六年级 · 电梯、发车与接送

🎯找核心概念

这是哪类问题：这一讲专门解决“一边在动、人也在动”的相遇追及问题。最典型的就是三类场景：人在会自动上下移动的扶梯上走路；马路上隔一段时间就发一辆车、行人与这些车不断相遇或被追上；以及汽车定时接送、行人提前出发在半路相遇。它们表面五花八门（扶梯、巴士、电车、红绿灯、接狗），骨子里都是“两个速度叠加（同向相减、相向相加）”加上“按固定节奏发车/移动”这两件事。

关键词（大白话）：

扶梯（自动扶梯）问题：人在会动的台阶上走。台阶自己也在移动，所以人“真正前进的级数”不等于他自己迈的级数，要把扶梯帮的忙（或拖的后腿）算进去。
顺向 / 逆向：人走的方向和扶梯（或水流）一致叫顺向，速度相加，走得轻松又快；方向相反叫逆向，速度相减，走得费劲又慢。这就是“流水行船”里的顺水、逆水。
发车间隔：车站每隔固定时间发一辆车。相邻两辆车之间的距离 = 车速 $\times$ 发车间隔，是一个固定不变的“车距”。
相遇与追及（相对速度）：迎面而来用“车速 + 人速”，从背后超过用“车速 - 人速”。同一段固定车距，除以相对速度就得到相遇或被超的时间间隔。
柳卡图：横轴画时间、竖轴画地点，每辆车画成一条斜线。两条对开的斜线交叉，就代表那两辆车在路上相遇了，数交点就能数相遇车数。
节省时间法（接送相遇）：车提前在半路接到人，省下的是“从相遇点到原目的地再返回”这段路，省下的时间正好是车少跑的这段往返时间。

🔍理解本质规律

扶梯顺向：人露出（走完）的级数 = 人自己走的级数 + 扶梯同时间移动的级数；逆向则改成相减。无论怎么走，扶梯静止时的总级数（梯长）是不变的，这是列方程的“锚”。
扶梯两次走法对比：走得快用时短、扶梯帮忙就少；走得慢用时长、扶梯帮忙就多。多走的级数对应扶梯少跑的时间，由此能解出梯速和梯长。
发车间隔类：相邻两车间距 = 车速 $\times$ 发车间隔，是固定值。迎面相遇时间间隔 = 车距 $\div$（车速 $+$ 人速），背后追上时间间隔 = 车距 $\div$（车速 $-$ 人速）。
数相遇车数：可以用柳卡图数斜线交点，也可以确定“路上能遇到的第一辆车和最后一辆车”的发车序号，相邻车之间有几个间隔就遇到几次。
红绿灯：要每个路口都赶上绿灯，最省事的办法是恰好每过一个完整周期走完相邻两灯之间的距离，速度 = 灯间距离 $\div$ 周期。
接送相遇：路程相同时，速度与时间成反比；车提前接到人省下的往返时间，能换算出相遇点提前了多久，从而比出人速与车速的倍数关系。

看得见的规律把自动扶梯想成一条传送带式的河：你顺着河往下漂（顺向），自己划几下加上河水推你几下，前进特别快；你逆着河往上爬（逆向），自己划的被河水抵消掉一部分，爬得慢。无论你怎么折腾，这条“河”从头到尾的长度（静止时的台阶数）是固定的——这就是列方程时两边能划等号的依据。再把发车想成马路上一串等距排好的小汽车，像传送带上间隔均匀的货物：你迎着它们走，碰面快；你顺着走被它们追，碰面慢；而货物之间的间距始终一样。

为什么这样解为什么能这样算？因为“位移 = 速度 $\times$ 时间”，当两个东西同时在动，它们之间距离的变化速度就是两个速度的和（相向）或差（同向）——这就是相对速度。扶梯帮你或拖你，本质是你脚下多了一个匀速运动的“背景”，把你的级数和扶梯的级数按方向加减，得到的才是你真正走过的那段固定梯长。发车间隔问题里，因为车一辆接一辆等距排开、等速前进，行人每隔一段固定时间就跨过一个“车距”，于是“固定车距 $\div$ 相对速度 = 固定时间间隔”，反过来就能解出未知的车速或间隔。接送问题则靠“同一段路、速度与时间成反比”这把钥匙，把省下的时间翻译成相遇点的提前量。

