六年级 · 比例模型

🎯找核心概念

这是哪类问题：这一讲专门解决一类几何题：图里有一堆三角形、四边形互相分割、互相嵌套，要么求某块（常常是阴影部分）的面积，要么求某条线段是另一条的几分之几。这类题几乎从不给你具体的长和高去硬算，而是给你一些“比”（边的比、面积的比），让你顺着图形里的固定套路，把一个比换算成另一个比。所以它考的不是“算”，而是“认模型”——看出图里藏着的是鸟头、蝴蝶、燕尾、沙漏还是一半模型，然后套对应的结论。

关键词（大白话）：

等高三角形（同高三角形）：两个三角形如果高一样长，那它们的面积之比就等于底边之比。这是所有模型的“地基”，看到共用一条高线或顶点在同一条平行线上就要想到它。
鸟头模型（共角三角形）：两个三角形共用一个角（或角互补），它们的面积之比 = 夹这个角的两组边的乘积之比。形状像鸟头，专门用来求三角形角上被切下来的小三角形面积。
蝴蝶模型：梯形画两条对角线，交点把梯形分成上、下、左、右四块，形状像蝴蝶。上下两块面积之比 = 上底与下底之比的平方，左右两块相等。
燕尾模型：三角形内部一点连到三个顶点，再把连线延长交对边，图形像燕子尾巴。它把“对边上的线段比”和“两侧三角形的面积比”牢牢绑在一起。
沙漏模型（相似）：两条线相交，被一对平行线截出上下两个相似三角形，形状像沙漏。对应边成比例，常出现在两个正方形并排放的题里。
一半模型：长方形或平行四边形内任取一点连四个顶点，分成四块，则相对的两块面积之和 = 整个图形的一半。

🔍理解本质规律

一切的根：等高的三角形，面积比 = 底边比；等底的三角形，面积比 = 高之比。
鸟头（共角）：共一个角的两个三角形，$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{a_1\times b_1}{a_2\times b_2}$，其中 $a$、$b$ 是夹这个角的两条边。
蝴蝶（梯形）：上底下底之比为 $a:b$ 时，四块面积之比 = $a^2 : ab : b^2 : ab$。
燕尾：三角形内一点 $O$ 把三角形分成的左右两大块面积比，等于这点连线在对边上切出的两段长之比。
沙漏：一对平行线截出的两个三角形相似，对应边、对应高都成同一个比。
一半模型：矩形/平行四边形内一点连四顶点，相对两块之和都等于总面积的一半。
求复杂阴影常用整体减法（容斥）：用大图形面积减去周围几块，重叠的再加回来。

看得见的规律把每个模型想成一张“快捷换算卡”。\n等高三角形是卡片的底：两个三角形像两本厚薄不同的书立在同一张桌面上（同高），谁的封面宽（底长）谁就胖（面积大），胖瘦比 = 宽窄比。\n鸟头模型像用两根橡皮筋从一个钉子（公共角）拉出的三角形，面积随两根筋的长度乘积一起变。\n蝴蝶模型就是梯形里两条对角线画出的一只蝴蝶，上翅小下翅大，左右翅一样大。\n燕尾模型像一只张开的燕子尾巴，尾巴根（内部点）一动，两侧面积和对边的两段长同步变化。\n沙漏模型就是上下两个尖对尖的三角形，像沙子从上往下漏，上下成比例。

为什么这样解为什么这些模型都成立？追到底全是“等高三角形面积比 = 底边比”这一条。\n鸟头模型：把共角的大三角形先沿一条边切，面积按那条边的比缩放；再沿另一条边切，再按另一条边的比缩放，两次缩放相乘，就得到两条边乘积之比。\n蝴蝶模型：梯形上下底平行，所以左右两个三角形同底等高、面积相等；上下两块是相似三角形，相似比 = 上底:下底，面积比就是比的平方。\n燕尾模型：从内部点向顶点连线，会得到一对对共高的三角形，它们的面积比就是被切对边的线段比，把这些比串起来就锁定了关系。\n一半模型：矩形内一点到一组对边的两个三角形，底（对边）相等、两条高加起来正好是矩形的高，所以这两块面积之和恰好是矩形的一半。\n说到底，这一讲就是反复用“同高 → 比看底”这一招，只是包装成了不同形状的模型。

