六年级 · 最值问题(二)

🎯找核心概念

这是哪类问题：这一讲专门解决「在一堆限制条件下，让某个量尽量大或尽量小」的问题。它是「最值问题(一)」的加深篇：题目不再只是简单的和定积大，而是把最值藏进了繁分数、几何图形、反复操作、数字构造、棋盘组合、整除调度等各种花样里。我们要学会的不是某一个公式，而是一整套「想清楚谁该取大、谁该取小」的思考习惯，再加上「先估个上界 / 下界，再造一个例子证明这个界能达到」的两步走方法。

关键词（大白话）：

最大值 / 最小值：在所有允许的方案里，那个量能到的最高点或最低点。求最值不是算一个固定答案，而是在「所有可能」里挑极端。
和定积大：两个数加起来固定时，它们越接近，乘出来的积越大。比如和是 48，拆成 24×24 比拆成 1×47 大得多。几何里求面积最值常用它。
贪心分配：想让结果最大，就把大数字放在「权重最重」的位置；想让结果最小，就把小数字放在最重的位置。像繁分数、数字构造题都靠它。
权重（位置的重要程度）：同一个数字放在不同位置，对总结果的影响不一样。比如百位上的数比个位重要 100 倍，那就该把小数字放百位、大数字放个位来压低整体。
上界与构造：求最大值的标准套路：先证明「再大也大不过某个数」（这叫上界），再举出一个真能达到这个数的例子（这叫构造）。两步都做到，答案才算证完。
不变量：在反复操作中，有些东西始终不变（比如奇偶性、总和的某种特征）。抓住它就能判断最后能到哪、到不了哪。

🔍理解本质规律

权重原则：想让整体大，就把大数字放在影响最大的位置；想让整体小就反过来。繁分数、三位数与数字和之比、四位数减数码积都是这个道理。
和定积大 / 和定差小：两数之和固定，越接近积越大；要让积大就把两数调得一样大。几何面积最值几乎都用它。
繁分数的层层规律：从外往里看，最外层加项越大越好；要让一个分数大，它的分母就要小，而分母又是「整数加一个分数」，于是这个嵌套的分数要小……一层层反着推。
上界加构造的两步法：先用估计证明「不可能超过某个值」，再造一个例子达到它，最值才算定下来。棋盘、方阵、好格这类组合题全靠它。
操作类抓不变量与逆推：反复擦数、变色、聚会传播这类题，要么抓住始终不变的量，要么从最终状态往回倒推每一步的极限。

看得见的规律把求最值想象成「装天平」或「分蛋糕」。求最大就像往一个分层的杯子里倒水：最显眼的大杯口（最高权重位置）先倒满最大的数，越往下、越被压缩的小格子，就塞越没用的小数。繁分数更像一座倒着的金字塔：你站在塔顶往下看，最上面那块加得越多越好，往下每一层都在「拖后腿」，所以让拖后腿的部分尽量小。而「上界加构造」就像跳高：先有人说「横杆最高只能到 21」（上界），再有个运动员真的跳过了 21（构造），大家才确认纪录就是 21。

为什么这样解为什么大数字要放重要位置？因为总结果 = 每个位置的数字 × 它的权重，把大数字乘上大权重，贡献自然最大。为什么和定要让两数接近？因为两数之和固定时，乘积等于「平均数的平方减去差距的平方」，差距越小减得越少，积就越大——几何上就是周长固定的长方形越接近正方形面积越大。为什么求最值要「上界 + 构造」两步缺一不可？只估上界不构造，万一这个界根本达不到，答案就偏大；只举例子不估上界，万一还有更极端的没找到，答案就偏小。两步合起来才能把答案夹死。

