四年级 数学思维训练汇编 — 题库预览

解题步骤
$10000000000-101011=9999898989$，数码 $9$ 共出现 $7$ 次.

解题步骤
共有 $2011\times3+1=6034$ 位数，选 C.

解题步骤
$N=\underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{11\text{个}2}\times\underbrace{5\times2\times5\times2\times5\times2\times\cdots\times5\times2}_{88\text{个}5\times2}$
$=2048\underbrace{00\cdots0}_{88\text{个}0}$，因此 $N$ 为 $4+88=92$ 位数.

解题步骤
原式 $=7\times(1+11+111+1111+11111+111111)$
$=7\times123456$
$=864192$，容易判断和的万位数字是 6.

解题步骤
$a\div7$ 得到的是纯循环小数，循环节是由 $1$、$4$、$2$、$8$、$5$、$7$ 这 $6$ 个数字组成的，数字之和是 $1+4+2+8+5+7=27$，$2008\div27=74\cdots\cdots10$，相邻数字和为 $10$ 的只有 $2+8=10$，所以循环节只能是 $285714$，小数点后 $6\times74+2=446$ 个数字之和是 $2008$，此时 $a=2$.

解题步骤
原式 $=\underbrace{999\cdots999}_{2005\text{个}9}\times\underbrace{1000\cdots000}_{2005\text{个}0}$，因此末尾有 $2005$ 个 $0$.

解题步骤
$\underbrace{111\cdots11}_{2010\text{个}1}\times\underbrace{999\cdots99}_{2010\text{个}9}=\underbrace{111\cdots11}_{2010\text{个}1}\times(1\underbrace{000\cdots00}_{2010\text{个}0}-1)$
$=\underbrace{111\cdots11}_{2010\text{个}1}\underbrace{000\cdots00}_{2010\text{个}0}-\underbrace{111\cdots11}_{2010\text{个}1}$
$=\underbrace{111\cdots11}_{2009\text{个}1}0\underbrace{888\cdots889}_{2009\text{个}8}$，因此含有 $2009+1=2010$ 个偶数数码.

解题步骤
$9\times\underbrace{33\cdots33}_{2005\text{个}3}\times\underbrace{55\cdots55}_{2005\text{个}5}=3\times\underbrace{99\cdots99}_{2005\text{个}9}\times\underbrace{55\cdots55}_{2005\text{个}5}$
$=3\times(\underbrace{55\cdots55}_{2005\text{个}5}\underbrace{00\cdots00}_{2005\text{个}0}-\underbrace{55\cdots55}_{2005\text{个}5})$
$=3\times\underbrace{55\cdots55}_{2004\text{个}5}\underbrace{44\cdots445}_{2005\text{个}4}$
$=1\underbrace{66\cdots66}_{2004\text{个}6}\underbrace{33\cdots335}_{2005\text{个}3}$，上式结果的各位数字的平方和为 $1^{2}+6^{2}\times2004+3^{2}\times2005+5^{2}=90215$.

解题步骤
$\underbrace{1212\cdots12}_{24\text{个}12}\times\underbrace{333\cdots3}_{48\text{个}3}=4\underbrace{0404\cdots04}_{23\text{个}04}\times\underbrace{999\cdots9}_{48\text{个}9}$
$=4\underbrace{0404\cdots04}_{23\text{个}04}\times(1\underbrace{000\cdots0}_{48\text{个}0}-1)$
$=4\underbrace{0404\cdots04}_{23\text{个}04}\underbrace{000\cdots0}_{48\text{个}0}-4\underbrace{0404\cdots04}_{23\text{个}04}$
$=\underbrace{40404\cdots4039}_{23\text{个}40}\underbrace{59\cdots596}_{23\text{个}59}$，各位数字之和是 $4\times23+3+9+(5+9)\times23+6=432$.

解题步骤
原式 $=(111111111)^{2}\times9$
$=999999999\times111111111$
$=111111111000000000-111111111$
$=111111110888888889$.

解题步骤
要求积的各个数位上的数字和，应先把乘积计算出来. $2007$ 位的整数，其每个数位上的数字都是 $9$，它可以表示为 $\underbrace{99\cdots99}_{2007\text{个}9}$，这个数与它自身相乘，即 $\underbrace{99\cdots99}_{2007\text{个}9}\times\underbrace{99\cdots99}_{2007\text{个}9}$，下面进行计算：
$\underbrace{99\cdots99}_{2007\text{个}9}\times\underbrace{99\cdots99}_{2007\text{个}9}=\underbrace{99\cdots99}_{2007\text{个}9}\times(1\underbrace{00\cdots00}_{2007\text{个}0}-1)$
$=\underbrace{99\cdots99}_{2007\text{个}9}\underbrace{00\cdots00}_{2007\text{个}0}-\underbrace{99\cdots99}_{2007\text{个}9}$
$=\underbrace{99\cdots99}_{2006\text{个}9}8\underbrace{00\cdots00}_{2006\text{个}0}1$，乘积的数字和为 $9\times2006+8+1=9\times2007$
$=18063$.

解题步骤
原式 $=8\times(1+11+111+\cdots+11111111111)$
$=8\times12345679011$
$=98765432088$.

解题步骤
个位和为：$8\times1992=15936$　　个位数字为：$6$
十位和为：$8\times1991+1593=17521$　　十位数字为：$1$
百位和为：$8\times1990+1752=17672$　　百位数字为：$2$

解题步骤
多个 $3$ 相乘，尾数有周期现象，$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$\cdots$ 周期为 $3,9,7,1$，$2006\div4=501\cdots\cdots2$，则 $3^{2006}$ 的尾数为 $9$，同理，多个 $7$ 相乘的尾数也有周期现象，周期为 $7,9,3,1$，$100\div4=25$，所以 $7^{100}$ 尾数为 $1$，$3^{2006}-7^{100}$ 的个位是 $9-1=8$.

解题步骤
因为 $111111\div7=15873$，所以由六个数字 $1$ 组成的六位数必定是 $7$ 的倍数，又 $77$ 被 $6$ 除余 $5$，从而 $\underbrace{11\cdots1}_{77\text{个}1}=\underbrace{1\cdots10}_{6\text{个}1}\cdots0+\underbrace{1\cdots10}_{6\text{个}1}\cdots0+\cdots+\underbrace{1\cdots10}_{6\text{个}1}\cdots0+\underbrace{1\cdots1}_{5\text{个}1}$，所以 $\underbrace{11\cdots1}_{77\text{个}1}$ 和 $\underbrace{1\cdots1}_{5\text{个}1}$ 被 $7$ 除所得余数相同，而 $\underbrace{1\cdots1}_{5\text{个}1}\div7=1587\cdots\cdots2$，所以 $\underbrace{11\cdots1}_{77\text{个}1}$ 被 $7$ 除，余数是 $2$.

解题步骤
原式$=(20+8)+(200+8)+(2000+8)+(20000+8)$
$=20+200+2000+20000+8\times4$
$=22252$

解题步骤
$1\sim2011$中奇数1006个，偶数1005个，可以用竖式来表示这个算式：
$$\begin{array}{r}1+3+5+\cdots+2011\\-\quad 2+4+6+\cdots+2010\\\hline 1+1+1+\cdots+\ 1\end{array}$$
因此结果为$1006$.