🗂️分类总结题型

题型	怎么一眼认出	用什么方法
等高三角形与梯形求面积g6-c15-p01	图里有梯形或共用一条高的三角形，给的是底边之比和某一块的面积。	用等高三角形面积比 = 底边比，把已知块的面积按比例放大或缩小到要求的块。
鸟头模型（共角三角形）求角上小三角形或内部三角形g6-c15-p06	三角形三条边上各取一个分点（给出 $\frac{1}{3}AB$ 这类比），求角上小三角形或被切出的中间三角形面积。	对每个角用鸟头公式算出角上小三角形占比，再用整体减去这几块（容斥）。
蝴蝶模型（梯形对角线）g6-c15-p09	梯形画了对角线交于一点，或两图形并放出现梯形，已知上下底比和某块面积。	按 $a^2:ab:b^2:ab$ 把梯形面积分成份，再求目标块。
燕尾模型（内部一点连三顶点）g6-c15-p34	三角形内一点连到三个顶点、交线分出多个小三角形，给线段比或几块面积求其余。	用燕尾定理把线段比和面积比互相换算，必要时列方程组。
沙漏（相似）模型g6-c15-p08	两个正方形/图形并排放，出现尖对尖的相似三角形，求线段或阴影面积。	用相似对应边成比例求出关键高度或线段，再算面积。
一半模型（矩形/平行四边形内一点）g6-c15-p18	矩形或平行四边形内一点连四顶点，给某些三角形面积比，求阴影四边形占比。	用“相对两块和 = 总面积一半”建立关系，逐块求占比。
等面积分割：面积比转线段比g6-c15-p21	图形被分成若干面积相等的块，求某条线段的长或线段之比。	等面积 → 等高那一组的底边相等或成简单比，把面积份数翻译成底边长。
等积变换与延长边g6-c15-p26	把多边形的边等长延长，或图中出现等底等高可平移的三角形，求新图形面积。	用等积变换把多出来的三角形换成已知图形的整数倍，累加求总面积。
容斥/整体减法求阴影g6-c15-p13	阴影形状不规则，但能用几个规则块拼凑或互相覆盖。	大图形减去周围块，重叠部分再加回来。

✏️举例验证

例 1 g6-c15-p01

题：梯形上底:下底 = $2:3$，对角线把它分出的左上阴影三角形面积是 $150$ 平方厘米，求梯形面积。

按规律解：阴影三角形和它旁边那个三角形同高（都以梯形的高为高），底分别是上底和下底，所以面积比 = 底比 = $2:3$。阴影是 $150$，对应 $2$ 份，那么另一块 $=150\div2\times3=225$。两块合起来就是整个梯形：$150+225=375$（平方厘米）。

为什么对：对——因为这两个三角形拼起来正好是梯形，而它们同高，面积比严格等于上下底之比，所以一旦知道一块和比值就能求另一块。这正是“同高看底”的最朴素用法。

例 2 g6-c15-p06

题：三角形 $ABC$ 面积为 $1$，$AD=\frac{1}{3}AB$，$BE=\frac{1}{4}BC$，$CF=\frac{1}{5}CA$，求中间三角形 $DEF$ 的面积。

按规律解：三个角各用鸟头模型。角 $A$ 处：$S_{\triangle ADF}=\frac{AD}{AB}\times\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{15}$。角 $B$ 处：$S_{\triangle BDE}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$。角 $C$ 处：$S_{\triangle CEF}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{3}{20}$。最后用整体减三块：$S_{\triangle DEF}=1-\frac{4}{15}-\frac{1}{6}-\frac{3}{20}=\frac{5}{12}$。

为什么对：对——鸟头模型的本质是“共一个角的三角形，面积比 = 夹角两边乘积之比”，所以每个角上小三角形占大三角形的比例就是那两条边比例的乘积。中间三角形 $DEF$ 恰好是大三角形挖掉三个角，用容斥（整体减法）一减就出来了。