🗂️分类总结题型

题型	怎么一眼认出	用什么方法
扶梯：两人同时一上一下，求可见总级数g6-c13-p01	题目给两个人在同一段扶梯上、相同时间内分别上行和下行，各走了多少级，问扶梯静止时能看到几级。	下行级数减去扶梯移动的级数，等于上行级数加上扶梯移动的级数（时间相同），列等式解出扶梯移动级数，再求总级数。
扶梯：两组数据求梯速与梯长g6-c13-p06	同一个人（或两人）用不同速度走扶梯，给出各自走的级数和用时（或速度），求扶梯级数或某种走法的用时。	用“露出级数 = 人走级数 ± 扶梯级数”，借助梯长不变或扶梯速度不变列方程，先解出梯速和梯长，再回答所问。
扶梯：逆向行走求梯长 / 能否追上g6-c13-p10	人逆着扶梯方向走，给出自身速度和用时求梯长；或两人逆向先后上梯，问能否在梯上追到。	有效速度 = 自身速度 - 梯速；两人同走一段梯长列方程求梯速、梯长；追及则先算领先量再除以速度差，验证是否仍在梯上。
发车间隔：行人遇车求间隔或速度g6-c13-p12	行人骑车/步行，每隔几分钟被一辆车追上、每隔几分钟遇到一辆迎面车，求发车间隔或速度关系。	设相邻两车间距固定，追上用车速减人速、迎面用车速加人速分别表示间隔，联立解出车速，再用间距除以车速得发车间隔。
数相遇车数（柳卡图 / 序号法）g6-c13-p03	两地对开等间隔发车，问一辆车途中会遇到几辆对向车；或行人沿线行进遇到多少辆车。	画柳卡图数斜线交点，或确定能遇到的首辆与末辆车的发车序号，数出间隔个数。
红绿灯周期问题g6-c13-p04	等距路口红绿灯同步变换，给出周期，求一路绿灯通过的速度。	把绿黄红时长相加得周期，速度 = 相邻两灯间距离 $\div$ 一个周期。
接送（往返）相遇问题g6-c13-p05	车定时接人，人提前出发在半路与车相遇，节省了若干时间，求速度比或路程。	省下的往返时间换算出相遇点提前量，用“同段路速度与时间成反比”比出倍数。
班车追及与同时到达 / 快慢车停站g6-c13-p14	始发站定时发车，乘客先上车后被后续班车追上、或快慢车考虑停站时间，问路程或全程用时。	用发车时间差和速度差求各趟车追上的位置时刻，结合“同时到达”条件列方程；快慢车另需计入停站次数的时间差。

✏️举例验证

例 1 g6-c13-p01

题：哥哥沿向上移动的扶梯从顶往下走到底走了 $80$ 级，相同时间内妹妹从底往上走到顶走了 $40$ 级（哥哥步速是妹妹的 $2$ 倍）。问扶梯静止时能看到几级。

按规律解：两人用时相同，设这段时间扶梯向上移动了 $x$ 级。哥哥逆着扶梯往下走，他真正走过的梯长 = 自己走的 $80$ 级里被扶梯往上推回去 $x$ 级，即露出梯长 $= 80 - x$；妹妹顺着扶梯往上走，露出梯长 $= 40 + x$。同一段梯长相等：$80 - x = 40 + x$，解得 $x = 20$。所以静止时可见级数 $= 80 - 20 = 60$ 级。

为什么对：为什么哥哥走得多、妹妹走得少？因为哥哥逆向、扶梯一直把他往上送，他得多迈台阶才能下到底；妹妹顺向、扶梯帮她抬升，少迈就到顶。两人时间一样、梯长又是同一个，所以“多走的”和“少走的”差额恰好是扶梯两次帮的忙之和，正好印证了顺向相加、逆向相减的规律。

例 2 g6-c13-p06

题：扶梯匀速向上。甲每秒走 $3$ 级、用 $100$ 秒从顶走到底；乙每秒走 $2$ 级、用 $200$ 秒从顶走到底。问甲若从底走到顶要多少秒。

按规律解：甲、乙都从顶往下走，是逆着向上的扶梯方向，露出的梯长 = 自己走的级数 - 扶梯同时间上移的级数。设梯速为 $v$ 级/秒：甲走 $3\times100 - v\times100$，乙走 $2\times200 - v\times200$，两者都是梯长，相等得 $v=(2\times200-3\times100)\div(200-100)=1$ 级/秒。梯长 $=2\times200-1\times200=200$ 级。甲从底走到顶是顺着扶梯方向，有效速度 $=3+1=4$ 级/秒，用时 $=200\div4=50$ 秒。

为什么对：下行时甲走的步多还慢？不，甲用时短说明扶梯帮倒忙少，露出梯长仍等于梯长，这正是“逆向相减”。上行时改成顺向，扶梯帮忙，速度相加，所以只要 $50$ 秒，比下行省一半时间，符合顺向更快的直觉。