解题步骤
原式$=9\times(11111+1111+111+11+1)\div9$
$=11111+1111+111+11+1$
$=12345$

解题步骤
原式$=1111\times(6+7+8+9)\div5$
$=6666$

解题步骤
①$2002\times1999-1999=2001\times1999$，②$2003\times1998-1998=2002\times1998$，③$2004\times1997-1997=2003\times1997$，④$2005\times1996-1996=2004\times1996$。
两个数的和一定，两个数越接近，它们的乘积越大，相反的，两个数越远离，它们的乘积越小。所以，得数最小的算式是④。

解题步骤
原式$=(2010+2009\times2010+2009)\div(2010\times2011-1)$
$=(2010\times2010+2009)\div(2010\times2011-1)$
$=(2010\times2010+2009)\div(2010\times2010+2010-1)$
$=(2010\times2010+2009)\div(2010\times2010+2009)$
$=1$

解题步骤
原式$=2009\times2011+2011-2009\times2012$
$=2011-2009$
$=2$

解题步骤
原式$=1111\times1111\times6\times4\times2+1111\times1111\times3\times5$
$=1111\times1111\times63$
$=1111\times1111\times9\times7$
$=9999\times7777$
$=(10000-1)\times7777$
$=77762223$
有$4$个数字是奇数。

解题步骤
原式$=20062006\times2007+2007-20072007\times2006$
$=2006\times10001\times2007-2007\times10001\times2006+2007$
$=2007$

解题步骤
原式$=33\times(2010\times10001)-2010\times(33\times10001)$
$=0$

解题步骤
原式$=9999\times7777+3333\times3\times2222$
$=9999\times7777+9999\times2222$
$=9999\times9999$
$=9999\times10000-9999$
$=99980001$

解题步骤
原式$=2006\times111111111111-1111\times2006\times100010001$
$=2006\times111111111111-2006\times111111111111$
$=0$

解题步骤
原式$=2009\times10001\times2010\times100010001-2010\times10001\times2009\times100010001$
$=0$

解题步骤
原式$=999999\times(555555-222222)$
$=999999\times333333$
$=(1000000-1)\times333333$
$=333332666667$

解题步骤
原式$=(1234+3214+5100+451)\div9$
$=9999\div9$
$=1111$

解题步骤
原式$=17\times47+47\times13+47\times6+19\times6+6\times34$
$=47\times(17+13)+6\times(47+19+34)$
$=47\times30+6\times100$
$=1410+600$
$=2010$

解题步骤
原式$=(98+2)+(197+3)+(2996+4)+(39995+5)+(499994+6)+(5999993+7)+(69999992+8)+(799999991+9)-(2+3+4+5+6+7+8+9)$
$=100+200+3000+40000+500000+6000000+70000000+800000000-44$
$=876543300-44$
$=876543256$

解题步骤
原式$=1419\div43+14319\div43+143319\div43+1433319\div43+14333319\div43$
$=33+333+3333+33333+333333$
$=370365$

解题步骤
原式$=201\times891\div3\div37+201\times73\div37$
$=201\times297\div37+201\times73\div37$
$=201\times(297+73)\div37$
$=201\times370\div37$
$=2010$

解题步骤
原式$=12345\times2345+2469\times5\times7655$
$=12345\times2345+12345\times7655$
$=12345\times(2345+7655)$
$=12345\times10000$
$=123450000$

解题步骤
①原式$=732066\times55555\times(4-4)\\$
$=0$
②原式$=(3.49+3.51)+(4.47+4.53)+(2.38+4.62)\\$
$=7+9+7\\$
$=23$
③原式$=0.5\times3.6\div0.25\\$
$=0.5\div0.25\times3.6\\$
$=7.2$
④原式$=87.5\times(999+1)\\$
$=87.5\times1000\\$
$=87500$

解题步骤
原式$=(1+2+3+\cdots+9)\times10+(1+2+3+\cdots+9)\times1+(1+2+3+\cdots+9)\times0.1\\\quad+(1+2+3+\cdots+9)\times0.01\\$
$=(1+2+3+\cdots+9)\times(10+1+0.1+0.01)\\$
$=45\times11.11\\$
$=499.95$

解题步骤
原式$=(11+13+15+\cdots+99)\div10\\$
$=(11+99)\times45\div2\div10\\$
$=110\times45\div2\div10\\$
$=11\times45\div2\\$
$=247.5$

解题步骤
原式$=0.4\times0.8\times25\times12.5\\$
$=(0.4\times25)\times(0.8\times12.5)\\$
$=10\times10\\$
$=100$

解题步骤
原式$=(3.9\times5.5\times6.3\times3.6)\div[(3\times1.3)\times(5\times1.1)\times(7\times0.9)]\\$
$=3.6$

解题步骤
原式$=2002\div0.7\div1.1\\$
$=2\times7\times11\times13\div0.7\div1.1\\$
$=2\times(7\div0.7)\times(11\div1.1)\times13\\$
$=2\times10\times10\times13\\$
$=2600$

解题步骤
小数点向右移动一位，则扩大10倍，比原数增加了9倍，因此原数为 $25.65\div(10-1)=2.85$，故选 D．

解题步骤
方法一：根据规律可以直接看到结果中的小数部分应该由 $1$ 个 $1$ 和无数个 $6$ 组成，所以结果为 $0.1\overline{6}$．
方法二：令 $s=0.1+0.06+0.006+0.0006+0.00006+\cdots$ ①
则 $10s=1+0.6+0.06+0.006+0.0006+\cdots$ ②
②$-$①得
$9s=1+0.6-0.1$
$s=0.1\overline{6}$

解题步骤
设原来这个小数为 $x$，则有 $x=[x]+\{x\}$．根据题意有
$[x]+4\{x\}=6.6$ ①
$[x]+8\{x\}=9.2$ ②
②$-$①得
$4\{x\}=9.2-6.6$
$\{x\}=0.65$
代入①得 $[x]=4$
所以原来的小数是 $4.65$．
注：$[x]$ 表示小数的整数部分，$\{x\}$ 表示小数的小数部分。例如 $x=3.87$，则 $[x]=3$，$\{x\}=0.87$．

解题步骤
原式$=2010\times0.25-210\times0.25\\$
$=(2010-210)\times0.25\\$
$=1800\times0.25\\$
$=450$

解题步骤
原式$=67\times(8.1+10.1+12.1-0.3)\\$
$=67\times30\\$
$=2010$

解题步骤
原式$=1.25\times67.875+1.25\times678.75+1.25\times53.375\\$
$=1.25\times(67.875+678.75+53.375)\\$
$=1.25\times800\\$
$=1000$

解题步骤
原式$=20.09\times31.5+20.09\times31.7+20.09\times36.8\\$
$=20.09\times(31.5+31.7+36.8)\\$
$=2009$

解题步骤
原式$=3.79\times0.038+159\times0.00621+3.79\times0.121\\$
$=3.79\times(0.038+0.121)+159\times0.00621\\$
$=3.79\times0.159+159\times0.00621\\$
$=0.159\times(3.79+6.21)\\$
$=0.159\times10\\$
$=1.59$

解题步骤
本题利用估算，除数与被除数的位数相同，将除数与被除数的小数点同时向左移动相同的若干位商不变。由于只求小数点后三位的数字，则将被除数、除数均保留$4$位进行计算即可：
$A=12345678910111213\div31211101987654321\approx1235\div3121$
$=0.3957\cdots$
有 $1234\div3122<A<1235\div3121$
$0.3952<A<0.3957$
因此小数点后的前三位数字是 $395$．

解题步骤
根据规律知，$20=9+11$，$33=9+11+13$，$48=9+11+13+15$，因此第 41 个数应该有 41 个加数，并且是从 9 开始的连续奇数，所以第 41 个数是 $9+11+13+\cdots+(9+40\times2)=2009$。

解题步骤
根据规律知，$22=9+13$，$39=9+13+17$，$60=9+13+17+21$，所以第 30 个数是 $9+13+17+\cdots+(9+29\times4)=2010$。

解题步骤
等差数列求项数，项数 $=(\text{末项}-\text{首项})\div\text{公差}+1$，$(2008-1896)\div4+1=29$，这样北京奥运会是第 29 届。

解题步骤
把每个数的分子、分母按顺序展开，得到一个类斐波那契数列：$1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,\cdots$
所以这串数的第 7 个数为 $\frac{233}{377}$。

解题步骤
从 1 开始连续 $n$ 个奇数的和为 $n^{2}$。$(2011-1)\div2+1=1006$，所以答案为 $1006\times1006$。

解题步骤
从 1 到 99 共有 $9+90\times2=189$（位）数，还有 $207-189=18$（位）数，因此这个 207 位数是 $123\cdots99100101102103104105$，所有的数字之和为 $45+55+65+\cdots+135+1\times6+1+2+3+4+5=921$。

解题步骤
等差数列的平均数就是首项与末项的平均数，例如 1 到 100 的平均数 $(1+2+3+\cdots+100)\div100=(1+100)\times100\div2\div100$
$=(1+100)\div2$，所以共有 $10\times2-1=19$（个）小朋友，因此这堆糖共有 $19\times10=190$（块）。

解题步骤
第一次六人共喝了 $63-3\times5-3\times4-3\times3-3\times2-3=18$（升），所以 $A$ 喝了 $18\div6=3$（升），$B$ 喝了 $3+3=6$（升），$C$ 喝了 $6+3=9$（升），$D$ 喝了 $9+3=12$（升），$E$ 喝了 $12+3=15$（升），$F$ 喝了 $15+3=18$（升）。

