『相似三角形』会让 g5-c20-p13、p17 这类阴影面积题有更系统的解法。
初中/高中『坐标与两点间距离公式』$\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$ 就是格点勾股（g5-c20-p20）的代数化。
本讲的割补、补形思想是后续『几何图形面积综合』『立体几何』的重要基本功。

⚠️常见易错点

弦图里把小正方形边长记成两直角边之和，其实是『之差』（$b-a$）；之和是另一种拼法的外框边长。
把勾股定理用到不是直角三角形的边上，或没确认哪条是斜边（斜边一定是最长、对着直角那条）。
求出的是『斜边平方』就当成斜边写答案，漏了开平方；或反过来该求平方（面积）时却开了方。
立体题只用一次勾股定理，忘了先算底面对角线再算体对角线（要两次）。
圆柱缠绕题忘记把『缠 7 周』换算成水平直角边 = 底面周长 $\times 7$。
折叠题没有利用『折叠前后对应线段相等』，导致列不出方程。
格点画正方形只想到正着放，漏掉斜着放的正方形（面积 $2,5,8,10,13,17$ 等）。
等腰梯形求腰时，水平直角边应是『上下底之差的一半』，容易忘记除以 2。

🧠思维导图

弦图与勾股定理
- 核心工具：勾股定理 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  - 已知两边求第三边
  - 斜边平方 = 正方形面积
  - 常见勾股数 $3,4,5$ / $5,12,13$
- 图形版本：弦图
  - 大正方形边长 = 斜边
  - 小正方形边长 = 两直角边之差
  - 面积差 = 四个直角三角形
- 造直角三角形的方法
  - 作辅助线（作垂线）
  - 补形（补成大矩形/正方形）
  - 剪拼旋转
- 常见题型
  - 格点：比长短/画正方形/数面积
  - 梯形多边形求边长周长
  - 立体与展开（长方体/圆柱）
  - 折叠列方程
  - 割补求阴影面积
  - 运动中的不变长度