例 3 g6-c13-p12

题：某人骑车前行，每隔 $12$ 分钟被一辆电车从后超过，每隔 $4$ 分钟遇到一辆迎面电车。问每隔几分钟发一辆车。

按规律解：设相邻两辆电车的间距为 $12$（一个方便的数）。被后车追上：相对速度 = 车速 - 人速 = $12\div12 = 1$；迎面相遇：相对速度 = 车速 + 人速 = $12\div4 = 3$。两式相加得 $2\times$ 车速 $=4$，车速 $=2$，人速 $=1$。发车间隔 = 车距 $\div$ 车速 $=12\div2=6$ 分钟。

为什么对：为什么追上要 $12$ 分钟、迎面只要 $4$ 分钟？因为追上时车要先补上人骑走的距离，相对速度小、所以慢；迎面时两速度相加、靠拢快、所以频繁。车距是发车时固定下来的，跟人怎么动无关，所以同一个车距除以两种相对速度，分别得到两种间隔，联立就解出了车速和发车间隔。

例 4 g6-c13-p05

题：小狗每天 $5$ 点到车站接主人立刻一起回家。某天主人提前 $4$ 点到站自己步行，半路遇到小狗后小狗带他原速回家，结果比平常早到家 $10$ 分钟。问小狗速度是主人步行速度的几倍。

按规律解：小狗比平常早到家 $10$ 分钟，说明它这次少跑的是“相遇点到车站再返回相遇点”这段往返路，对应 $10$ 分钟，所以单程相遇点比平常提前了 $5$ 分钟，即相遇发生在 $4$ 点 $55$ 分。此时主人从 $4$ 点出发已经步行了 $55$ 分钟，而小狗跑这同一段路（家到相遇点）只用了 $5$ 分钟。同一段路程速度与时间成反比，所以小狗速度 = 主人步行速度的 $55\div5 = 11$ 倍。

为什么对：为什么省下的 $10$ 分钟要砍一半成 $5$ 分钟？因为省的是往返两段、而相遇点的提前只是单程一段，所以提前量是省下时间的一半。抓住“家到相遇点这段路，主人走了 $55$ 分钟、小狗只跑了 $5$ 分钟”，再用“同路程速度反比时间”，倍数就出来了。

🌱拓展应用

🛒 生活里的同类问题：

坐地铁、商场的自动扶梯时，赶时间的人一边站一边还往上走，比纯站着快——这正是顺向速度相加。
在公交站等车、或沿公交线骑车，会感觉迎面来车比追上来的车更频繁，背后正是相向相加、同向相减的相对速度。
开车走一条‘绿波带’主干道，按交管部门建议的速度行驶能一路绿灯，就是红绿灯周期问题的现实版。
家人开车去车站/机场接你，你提前往外走在半路被接到，能让全家更早到家，对应接送相遇模型。

🔄 变形我还认得吗：

把扶梯换成‘自动人行道’、把级数换成米数，或把‘流水行船’的顺水逆水搬过来，本质完全一样，认得出吗？
发车问题里把‘电车’换成‘缆车、轮渡、地铁’，把‘骑车人’换成‘跑步者’，间距和相对速度的算法不变。
数相遇车数时，问的从‘相遇几辆’变成‘第几次相遇是第几辆车’，要靠柳卡图或发车序号才看得清。
接送问题里把‘提前到家几分钟’改问‘节省了多少路程’或‘相遇点离车站多远’，仍用节省时间法。
快慢车那道题加入‘停站次数与停站时长’，相当于在行驶时间外再叠加固定的停留时间差，别漏掉停站。

🚀 它是后面什么的前置基础：

行程问题中的相遇与追及、相对速度，是本讲所有题型的共同地基。
流水行船（顺水、逆水）与本讲扶梯问题是同一个模型，互为前置。
比例与反比例（路程一定时速度与时间成反比）是接送相遇、快慢车问题的关键工具。
柳卡图（时间-路程图）后续会用于更复杂的多车多次相遇、往返计次问题。

⚠️常见易错点

把扶梯帮的忙加减方向搞反：顺向应相加、逆向应相减，方向一错整道题崩。
误以为人走的级数就是扶梯总级数，忘了扶梯自己也移动了若干级，总级数要把这部分算进去。
发车间隔题里把‘相遇/追上的时间间隔’直接当成‘发车间隔’，其实要先求车速再用车距除以车速。
相对速度时迎面用了减、追及用了加，把相加相减彻底用反。
数相遇车辆时把车站内、起终点同时刻碰到的车也算进去（题目常注明不计），或漏掉端点处的车导致差 $1$。
接送相遇题忘了‘省下的是往返时间’，没有把节省时间除以 $2$ 得到相遇点的单程提前量。
红绿灯题把周期只算成绿灯时间，漏掉黄灯和红灯，周期应是三者之和。
快慢车问题只比速度、忘记两车停站次数不同带来的停留时间差。

电梯、发车与接送