解题步骤
第 30 组的第一个数是 $1+2+3+\cdots+29=436$，因此第 30 组内所有数的和为 $(436+436+29)\times30\div2=13515$。

解题步骤
第九册应为 $24-8=16$（元），九册共需 $(24+16)\times9\div2=180$（元），因此书店老板应找他 $200-180=20$（元）。

解题步骤
甲 $n$ 天走的路程为 $7n$，乙 $n$ 天走的路程为 $(1+n)\times n\div2$。$7n=(1+n)\times n\div2$，解得 $n=13$。

解题步骤
倒推分析，跳第 100 步前的刻度是 $205-100$，跳第 99 步前的刻度是 $205-100+99$，因此跳第一步前的刻度是 $205-100+99-98+97-\cdots-2+1=205-(100-99)-(98-97)-\cdots-(2-1)$
$=205-50$
$=155$，因此电子跳蚤开始时落在尺上的某点 $K$ 的刻度表示是 155 毫米。

解题步骤
首先，这列数最好从 1 开始；其次，将各数从小到大排列，如果相邻两数之间相差越大，后面的数就会增长越快，则 $k$ 值会越小。要使 $k$ 越大，则各数之间的差距要尽量小，那么前面的数是从 1 开始的连续自然数。经尝试：$(1+62)\times62\div2=1953$，$(1+63)\times63\div2=2016$，可见 $k$ 最大为 62。（例如 $1+2+3+\cdots+61+115=2006$）

解题步骤
$1-2+3-4+5-6+\cdots+2008+2009-2010=(3+2007)\times669\div2$
$=672345$。

解题步骤
将所有珠子的价钱都变成和正中间最贵的那个一样，则这串珠子总价钱应该是：$2012+(3+6+9+\cdots+45)+(4+8+12+\cdots+60)=2852$（元），所以中间的一颗珠子价值是 $2852\div31=92$（元）。

解题步骤
首先按照正确的报法找规律：$1,2,4,8,16,11,6,12,7,14,9,18,13,8,16,\cdots$，发现除了前 3 位同学外，后面同学报的数每 10 个一周期，$(99-3)\div10=9\cdots\cdots6$，则第 99 个同学报的是 7。
根据最后一人报的是 5，往前倒推，应该是 $5,10,5,10,\cdots$，正数第 100 位同学是倒数第奇数个，按理应该是报 5，但 7 加一个一位自然数不可能是 5，所以第 100 位同学报的数其实是 15，是在前一人（第 99 个人）的基础上加了 8。

解题步骤
每一行的四个数都构成等差数列，所以 $A=36$.

解题步骤
同一列上的连续 5 个日期应为公差为 7 的等差数列，它们的和是 80，中间数为 $80\div 5=16$，则这 5 个日期分别为 $2,9,16,23,30$，所以第二个日期是 9 号.

解题步骤
$1+3+5+\cdots+199=100^{2}$，
$201+199+\cdots+5+3+1=101^{2}$，
原式 $=100^{2}+101^{2}$.

解题步骤
$B$ 比 $A$ 大 $8$，$C$ 比 $B$ 大 $8$，$D$ 比 $C$ 大 $8$，则 $A$ 比 $B$ 小 $8$，$B$ 比 $C$ 小 $8$，$C$ 比 $D$ 小 $24$，则 $A=(52-8-16-24)\div 4$
$=1$，$A$ 是星期三，则第一个星期日是 $1+4=5$ 号.

解题步骤
框出的 9 个数，平均数为中间数，所以框出的和为 9 的倍数.
1986 不是 9 的倍数，舍去.
当和为 2529 时，中间数为 $2529\div 9=281$，$281\div 7=40$（行）……1（个），即 281 在第 41 行左起第 1 列，无法作为中间数.
当和为 1989 时，中间数为 $1989\div 9=221$，$221\div 7=31$（行）……4（个），可以作为中间数，所以可以框出 9 个数的和为 1989.

解题步骤
用 $2\times 3$（2 行，3 列）的长方形框出的 6 个数中，第二行的数比第一行同一列的数大 7，且同一行三个数构成公差为 1 的等差数列，则长方形框出的 6 个数中，最小的数是第一行第一列的数，不妨设为 $x$，则有
$x+(x+1)+(x+2)+(x+7)+(x+1+7)+(x+2+7)=81$，
解得 $x=9$，即这 6 个数中最小的是 9.

解题步骤
这个数是其周边 8 个数的平均数，所以这个数是 $136\div 8=17$.

解题步骤
方法一：平行四边形框住的 6 个数，上下两行的差为 $16\times 3=48$，上行和为 $(660-48)\div 2=306$，上行中间的数是 $306\div 3=102$，左上角的数是 $102-2=100$.
方法二：设左上角的数为 $x$，则有 $x+(x+2)+(x+4)+(x+16)+(x+16+2)+(x+16+4)=660$，解得 $x=100$.

解题步骤
根据数表的构造规律，容易得到各表的所有数和：
表 1 为 1，表 2 为 17，表 3 为 65，表 4 为 161，表 5 为 321，表 6 为 561，表 7 为 897，表 8 为 1345，表 9 为 1921，……
表 7 数的和比表 6 中数的和增大了 $897-561=336$，表 8 数的和比表 7 中数的和增大了 $1345-897=448$，表 9 数的和比表 8 中数的和增大了 $1921-1345=576$，显然，随着数表的扩大，相邻两数表中数的和之差随之而增大，那么表 $n$ 中的所有数和比表 $m$ 的所有数和大 400，只可能在前几个数表中产生.
观察易知，唯有表 6 中的所有数和比表 4 的所有数和大 400，所以表 $m$ 的所有数的和是 161.

解题步骤
以 1 开头的行中：$1,3,7,13,\cdots$，这个数列中的第 2012 个数.
方法一：$1=1^{2}-1+1$，$3=2^{2}-2+1$，$7=3^{2}-3+1$，$13=4^{2}-4+1$，……，有第 $n$ 项为 $n^{2}-n+1$，第 2012 个数是 $2012^{2}-2012+1=4046133$，该数除以 7 的余数为 0.
方法二：以 1 开头的行的数依次为 $1,3,7,13,21,\cdots$，可以发现规律是这个数列中相邻两数的差构成公差为 2 的等差数列，所以第 2012 项是 $1+2+4+6+\cdots+[(2011-1)\times 2]\div 2=1+(2+4+6+\cdots+4022)\div 2$
$=4046133$，这个数除以 7 的余数为 0.

解题步骤
第 80 行算式中有 $3+2\times(80-1)=161$ 个数，前面 79 行算式中有 $3+5+7+\cdots+161=(3+161)\times 80\div 2$
$=6560$ 个数，所以第 80 行最后一个数为 6560.

解题步骤
数表的每一行的最后一个数字为这一行行数的平方，那么 14 行的最后一个数为 196，那么第 15 行的第一个数是 197.

解题步骤
（1）中间数为 15，平均数 $=15$，所以平均数＝中间数.
（2）设中间数为 $A$，则上下两个数为 $A-10$、$A+10$，左右两个数为 $A-2$、$A+2$，5 个数的和为 $5A$，为 5 的倍数.
2011 不是 5 的倍数，所以和不可能为 2011；
$2015\div 5=403$，403 是第几个奇数？$(403-1)\div 2+1=202$，403 为第 202 个奇数，$202\div 5=40$（行）……2（个），在第二列，成立；
$2045\div 5=409$，$(409-1)\div 2+1=205$，409 为第 205 个奇数，$205\div 5=41$（行），在最后一列，不成立.

解题步骤
（1）最下面一行的排列规律是：相邻两个数的差构成首项是 2、公差是 1 的等差数列，所以第十个数为 $1+(2+3+\cdots+9+10)=55$.
（2）字母 $a$ 所在的行从右到左依次为 $16,23,31,40,50,\cdots$，可以发现规律是：相邻两数的差构成首项是 1 的等差数列，所以 $a=16+(7+8+9+10+11+12)$
$=73$.

解题步骤
第 12 项的值为 $1+1+3+\cdots+19+21=122$；
观察可知，由于 $1+n\times d=2011$，即 $2010=2\times 3\times 5\times 67$，2010 有 16 个因数，所以 2011 共出现了 16 次.

解题步骤
该数表中第 $m$ 行第 $n$ 个数的 "通项公式" 为 $100(m-1)+n$，选出的 100 个数因分属不同行不同列，所以它们的和是 $100\times(0+1+2+\cdots+99)+(1+2+\cdots+100)=500050$.