🗂️分类总结题型

题型	怎么一眼认出	用什么方法
繁分数 / 连分数最值g6-c25-p01	题目给一个层层嵌套的分数式（$a+\cfrac{1}{b+\cfrac{1}{c+\cdots}}$），让你用几个数码不重复地填进去求最大或最小。	整数部分（最外层加项）取最大数字；要整体大就让各层分母尽量小，要整体小就反过来。一层层从外向里分配，最后比较剩余数码的搭配。
几何面积 / 距离和最值g6-c25-p04	出现长方形里的三角形、被切成小块的长方形、三角形内点到三边距离和这类图形，求面积或距离和的最大 / 最小。	用面积割补把目标面积写成一个含未知边长的二次式，再用和定积大求极值；距离和题用面积法把距离凑成加权和，让权重大的距离取极端。
数字构造类最值g6-c25-p12	在「数码互不相同」「数字和受限」「数码不为 0」等约束下，构造一个数使它本身、或与数字和之比、或与数码积之差取最值。	看清每个数位的权重，按权重原则放数字；比值问题可借浓度思想，差值问题逐位分析单调性确定每位取什么。
操作类与不变量最值g6-c25-p03	题目反复做同一种操作（擦两数写平均、改帽子颜色、聚会变好坏人），问最后某个量的最大 / 最小或最少操作次数。	抓住操作中的不变量（奇偶性等）或从最终状态逆向倒推每一步的极限，再构造出达到极限的具体操作序列。
组合计数与构造最值g6-c25-p25	棋盘划分、画对角线、方阵棋子、好格、扑克牌选牌这类「在网格 / 集合上挑最多或最少」的问题。	两步法：先用计数或鸽笼估出上界（如每行至多 2 个好格），再画出 / 列出一个恰好达到上界的具体方案。
整除取整与调度最值g6-c25-p28	砝码称量、方阵余人、车辆限行、帐篷调度这类带「整除、余数、平均分配」的实际调度问题，求某个量的最小值。	用同余方程或不等式刻画约束，借平均分配思想（总需求 ÷ 单位可用比例）或高斯取整记号求出满足条件的最小整数解。

✏️举例验证

例 1 g6-c25-p01

题：把 $1,2,3,4$ 不重复地填进 $a+\cfrac{1}{b+\cfrac{1}{c+\cfrac{1}{d}}}$ 的 $a,b,c,d$，问这个繁分数的最大值与最小值相差多少。

按规律解：先求最大：最外层 $a$ 是直接加进去的，当然取最大数字 $a=4$。剩下那一坨分数要尽量大，就要让它的分母 $b+\cfrac{1}{c+\frac{1}{d}}$ 尽量小，所以 $b$ 取最小的 $1$。接着 $\cfrac{1}{c+\frac{1}{d}}$ 要尽量大（这样分母才大、整个分数才接近某个值……层层反推），算下来取 $c=3,d=2$ 最优，得 $4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\frac{1}{2}}}=4\dfrac{7}{9}$。\n再求最小：把刚才的取法整体反过来，$a=1$（最外层加最小），$b=4$，$c=2,d=3$，得 $1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{2+\frac{1}{3}}}=1\dfrac{7}{31}$。\n两者相差 $4\dfrac{7}{9}-1\dfrac{7}{31}=3\dfrac{154}{279}$。

为什么对：对的。核心就是权重：最外层是「直接加」，权重最大，所以它取大就让整体大、取小就让整体小；而内层的分数都是「除出来的小尾巴」，要让整体大就把这条尾巴的分母压小。一层一层反着推，正好体现了繁分数「外大内小则大」的规律。

例 2 g6-c25-p04

题：长方形 $ABCD$ 中 $AB=67$、$BC=30$，$E$ 在 $AB$ 上、$F$ 在 $BC$ 上，$BE+BF=49$，求三角形 $DEF$ 面积的最小值。

按规律解：直接算三角形 $DEF$ 不好下手，换个思路：用整个长方形面积减去三个角上的直角三角形。设 $BE=x$，经过面积割补，可以把 $S_{\triangle DEF}$ 写成 $1005-\dfrac{1}{2}(x-19)(67-x)$。注意 $(x-19)+(67-x)=48$ 是个定值！要让 $S_{\triangle DEF}$ 最小，就要让减号后面那块 $(x-19)(67-x)$ 最大。两数之和固定为 48，和定积大，当两数都等于 24 时积最大。于是最小面积 $=1005-\dfrac{1}{2}\times24\times24=717$。

为什么对：对的。关键有两步：一是「正难则反」，正面求三角形难，就用大长方形减角块；二是凑出一个「和固定」的乘积，立刻搬出和定积大。求最小面积转化成求中间那块的最大值，方向要想清楚。

例 3 g6-c25-p12

题：从 $1$ 到 $9$ 选三个不同数字 $x,y,z$ 组成三位数 $\overline{xyz}$，求 $\dfrac{\overline{xyz}}{x+y+z}$ 的最小值。