例 3 g6-c15-p09

题：梯形 $ABCD$，$AB\parallel CD$，对角线交于 $O$，$AB=5$、$CD=3$，梯形面积 $4$，求 $\triangle OAB$ 面积。

按规律解：上下底比 $AB:CD=5:3$。蝴蝶模型把梯形分成四块，面积比 = $5^2:5\times3:3^2:5\times3=25:15:9:15$，一共 $25+15+9+15=64$ 份。梯形总面积 $4$，所以每份 $=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}$。$\triangle OAB$ 紧贴下底，占 $25$ 份，面积 $=25\times\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$。

为什么对：对——梯形两对角线交点处，贴上底和贴下底的两个三角形是相似的，相似比 = 上底:下底，面积比就是比的平方（$9$ 和 $25$）；左右两块同底等高所以都是 $15$。把份数加起来再分总面积，是蝴蝶模型最标准的用法。

例 4 g6-c15-p13

题：直角三角形 $ABC$ 直角在 $B$，$AB=BC=14$，$E$ 在 $AB$、$D$ 在 $BC$ 上，$BE=BD=6$，连 $AD$、$EC$，求中间阴影面积。

按规律解：用容斥。$\triangle ABD=\frac{1}{2}\times14\times6=42$，$\triangle EBC=\frac{1}{2}\times6\times14=42$，这两块覆盖了阴影区域两遍，但它们合起来比整个 $\triangle ABC$（$=\frac{1}{2}\times14\times14=98$）多算的部分正是它们的重叠 $\triangle EBD=\frac{1}{2}\times6\times6=18$。所以阴影 $=98-42-42+18=10$（平方厘米）。

为什么对：对——阴影 = 整体 $-$ 两个三角形 $+$ 重叠。两块各减一次会把它们公共的小角减了两次，所以要把重叠那块加回来，这就是容斥（整体减法）的标准写法。

🌱拓展应用

🛒 生活里的同类问题：

丈量两块共一条边的三角形田地的面积之比：不用量高，只要量出顶点连线在公共边上切出的两段长（如第 37 题张大伯的小路）。
裁玻璃、拼地砖时判断把一块板按某个比例切开后两块的面积关系。
做风筝、剪纸时设计对称图案，估算彩色部分占整张纸的比例。

🔄 变形我还认得吗：

把“求面积”反过来问“求线段比”——比如第 12、15、21、22 题，用的还是同一套面积比 ↔ 线段比的换算，只是终点不同。
把单个模型叠成多层：第 24 题先鸟头再三等分再取中点，层层缩小；第 25、44 题在三角形里嵌套三角形。换了层数你还能逐层拆吗？
把比例条件换成整数面积让你列方程组：第 34 题给四块求第三角形，第 27、32 题用面积差求整体。
从三角形扩到正方形、正六边形（第 42 题）：模型不变，只是承载它的图形变复杂了。

🚀 它是后面什么的前置基础：

它是初中“相似三角形”“平行线分线段成比例”“面积法证几何题”的直接前身——鸟头、沙漏其实就是相似的小学版说法。
燕尾模型对应初中的塞瓦定理（Ceva）思想，蝴蝶模型对应梅涅劳斯/相似比平方关系。
为后续“立体图形按比例放大缩小（体积比 = 边长比的立方）”打底，先把“面积比 = 边长比的平方”理解透。

⚠️常见易错点

把鸟头模型的面积比写成两边之“和”比，其实是两边乘积之比 $\dfrac{a_1 b_1}{a_2 b_2}$。
蝴蝶模型里上下两块直接按上下底之比分，忘了要平方（应是 $a^2:b^2$）。
用等高三角形面积比 = 底边比时，没确认两个三角形“真的同高”就乱套。
容斥求阴影时只做减法，忘了把重复减掉的重叠部分加回来（如第 13 题漏加 $18$）。
“某分点是 $\frac{1}{3}$”时分不清是离哪个端点 $\frac{1}{3}$，导致鸟头里两条边的比例用反，结果算错角上三角形。
面积比转线段比时方向搞反：面积相等才推出底相等/成简单比，前提是那一组三角形等高。
看到正三角形/正方形就去硬求边长开方，其实多数题只需面积比，不必算出具体边长。

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