解题步骤
我们给波特的 6 只狗分别编号为 $1,2,3,4,5,6$，和编号 1 搭配的有 $12,13,14,15,16$ 五种；和编号 2 搭配的有 $23,24,25,26$ 四种；和编号 3 搭配的有 $34,35,36$ 三种；和编号 4 搭配的有 $45,46$ 两种；和编号 5 搭配的有 $56$ 一种。因此共有 $5+4+3+2+1=15$（种）。

解题步骤
我们把每个城市看做线段的端点，两点间的线段代表两个城市间的航线。本题相当于告诉了线段条数，求端点个数。由于 $1+2+3+\cdots+11=66$，可以相当于有 12 个端点，也就是有 12 座城市。

解题步骤
三个数的平均数是 5，也就是三个数的和为 15，这 3 个数从最小的开始：最小数为 1 的有 $(1,5,9)$、$(1,6,8)$ 两种；最小数为 2 的有 $(2,4,9)$、$(2,5,8)$、$(2,6,7)$ 三种；最小数为 3 的有 $(3,4,8)$、$(3,5,7)$ 两种；最小数为 4 的有 $(4,5,6)$ 一种。最小数为 5、6、7、8、9 的没有，因此一共有 $2+3+2+1=8$（种）取法。

解题步骤
没有黑石时，有 1 种；只有一块黑石时，有 2 种（中心或外圈）；有 2 块时，有 2 种；有 3 块时，有 1 种。共 $1+2+2+1=6$（种）。

解题步骤
如图，$A$ 第一次传给 $B$，到第五次传回 $A$ 有 5 种不同方式。同理，$A$ 第一次传给 $C$，到第五次传回 $A$ 也有 5 种不同方式。所以，根据加法原理，不同的传球方式共有 $5+5=10$（种）。

解题步骤
给这些点依次标上字母（如下左图），然后采用枚举法（如下右图），共 4 种不同的走法。

解题步骤
标数法。如下图所示。

$\begin{array}{ccccc} 1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \end{array}$

所以从 $A$ 到 $B$ 最短走法共有 35 种。

解题步骤
利用标数法，如下图所示，最后一共有 $6+15+20+15+6=62$（种）路线可以写出“十一届中环杯”。

$\begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \end{array}$

解题步骤
标数法。如果桥的左方和右方的路线可以走的话，那么这只兔子必须向下或向左走，不合题意，因此只能标零。如下图所示，因此共有 150 种走法。

$\begin{array}{ccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 45 & 90 & 150 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 30 & 45 & 60 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 15 & 15 & 15 \\ 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}$

解题步骤
把这个图展开（见下图），用箭头标出行走方向，然后采用标数法即可：从 1 出发，沿可行方向逐个房间累加上游的走法数，最终到 10 号房间共有 22 种不同的走法。

解题步骤
利用标数法（见下图），每一点的走法数等于它的左方与下方两个点的方法数的和。

$\begin{array}{ccccc} 4 & 4 & 7 & 11 & 17 \\ 1 & 1 & 3 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}$

共有 17 种不同的走法。

解题步骤
找规律。如下图所示，图 1 中每点所标的数代表跳 1 步到达这个点的跳法总数。所以跳 1 步的方法数共 $2+4+4+4+6+4+2+4+4+2=36$（种）；图 2 中每点所标的数代表跳 2 步到达这个点的跳法总数（由图 1 中与此点相邻点上所标数相加而得），共 $8+16+16+16+24+16+8+16+16+8=144$（种），不难发现对于每一点，多跳一步跳法就增加为原来的 4 倍，所以方法总数也增加为原来的 4 倍，因此跳 3 步有 $144\times 4=576$（种），跳 4 步有 $576\times 4=2304$（种）。

解题步骤
如下图所示，从 $A$ 出发只能走向有阴影的格子中，由标数法可得，共有 8 种走法。

解题步骤
图中正方形的边长有 $1,4,9,16,25$ 平方厘米的正方形分别有 $5\times 5,4\times 4,3\times 3,2\times 2,1\times 1$ 个，共有 55 个小正方形。所有正方形的面积和为 $25\times 1+16\times 4+9\times 9+4\times 16+1\times 25=259$（平方厘米）。

解题步骤
方法一：数学法——按位数分类计算。
两位数中“迎春数”个数
（1）十位数字是 1，这样的“迎春数”有 $12,13,\cdots,19$，共 8 个；
（2）十位数字是 2，这样的“迎春数”有 $23,\cdots,29$，共 7 个；
（3）十位数字是 3，这样的“迎春数”有 $34,\cdots,39$，共 6 个；
（4）十位数字是 4，这样的“迎春数”有 $45,\cdots,49$，共 5 个；
（5）十位数字是 5，这样的“迎春数”有 $56,\cdots,59$，共 4 个；
（6）十位数字是 6，这样的“迎春数”有 $67,68,69$，共 3 个；
（7）十位数字是 7，这样的“迎春数”有 $78,79$，共 2 个；
（8）十位数字是 8，这样的“迎春数”只有 89 这 1 个。
（9）没有十位数字为 9 的两位数的“迎春数”。
所以两位数“迎春数”共有 $8+7+6+\cdots+1=36$（个）。
三位数中“迎春数”个数
（1）百位数字是 1，这样的“迎春数”有 $123\sim 129,134\sim 139,\cdots,189$，共 28 个；
（2）百位数字是 2，这样的“迎春数”有 $234\sim 239,\cdots,289$，共 21 个；
（3）百位数字是 3，这样的“迎春数”有 $345\sim 349,\cdots,389$，共 15 个；
（4）百位数字是 4，这样的“迎春数”有 $456\sim 459,\cdots,489$，共 10 个；
（5）百位数字是 5，这样的“迎春数”有 $567\sim 569,\cdots,589$，共 6 个；
（6）百位数字是 6，这样的“迎春数”有 $678,679,689$，共 3 个；
（7）百位数字是 7，这样的“迎春数”只有 $789$ 这 1 个。
（8）没有百位数字是 8、9 的三位数的“迎春数”。
所以三位数“迎春数”有 $28+21+15+10+6+3+1=84$（个）。
$1000\sim 1999$ 的自然数中“迎春数”个数
（1）前两位数字是 12，这样的“迎春数”有 $1234\sim 1239,\cdots,1289$，共 21 个；
（2）前两位数字是 13，这样的“迎春数”有 $1345\sim 1349,\cdots,1389$，共 15 个；
（3）前两位数字是 14，这样的“迎春数”有 $1456\sim 1459,\cdots,1489$，共 10 个；
（4）前两位数字是 15，这样的“迎春数”有 $1567\sim 1569,\cdots,1589$，共 6 个；
（5）前两位数字是 16，这样的“迎春数”有 $1678,1679,1689$，共 3 个；
（6）前两位数字是 17，这样的“迎春数”只有 $1789$ 这 1 个。
（7）没有前两位数字是 18、19 的四位数的“迎春数”。
所以四位数中“迎春数”共有 56 个。
$2000\sim 2008$ 的自然数中，没有“迎春数”。
所以小于 2008 的自然数中“迎春数”共有 $36+84+56=176$（个）。
方法二：利用组合原理
小于 2008 的“迎春数”，只可能是两位数、三位数和 1000 多的数。
计算两位“迎春数”的个数，它就等于从 $1\sim 9$ 这 9 个数字中任意取出 2 个不同的数字，每一种取法对应于一个“迎春数”，即有多少种取法就有多少个“迎春数”。显然不同的取法有 $C_{9}^{2}=9\times 8\div 2$
$=36$（种），即两位的“迎春数”共有 36 个。
同样计算三位和 1000 多的数中“迎春数”的个数，它们分别有 $C_{9}^{3}=9\times 8\times 7\div(3\times 2\times 1)$
$=84$（个）和 $C_{8}^{3}=8\times 7\times 6\div(3\times 2\times 1)$
$=56$（个）。
所以小于 2008 的自然数中，“迎春数”共有 $36+84+56=176$（个）。