按规律解：$\dfrac{\overline{xyz}}{x+y+z}=\dfrac{100x+10y+z}{x+y+z}$。想让这个比值小，分子里 $x$ 被乘了 100、$y$ 乘 10、$z$ 只乘 1，而分母里三者地位平等。所以同样一个大数字放在 $x$ 位会把分子撑得很大、放在 $z$ 位却几乎不撑分子还能撑大分母。结论：让权重最重的百位 $x$ 取最小的 $1$，让权重最轻的个位 $z$ 取最大的 $9$，中间 $y=8$。此时 $\dfrac{189}{1+8+9}=\dfrac{189}{18}=\dfrac{21}{2}$，这就是最小值。

为什么对：对的，可以用规律解释。这正是权重原则：要压低一个比值，就把大数字放进「对分子贡献小、对分母贡献相对大」的位置。课本用浓度混合来类比，本质是一样的——百位像浓度极低的稀溶液，个位像浓溶液，想让混合后偏向浓的，就多放浓的。

例 4 g6-c25-p25

题：在 $8\times8$ 方格里填入互不相同的自然数，若某格的数同时大于它所在行的至少 6 个数、且大于它所在列的至少 6 个数，就叫「好格」，求好格最多几个。

按规律解：先估上界：一行只有 8 个数，一个好格要比同行至少 6 个数大，意味着它在本行里至少排第 3 大（前面最多 2 个比它大），所以每行最多有 2 个数能当好格。8 行加起来，好格最多 $2\times8=16$ 个。再做构造：课本给出一种具体填法，正好能让 16 个格子同时满足行、列的条件，说明 16 真能达到。所以答案是 16。

为什么对：对的，这是组合最值最典型的「上界 + 构造」两步法。只说每行最多 2 个、得出 16，只是证明了「不超过 16」；必须再造出一个真有 16 个好格的例子，才能确定最大值就是 16，一步都不能少。

🌱拓展应用

🛒 生活里的同类问题：

排班与车辆调度：公司限行政策下至少要备多少辆车（第 28 题），本质是「总需求 ÷ 每辆车可用比例」，和排值班表、安排出租车轮休是一回事。
用最少零钱凑出多种金额：让 15 个盒子钱数都不同且硬币最少（第 30 题），就像收银台想用最少硬币应付各种找零。
砝码称重：用尽量少且尽量小的砝码称出 1 到 200 克（第 20 题），是电子秤 / 进制思想在生活里的影子。
省料与最大面积：篱笆长度固定时围出最大的菜地，就是和定积大——周长定，越接近正方形面积越大。

🔄 变形我还认得吗：

把繁分数从 4 个数码换成「每个字母代表不同非零数码」的三段繁分数和求最大（第 2 题）——位置变多了，但仍是「整数位放大数、分母位放小数」的老套路，认得出吗？
把「擦两数写平均求最后剩的数」换成求最小（第 3 题里同时问最大和最小），方向反过来：要剩的数小，每次就尽量擦掉大的、写小平均。
数字构造从「比值最小」换成「四位数减各数码乘积最大」（第 13 题），权重分析的对象从分数变成减法式，但仍是逐位判断「这位增大会让结果变大还是变小」。
棋盘题从「好格最多」换成「划分成最多块满足条件的长方形」（第 9 题）或「画最多条不相交对角线」（第 7 题），换了对象但都还是「上界 + 构造」。

🚀 它是后面什么的前置基础：

和定积大是初中二次函数求最值（配方、顶点）的小学版前置：把面积写成二次式求极值，初中会用 $-(x-h)^2+k$ 正式解释。
繁分数 / 连分数的层层分析，是初中分式运算和高中连分数、辗转相除的启蒙。
上界 + 构造的两步法是组合数学、竞赛证明的核心思想，初高中竞赛里反复用到（鸽笼原理、极端原理）。
整除取整、同余方程为初中数论（不定方程、同余）和高斯取整函数打基础。

⚠️常见易错点

求最值只「举了一个例子」就当答案，忘了证明「不可能更极端」（缺上界 / 下界），组合题尤其容易这样漏证。
繁分数里搞反方向：误以为分母越大整个分数越大，其实分母越大分数越小，层层嵌套时要逐层反着推。
用和定积大时没先凑出「和是定值」就乱套，或者把求最小误当成求最大（如第 4 题要先看清是让中间那块取最大才能让总面积最小）。
数字构造题把大数字一股脑放高位，没分清是求最大还是最小——求最小整体时高位反而要放小数字。
操作类题目忽略不变量（如奇偶性约束），构造出一个其实根本达不到的「最值」。
整除调度题忘了余数 / 取整的限制，直接除得到带小数的答案而没向上取整或调整到最近的合法整数。

最值问题(二)