这是哪类问题：这一讲专门解决一类"看上去要算很多项、加起来累死人"的求和问题：一长串分数（或分数的加减）相加，项数动辄几十上百甚至到 2007 项。如果老老实实通分硬算，根本算不完。裂项就是给这类"长链求和"量身定做的偷懒办法——把每一项拆成"前一块减后一块"，相邻项一抵消，中间全部消光，只剩头和尾。本讲还包含它的逆问题：把一个分数拆成几个不同的单位分数之和（埃及分数）。
关键词（大白话）：
| 题型 | 怎么一眼认出 | 用什么方法 |
|---|---|---|
| 标准 $\frac{1}{n(n+1)}$ 裂项g6-c03-p01 | 看到一串分母是"相邻两数相乘"（或三角形数倒数、等差数列求和的倒数）的分数相加。 | 若不是标准形，先提公因数化成 $\frac{1}{n(n+1)}$，再用 $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 相消，结果是首项减末项。 |
| 等差数列求和当分母g6-c03-p06 | 每个分母本身是 $3+6+9+\cdots$ 这样一串等差数的和。 | 先用 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ 把分母算成 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的倍数，取倒数提系数，再裂项相消。 |
| 通项配凑后再裂项g6-c03-p03 | 分子带平方、分子是 $1^2+2^2$ 这类、或带间隔的 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$，不能直接裂。 | 先把分子改写（如 $(2k)^2=(2k-1)(2k+1)+1$、$\frac{n^2+(n+1)^2}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n}$），拆成整数部分加可裂部分，再分别处理。 |
| 平方差倒数裂项g6-c03-p05 | 项形如 $\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$，分母是连续平方数的乘积。 | 套用 $\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$ 相消，得首尾平方倒数之差。 |
| 阶乘与连乘裂项g6-c03-p07 | 分母是 $1\times2\times\cdots\times k$ 的阶乘，或一长串连续整数的连乘比。 | 阶乘用 $\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$；连乘比先约分提公因数再裂项，或套连乘求和公式 $\sum n(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{1}{5}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$。 |
| 三连乘裂项g6-c03-p12 | 分母是连续三个数相乘 $n(n+1)(n+2)$，分子是 $2n+1$ 之类。 | 把分子 $2n+1$ 拆成 $n+(n+1)$，分成 $\frac{1}{n(n+1)}$ 与 $\frac{1}{n(n+2)}$ 两组分别裂项相消。 |
| 对称结构求和g6-c03-p13 | 分母形如 $k\times(N-k)$，两端对称（如 $\frac{1}{1\times2007}+\cdots+\frac{1}{2007\times1}$）。 | 用 $\frac{1}{k(N-k)}=\frac{1}{N}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{N-k}\right)$ 化成调和级数的倍数，两组作差消去公共项。 |
| 分数拆分（埃及分数，逆问题）g6-c03-p04 | 要求把一个分数写成几个不同单位分数之和。 | 借助 $1$ 拆成单位分数之和后整体乘原分数，或用分母的因数分解凑"分子之和"，再枚举筛选满足条件的解。 |
🛒 生活里的同类问题：
🔄 变形我还认得吗：
🚀 它是后面什么的前置基础：