解题步骤
如下图所示，按照对称位置把正方形的方格分类。为避免重复，可固定一种位置来考虑，根据含有 ○ 格中黑瓷砖的数目，分情况讨论：
有 1 块的情况：如下图所示，把“不能放黑瓷砖的方格”用 × 表示（下同），则剩余 2 个方格中黑白瓷砖都可以放，共有 $2\times 2=4$（种）方法，这 4 种方法互不相同，所以有 4 种。
有 2 块的情况：如下图所示，黑瓷砖的位置有 2 种可能。①如果两块黑瓷砖有公共顶点，则剩下的 1 个方格黑白瓷砖都可以放，有 2 种；②如果不相邻，只有 1 种。因此有 2 块的情况共 3 种。
有 3 块的情况：如下图所示，只有 1 种。
有 4 块的情况：如下图所示，只有 1 种。
有 0 块的情况：如下图所示，再按照含 △ 的方格中的黑瓷砖数目分情况讨论：0 块 1 种；1 块 1 种；2 块 1 种；3 块 1 种；4 块 1 种。共 6 种。
又正中间的方格黑白瓷砖都可以放，所以共有 $6\times 2=12$（种）。
综上所述，共有 $4+3+1+1+12=21$（种）。
点评：本题也可以先考虑含有 △ 的方格，得出的结果是一样的，读者不妨试一下。

解题步骤
由乘法原理，可得 $5\times4\times3\times2\times1=120$（种）。

解题步骤
由乘法原理，三位数的百位、十位、个位都可以从三种卡片选择，因此每个数位置都有三种选择，根据乘法原理，一共可以得到 $3\times3\times3=27$（个）不同的三位数。

解题步骤
一份套餐应该包含汉堡、小吃、饮料，因此根据乘法原理分步计算有 $8\times4\times5=160$（种）套餐搭配。

解题步骤
根据乘法原理，一共有 $4\times3\times2\times1=24$（种）不同的搭配方式。

解题步骤
①利用乘法原理，$3\times3=9$（种），所以有 $9$ 种搭配方式。
②利用抽屉原理，$9+1=10$（个），当有 $10$ 个人时，就可以保证一定有两个人上衣和裤子颜色都相同。

解题步骤
每个方格中有 $2$ 种填法；故有 $2\times2\times2\times2=16$（种）。

解题步骤
这五张牌可以分为两步取，第一步取四种花色相同的牌共有 $13$ 种取法；第二步再从剩下的 $52-4=48$（张）牌中任取一张，共有 $48$ 种取法，因此不同的天王共有 $13\times48=624$（种）。

解题步骤
先从 $5$ 个数里选择 $4$ 个数，有 $5$ 种选法；第二步，把选出的 $4$ 个数填入空格内，根据条件，最小的数应该填在田字格的左上角，最大的数应该填在田字格的右下角，那么中间的两个数可以任意填，有 $2$ 种填法。
根据乘法原理，共有 $5\times2=10$（种）填法。

解题步骤
同组：$(7+6+5+4+3+2+1)\times2=56$（场）；
不同组：$8\times8=64$（场）；
共：$56+64=120$（场）。

解题步骤
两个眼睛对应去掉以后可以不去，有左右 $2$ 种选择，同理另外两部分阴影也是各有两种选择，所以共有 $2\times2\times2=8$（种）选择，但是题目说的是新图形，所以要去掉题目已经给出的形式，共有 $8-1=7$（种），所以答案是 C。

解题步骤
从基础面最多的入手，再按照相邻原则依次考虑。从 $C$ 开始考虑，有 $4$ 种着色方法；$C$ 着色后，$A$ 有 $3$ 种着色方法；$A$ 着色后，$B$ 有 $2$ 种着色方法；$B$ 着色后，$D$ 有 $2$ 种着色方法；$D$ 着色后，$E$ 有 $2$ 种着色方法。共有 $4\times3\times2\times2\times2=96$（种）。

解题步骤
首先将地图区域重新编号（见下图），从相邻区域多的入手，因此可以按区域 $A,B,C,D,E$ 顺序染色。$A$ 有 $5$ 种选择；$B$ 与 $A$ 不同色有 $4$ 种选择；$C$ 和 $A,B$ 不同色有 $3$ 种选择；当 $B,D$ 同色时，$D$ 有 $1$ 种选择，$E$ 有 $3$ 种选择；当 $B,D$ 不同色时，$D$ 有 $2$ 种选择，$E$ 有 $2$ 种选择。因此需要对 $B,D$ 着色情况进行分类讨论，因此不同的着色方法有
$5\times4\times3\times1\times3+5\times4\times3\times2\times2=420$（种）。

解题步骤
剩下的 $10$ 个点，把上面的五个顶点称为“第一层”，下面的五个顶点称为“第二层”。从 $N$ 走到第一层有 $5$ 种走法。
在第一层中，考虑横向走法，可以一步不走；也可以顺时针走 $1,2,3,4$ 步，或者逆时针 $1,2,3,4$ 步，加起来 $1+4+4=9$（种）走法。
从第一层进入第二层，对应每个点都有 $2$ 种走法；
从第二层到 $S$ 对应每个点都有 $1$ 种走法。
根据乘法原理，共有 $5\times9\times2\times9\times1=810$（种）走法。

解题步骤
要求男女间隔坐，先将所有的男人排一圈，有 $5\times4\times3\times2\times1=120$（种）方法，再将五位女士插进五个空隙中去，考虑到夫妻不能坐一起或对面，一共有 $4$ 种插法，所以一共有 $120\times4=480$（种）方法。

解题步骤
如果在表盘上显示的数码为 $ab\colon cd\colon mn$，那么 $a\neq7,c\neq7,m\neq7$，因为 $a\leqslant2,c\leqslant5,m\leqslant5$，所以 $b=d$
$=n$
$=7$，此时 $a=0,c=0,1,2,3,4,5,m=0,1,2,3,4,5$，一共用到 $1\times6\times6=36$ 个出现 $3$ 个 $7$ 的时刻。

解题步骤
记 $A=\overline{1ab}$，$B=\overline{bc2}$，因为 $B$ 是三位数，所以 $b$ 不能为 $0$，只有 $1\sim9$ 的 $9$ 种可能。而 $a$ 和 $c$ 都可以取 $0$ 到 $9$ 这 $10$ 个数字，所以所求的答案为 $9\times10\times10=900$（种）。

解题步骤
这是一道染色问题，关键就是要发现正四面体共有多少种放法。不旋转时共有 $(4\times3\times2\times1=24)$（种）染色方法，而一个正四面体有 $4\times3=12$（种）放置方法（$4$ 个面中选 $1$ 个作底面，再从剩余 $3$ 个面中任选 $1$ 个作正面），所以每种染色方式被计算了 $12$ 次，则不同的染色方法有 $24\div12=2$（种）。

解题步骤
由乘法原理，走到中间圆 $2$ 种方法，中间圆到外圆 $3$ 种方法，每一种都可以到达 $B$，于是 $2\times3=6$（种）。

解题步骤
设甲方先放棋子，乙方后放棋子。那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有 $10\times9=90$（种）不同的放置方法。对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有 $9\times8=72$（种）不同的放置方法。因此，总共有 $72\times90=6480$（种）不同的放置方法。

解题步骤
各选 $1$ 人时：甲组选 $1$ 人有 $6$ 种选法，乙组选 $1$ 人有 $5$ 种选法，丙组选 $1$ 人有 $4$ 种选法。所以有 $6\times 5\times 4=120$（种）。
共同推选 $1$ 人时：有 $6+5+4=15$（种）选法。

解题步骤
方法一：分类枚举找规律。令其中一个人为 $A$，固定 $A$ 进行分类枚举。
当 $A$ 分得 $8$ 时，$10=8+1+1$，$1$ 种；
当 $A$ 分得 $7$ 时，$10=7+1+2$
$=7+2+1$，$2$ 种；
当 $A$ 分得 $6$ 时，$10=6+1+3$
$=6+2+2$
$=6+3+1$，$3$ 种；
当 $A$ 分得 $5$ 时，$10=5+1+4$
$=5+2+3$
$=5+3+2$
$=5+4+1$，$4$ 种；
……
当 $A$ 分得 $1$ 时，$8$ 种；
综上，共有 $1+2+\cdots+8=36$（种）分法。
方法二：对 $10$ 进行分拆。
$10=1+1+8$
$=1+2+7$
$=1+3+6$
$=1+4+5$
$=2+2+6$
$=2+3+5$
$=2+4+4$
$=3+3+4$。
当三个数各不相同时，对于每种情况有 $6$ 种分法，$6\times 4=24$（种）；
当有两个数相同时，对于每种情况有 $3$ 种分法，$3\times 4=12$（种）。
共有 $24+12=36$（种）分法。
方法三：插板法。把 $10$ 个玻璃球分成三堆，用插板法，在 $10$ 个球中产生的 $9$ 个缝隙中插入两个板即可，$C_9^2=9\times 8\div 2$
$=36$。所以共有 $36$ 种分配方法。

解题步骤
解决计数问题常用分类讨论的方法。
方法一：设 $1000$ 至 $1999$ 这些自然数为 $\overline{1abc}$（其中 $c>a$）：
（1）当 $a=0$ 时，$c$ 可取 $1\sim 9$ 中的任一数字，$b$ 可取 $0\sim 9$ 中的任一数字，于是一共有 $9\times 10=90$（个）。
（2）当 $a=1$ 时，$c$ 可取 $2\sim 9$ 中的任一数字，$b$ 可取 $0\sim 9$ 中的任一数字，于是一共有 $8\times 10=80$（个）。
……
（9）当 $a=8$ 时，$c$ 取 $9$，$b$ 仍可取 $2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$、$9$、$0$、$10$ 个符合条件的自然数。
所以，符合条件的自然数总数是有 $90+80+70+\cdots+20+10=450$（个）。
方法二：因为个位与百位的取值互换，所以个位大于百位的数与百位大于个位的数一样多，而个位等于百位的数有 $10\times 10=100$（个），个位大于百位的数与个位小于百位的数共有 $1000-100=900$（个）。所以个位大于百位的数有 $900\div 2=450$（个）。

解题步骤
两点确定一条线段。包含“☆”的线段的左端点在“☆”的左边，从 $2$ 个点中选 $1$ 个；右端点在“☆”的右边，从 $6$ 个点中选 $1$ 个，因此含“☆”的线段有 $2\times 6=12$（条）。同理，含“△”的线段有 $5\times 3=15$（条），同时包含“☆”和“△”的线段有 $2\times 3=6$（条）。所以至少包含“☆”和“△”中一个的线段有 $12+15-6=21$（条）。

解题步骤
两位数：$99$，$1$ 个；
三位数：$\overline{a99}$ 或 $\overline{99a}$，共有 $8+9=17$（个）；
四位数：$\overline{ab99}$ 或 $\overline{99ab}$ 或 $\overline{a99b}$，共有 $9\times 9+9\times 10+8\times 9=243$（个）；
所以 $1$ 到 $10000$ 以内共有 $1+17+243=261$（个）。

解题步骤
特殊数位优先考虑，由于个位是否为 $0$ 对首位有不同的影响，所以需要分类讨论。
（1）当个位为 $0$ 时，首位有 $5$ 种选择，十位有 $4$ 种选择，可以组成 $5\times 4=20$ 个偶数；
（2）当个位不为 $0$ 时，个位有 $2$ 种选择，此时首位有 $4$ 种选择，十位有 $4$ 种选择，可以组成 $2\times 4\times 4=32$ 个偶数。
因此，共可组成 $20+32=52$（个）三位偶数。

解题步骤
以 $1$ 开头的六位数有 $5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$（个），以 $2$、$3$、$4$ 开头的六位数也有 $120$ 个，即以 $1$、$2$、$3$、$4$ 开头的六位数共有 $120\times 4=480$（个），所以第 $505$ 个六位数首位数字是 $5$；以 $50$ 为开头的六位数有 $4\times 3\times 2\times 1=24$（个），$480+24=504$，所以第 $505$ 个六位数是 $510234$。

解题步骤
方法一：枚举法。按照位数进行分类。
$1$ 位数：$4$，$1$ 种；
$2$ 位数：$13$，$22$，$31$，$40$，$4$ 种；
$3$ 位数：$103$，$112$，$121$，$130$，$202$，$211$，$220$，$301$，$310$，$400$，$10$ 种；
$4$ 位数：$1$ 打头 $1003$，$1012$，$1021$，$1030$，$1102$，$1111$，$1120$，$1201$，$1210$，$1300$，$10$ 种；
　　　　$2$ 打头 $2002$，$2011$，$2$ 种；
那么，$2011$ 是第 $1+4+10+10+2=27$（个）。
方法二：插板法。转换为插板法的题目。①当千位为 $0$ 时，相当于求三个数字之和为 $4$，且每个数都可能为 $0$，利用插板法，有 $C_{6}^{2}=C_{6}^{4}$
$=15$；②当千位为 $1$ 时，相当于求三个数字之和为 $3$，每个数也可能为 $0$，则有 $C_{5}^{2}=C_{5}^{3}$
$=10$；千位为 $2$ 的数有 $2002$，$2011$ 等，那么 $2011$ 是第 $15+10+2=27$（个）。

解题步骤
假如小强选的是智力拼图，则小玉可以拿学习机或遥控汽车有 $2$ 种，剩下的再运用乘法原理，共有 $2\times 5\times 4\times 3=120$（种）方法。
假如给小强的是遥控汽车，则小玉只能拿学习机，共 $1\times 5\times 4\times 3=60$（种）方法。
总共有 $120+60=180$（种）方法。

解题步骤
$\overline{ab}>\overline{bc}>\overline{ca}$，说明 $a\geqslant b\geqslant c$。
（1）若 $a=b$，由 $\overline{ab}>\overline{bc}$，知 $b>c$；另一方面，当 $a=b>c$ 时，确有 $\overline{ab}>\overline{bc}>\overline{ca}$。这种情况有 $C_9^2=9\times 8\div 2$
$=36$ 种。
（2）若 $b=c$，由 $\overline{ab}>\overline{bc}$，知 $a>b$；但另一方面，当 $a>b=c$ 时，$\overline{bc}>\overline{ca}$ 不成立。
（3）若 $a\neq b$，$b\neq c$，由（1）知 $a>b>c$；另一方面，当 $a>b>c$ 时，确有 $\overline{ab}>\overline{bc}>\overline{ca}$。这种情况有 $C_9^3=9\times 8\times 7\div(3\times 2\times 1)$
$=84$（种）。
综合以上分析，本题答案为 $36+84=120$（种）。

解题步骤
（问 $1$）根据（2），白、红、蓝、黄四种颜色的卡片各取一张，它们上面的数之和为 $80\div 2=40$。①假设白 $=1$，则根据（1），红 $=15-1\times 2$
$=13$，根据（3），黄 $=13\times 3$
$=39$。此时，白 $+$ 红 $+$ 黄 $=1+13+39$
$=53>40$，三张卡片的数之和大于四张卡片的数之和，矛盾，所以白 $=1$ 不成立。
②因此蓝 $=1$。所以根据（1），红 $=15-2\times 白$；根据（3），黄 $=(15-2\times 白)\times 3$
$=45-6\times 白$。因此，白 $+$ 红 $+$ 黄 $+$ 蓝 $=白+15-2\times 白+45-6\times 白+1$
$=61-7\times 白$
$=40$，所以 $7\times 白=21$，白 $=3$。
红 $=15-3\times 2$
$=9$，黄 $=9\times 3$
$=27$，蓝 $=1$。
综上所述，白 $=3$，红 $=9$，蓝 $=1$，黄 $=27$，而每种颜色的卡片都只有 $2$ 张，$35=27\times 1+3\times 2+1\times 2$，因此黄卡片有 $1$ 张、红卡片有 $0$ 张、白卡片有 $2$ 张、蓝卡片有 $2$ 张。
（问 $2$）四个不同的数得到的和肯定不同，所以有多少种选取 $3$ 张卡片的方法，就有多少个不同的和。
①$3$ 张卡片的颜色都不同的情况，$4$ 种颜色取 $3$ 种不同，有 $4$ 种方法。
②$3$ 张卡片有两张相同的情况，$2$ 张相同有 $4$ 种选法，剩下一张卡片有 $3$ 种选法，有 $4\times 3=12$（种）。
综上所述，所求的选法数目为 $4+12=16$（种）。

解题步骤
由于湖人队最终主场获胜，而获胜的条件是先取得 $4$ 场胜利，所以湖人队在第 $6$ 场或在第 $7$ 场获胜。
如果在第 $6$ 场获胜，说明以 $4:2$ 获胜，前面 $5$ 场任选 $3$ 场即可，$C_5^3=5\times 4\times 3\div(3\times 2\times 1)$
$=10$（种）；
如果在第 $7$ 场获胜，说明以 $4:3$ 获胜，前面 $6$ 场任选 $3$ 场即可，$C_6^3=6\times 5\times 4\div(3\times 2\times 1)$
$=20$（种）；
所以共有 $10+20=30$（种）。

解题步骤
设这个三位数 $a$，$b$，$c$ 组成且 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $\overline{cba}-\overline{abc}=495$ 可知 $c-a=5$。满足条件的数组有 ①当 $c=5$，$a=0$，②$c=6$，$a=1$，③$c=7$，$a=2$，④$c=8$，$a=3$，⑤$c=9$，$a=4$。
①当 $c=5$，$a=0$ 时，$b=0$ 时，有 $1$ 个三位数；$b=1$，$2$，$3$，$4$ 时，分别有 $4$ 个三位数；$b=5$ 时，有 $2$ 个三位数，$1+4\times 4+2=19$（个）。
②当 $c=6$，$a=1$ 时，$b=1$ 或 $6$ 时，各有 $3$ 个三位数；$b=2$，$3$，$4$，$5$ 时，分别有 $6$ 个三位数，$2\times 3+4\times 6=30$（个）。
同理，后面的三类情况也都各有 $30$ 个数满足条件，共有 $19+30\times 4=139$（个）符合要求的三位数。

解题步骤
恰走 $4$ 步回到 $A$，分两种情况。
（1）走两条边，即向前走两步，再往回退两步，回到 $A$ 点。从 $A$ 点出发，有 $6$ 条线，走 $6$ 条线中每走定 $1$ 条又会遇到 $5$ 个分支（不包括回 $A$ 的分支），所以这种情况下一共有 $6\times 5=30$（条）。
（2）走四条边，即沿着一个菱形的边走回 $A$ 点。在 $A$ 周围，含有 $A$ 点一共有 $12$ 个，每一个菱形有两种走法，即沿顺时针和逆时针方向，所以这种情况下一共有 $12\times 2=24$（条）。
综合这两种情况，一共有 $30+24=54$（条）。

解题步骤
设这群羊为一份，那么 $1+1+0.5+0.25=2.75$（份），$2.75$ 份 $=(100-1)$ 只，所以这群羊有 $99\div2.75=36$（只）。

解题步骤
$1000\times1000=1000000$。

解题步骤
差倍问题，两筐桃子的差不变，$400-240=160$（个），所以此时小筐里剩下的桃子有 $160\div(5-1)=40$（个），上午卖出的桃子有 $(240-40)\times2=400$（个）。

解题步骤
若全部答对，则小明应得 $21\times8=168$（分）。在这 $168$ 分中，小明若用 $1$ 道答对题目换 $1$ 道答错题目，则损失了 $8$ 分（应得的）$+6$ 分（扣掉的）$=14$ 分，而此时小明得了 $0$ 分，说明小明的 $168$ 分全部损失掉了，即错了 $168\div14=12$（道），则答对的题数为 $21-12=9$（道）。

解题步骤
由 $\begin{cases}7\text{红}+5\text{白}=43\quad ①\\5\text{红}+7\text{白}$
$=47\quad ②\end{cases}$
由 ②$\times3-$① 得 $8$ 红 $+16$ 白 $=47\times3-43$
$=141-43$
$=98$，
$4$ 红 $+8$ 白 $=98\div2$
$=49$。

解题步骤
乙比丙的 $2$ 倍少 $25$ 千米，甲是乙的 $3$ 倍，那么甲是丙的 $6$ 倍少 $75$ 千米；又甲比丙长 $240$ 千米，所以丙 $=(240+75)\div(6-1)$
$=63$（千米），乙 $=63\times2-25$
$=101$（千米），甲 $=101\times3$
$=303$（千米）。

解题步骤
$100\div43=2\cdots\cdots14$，小明和小强之间有同学 $14-2=12$（名）或 $43-14=29$（名）。

解题步骤
和差倍问题最重要的方法就是画线段图（见下图）。所以男孩有 $(1+1)\div(2-1)+1=3$（人），女孩有 $3+1=4$（人）。

解题步骤
$(10200+600)\div2=5400$（千瓦时），下半年的月平均用电为 $5400\div6=900$（千瓦时）。

解题步骤
设男教师为 $x$ 名，根据题意有 $27x+32(x+13)=30(2x+13)$，解得 $x=26$，则女教师有 $26+13=39$（名），全校共有 $26+39=65$（名）老师。

解题步骤
方法一：设共有 $x$ 只小羊参加割草，列出方程 $45x=36\times(x+1)$，得 $x=4$，总草量有 $45\times4=180$（千克）。分给 $6$ 只羊，每只羊只能分到 $30$ 千克。
方法二：分给村长慢羊羊一份后，每只小羊少分 $45-36=9$（千克），原有小羊 $36\div9=4$（只），总草量有 $45\times4=180$（千克），分给 $6$ 只羊，每只分得 $180\div6=30$（千克）。

解题步骤
经尝试 $7$ 个月时，两条生产线分别生产汽车
$1000\times7+100\times(1+2+\cdots+6)=9100$（辆）；
$1000\times7+50\times(1+2+\cdots+12)=10900$（辆）。
共生产汽车 $9100+10900=20000$（辆）。

解题步骤
设四年级人数为“$1$ 份”，则全校为 $6$ 份少 $78$ 人，其他年级为 $5$ 份少 $78$ 人，$2222+78$ 就是 $5$ 份，$1$ 份 $=(2222+78)\div(6-1)$
$=460$（人），
总人数 $2222+460=2682$（人）。

解题步骤
海军长度：$(400\div8-1)\times1=49$（米）；陆军长度：$(400\div8-1)\times2=98$（米）；空军长度：$(400\div8-1)\times3=147$（米），队伍总长度为 $49+98+147+5\times2=304$（米），检阅台总长度为 $90\times4-304=56$（米）。

解题步骤
这是一道涉及平均数的实际生活问题，利用方程来解非常简单。
解：设奶糖有 $x$ 千克，则水果糖有 $(x+3)$ 千克、巧克力有 $(x-2)$ 千克，根据题意，
$5.6(x+3)+7.2x+8.8(x-2)=(x+x+3+x-2)\times7$
$0.6x=7.8$
$x=13$
则巧克力有 $13-2=11$（千克）。

解题步骤
从学校到宁宁家。三个人每人分摊 $10$ 元，总计消费 $10\times3=30$（元），从学校到凡凡家，三人总计消费 $30+15\times2+60=120$（元），
所以学校到凡凡家的距离就是到宁宁家的 $4$ 倍，$12\times4=48$（公里）。

解题步骤
设共有 $x$ 个小朋友，那么水果糖的数量是 $(8x+15)$ 块，其他糖的数量也是 $8x+15$ 块。根据剩下的巧克力是剩下的奶糖的 $3$ 倍列出方程：$8x+15-2x=3\times(8x+15-7x)$，解得 $x=10$。

解题步骤
每册书从第 $1$ 页到第 $99$ 页有数码 $9+90\times2=189$（个），两册书共有 $189\times2=378$（个），三位数的数码共有 $2010-378=1632$（个），$1632\div3=544$（页），
两册书共有 $99\times2+544=742$（页），上册书共有 $(742+28)\div2=385$（页）。

解题步骤
如上图所示，记最外层的一圈白石为 $a$ 个，它里面的一圈黑石为 $b$ 个，再里边的一圈白石为 $c$ 个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈（$d$ 个）和里面的正方形（$e$ 个）两部分。
注意到 $a-b=b-c$
$=c-d$
$=8$，所以 $c=d+8$，$b=d+16$，$a=d+24$。因为黑石的总数 $=$ 白石的总数，所以 $b+d+e=a+c$，$d+16+d+e=d+8+d+24$，$e=32-16$
$=4\times4$。
最大的正方形的每一边有 $4+4\times2=12$（个）石子，所以石子的总数为 $12\times12=144$（个）。

解题步骤
原本牵着手的男生和男生、女生和女生共 $60-18=42$（人），
其中男生和女生各占一半 $42\div2=21$（人）。
所以如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了 $21$ 个小组。

解题步骤
方法一：每千克芒果比奶糖贵 $2$ 元，所以辅导员老师带的钱可买 $11$ 千克芒果和 $2$ 千克奶糖，或者买 $1$ 千克芒果和 $14$ 千克奶糖。因此 $10$ 千克芒果和 $12$ 千克奶糖价格相等。又 $10$ 千克芒果比 $10$ 千克奶糖贵 $20$ 元，所以 $2$ 千克奶糖的价格是 $20$ 元，因此每千克奶糖的价格是 $10$ 元，于是辅导员老师带了 $15\times10+2=152$（元）钱。
方法二：买 $13$ 千克芒果差 $4$ 元，把 $15$ 千克奶糖换成 $13$ 千克芒果需要 $2\times15-2=28$（元），根据盈亏公式每千克芒果 $(28-4)\div(15-13)=12$（元），辅导员老师带了 $12\times13-4=152$（元）。
方法三：设奶糖价格是每千克 $x$ 元，则芒果每千克 $(x+2)$ 元，所以 $13(x+2)-4=15x+2$，即 $20=2x$，$x=10$，于是辅导员老师带了 $15\times10+2=152$（元）钱。

解题步骤
将 $10$ 支钢笔换成 $10$ 本笔记本将少花 $20$ 元，
所以每本笔记本价钱为 $(100-5-20)\div(10+15)=3$（元），则钢笔每支 $5$ 元。

解题步骤
老师发给学生的田格本和练习本的总数是横线本的 $2$ 倍，田格本和练习本总数也是横线本的 $2$ 倍，所以剩下的田格本和练习本的总数也是横线本的 $2$ 倍。$24\times2=48$（本）。

解题步骤
由四种书共有 $35$ 本，语文书和英语书共有 $17$ 本可知，数学书和历史书共有 $18$ 本。因为四种书的数量互不相同，有一种书恰好有 $9$ 本，显然数学或历史不能是 $9$ 本。若语文有 $9$ 本，则英语有 $8$ 本，数学也有 $8$ 本，这与每种书的数量互不相同相矛盾。
所以有 $9$ 本的是英语书。

解题步骤
$C$ 的两张牌只能是 $3$、$8$ 或 $4$、$6$。当 $C$ 是 $3$、$8$ 时，$D$ 只能是 $6$、$2$，推知 $A$ 是 $1$、$9$，$B$ 是 $5$、$4$，剩下一张是 $7$；当 $C$ 是 $4$、$6$ 时，$D$ 是 $3$、$1$ 或 $9$、$3$，$A$ 是 $2$、$8$，此时剩下的三张牌是 $5$、$7$、$9$ 或 $1$、$5$、$7$，不能满足 $B$ 的要求，不合题意。

解题步骤
根据题意知道爸爸的体重比丁丁的三倍重，$72\div3=24$，所以丁丁的体重小于 $24$ 千克；加上 $6$ 千克的哑铃后，$(72-6)\div3=22$（千克），丁丁的体重大于 $22$ 千克，又丁丁的体重是整数千克，所以丁丁的体重是 $23$ 千克。

解题步骤
大猴分 $5$ 个，小猴分 $3$ 个，猴王可以留 $10$ 个；而现在大猴分 $4$ 个，每只大猴比原来少分到 $1$ 个，而每只小猴比原来多分了 $1$ 个，最后导致猴王多了 $10$ 个，说明原来大猴比小猴多 $10$ 只。

解题步骤
小甜甜若是第一天吃的糖小于等于两颗，那么她第五天吃的会少于等于 $6$ 颗，那么 $5$ 天一共吃的糖不多于 $6+5+4+3+2=20$（颗），小于 $31$ 颗，不满足。若是第一天吃的糖不少于 $4$ 颗，那么第二天不少于 $5$ 颗，在第三天不少于 $6$ 颗，第四天不少于 $7$ 颗，而在第五次不少于 $4\times3=12$（颗），这样他全部吃了不少于 $4+5+6+7+12=34$（颗）糖，大于 $31$ 颗，不满足。所以第一天吃的糖只能是 $3$ 颗，则在第五天吃 $3\times3=9$（颗），$31=3+5+6+8+9$
$=3+4+7+8+9$，所以她第四天只能吃 $8$ 颗糖。

解题步骤
$2$ 只四脚蛇和 $1$ 只双头龙共有 $4$ 个头和 $12$ 只脚，相当于 $4$ 只三脚猫。按照鸡兔同笼问题的解法有 $(58\times3-160)\div(3-1)=7$（只）。所以共有 $7$ 只独脚兽。

解题步骤
将 $5$ 人说的话列成下表：
从整体看问题：$A$ 共用 $4$ 次，$B$ 共用 $3$ 次，$C$ 共用 $3$ 次，$D$ 共用 $4$ 次，$E$ 共用 $3$ 次。所以，将 $B$、$C$、$E$ 再补上一次，$A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 就各用 $4$ 次。所以五人的年龄和是 $(101+80+115+66+105\times2)\div4=143$。

解题步骤
根据题意可知，所有大箱子 $+15$ 个小箱子的重量 $=$ 所有小箱 $+15$ 个大箱子的重量。如果去掉 $15$ 个大箱子和 $15$ 个小箱子，剩下 $32$ 个箱子，可得到所有大箱子 $-15$ 个大箱子的重量 $=$ 所有小箱子 $-15$ 个小箱子的重量。剩下的箱子中大箱子和小箱子总重量相等，个数比为 $3:5$，有 $32\div(3+5)\times3=12$（个）大箱子，原来有 $12+15=27$（个）大箱子。

解题步骤
每只小蜜蜂找来 $10$ 只蜜蜂，所以每次新叫来的蜜蜂是原来蜜蜂数的 $10$ 倍，即每叫一次，蜜蜂数目变为原来的 $11$ 倍，共叫了 $4$ 次，现在的蜜蜂共有 $1\times11\times11\times11\times11=14641$（只）。

解题步骤
由"前 $25$ 分钟比后 $25$ 分钟少打 $640$ 个字"，可知：多打这 $640$ 个字需要的时间是：$640\div32=20$（分钟），那么就知饭前用了 $30$ 分钟，饭后用了 $20$ 分钟，如果这 $640$ 个字全部用饭前的速度打，则需要 $10$ 分钟，故可知饭前的速度是每分钟 $64$ 个字，饭后的速度是每分钟 $96$ 个字，则文稿一共有：$64\times30+96\times20=3840$（个）字。

解题步骤
有胜有负的局，两人距离缩短 $1$ 米；平局两人距离缩短 $2$ 米。$15$ 局后两人之间的距离缩短 $15\sim30$ 米。
（1）如果两人最后的效果都是后退，两人之间的距离会变大，与上述结论矛盾。
（2）如果两人最后的效果是"一人前进，另一人后退"，如果乙前进，甲后退，两人距离增大，这与（1）矛盾。则一定是甲前进，乙后退，两人距离会缩短 $15$ 米。但如果两人距离缩短 $15$ 米，只能是 $15$ 局都是"胜负局"。假设甲 $15$ 局都是胜者，他会前进 $45$ 米，每把一次"胜者"换成一次"负者"，他会少前进 $5$ 米。$45$ 减去多少个 $5$ 都不可能等于 $17$，这种情况不成立。
（3）如果两人最后的效果是都向前进，两人的距离缩短 $19$ 米。假设 $15$ 局都是"胜负局"，两人之间距离缩短 $15$ 米，每把一局"胜负局"换成平局，两人之间距离多缩短 $1$ 米。由"鸡兔同笼"法求出，"胜负局"有 $11$ 局，平局有 $4$ 局。
$4$ 局平局中甲前进了 $4$ 米。假设甲其余 $11$ 局都是胜者，他一共前进 $33+4=37$（米）。每把一局胜局改为败局，他会后退 $5$ 米，要想前进 $17$ 米，则改 $(37-17)\div5=4$（局）。故甲胜了 $11-4=7$（次）。
验算：甲 $7$ 胜 $4$ 平 $4$ 败，前进 $21+4-8=17$（米）；乙 $4$ 胜 $7$ 败 $4$ 平，前进 $12+4-14=2$（米）。

解题步骤
每 $4$ 个球中有 $1$ 个红球、$1$ 个黄球，那么左数第 $100$ 个红球应在 $(397,398,399,400)$ 中；右数第 $100$ 个黄球应在 $(1613,1614,1615,1616)$ 中，由于两球之间的距离是 $1213$ 厘米，只能是 $400$ 和 $1613$，即第 $400$ 个为红球，第 $1613$ 个为黄球。所以从第一个球起，球的颜色按照"黄，蓝，蓝，红"循环。左数第 $100$ 个蓝球应为 $(197,198,199,200)$ 中的第 $199$ 个，右数第 $100$ 个蓝球应为 $(1813,1814,1815,1816)$ 中的第 $1814$ 个，之间的距离是 $1814-199=1615$（厘米）。

解题步骤
设零售价每本 $y$ 元，学生 $x$ 人。则
$xy=m$；
$(x+12)(y-2)=m$。
$xy+12y-2x-24=m$；
$12y-2x=24$，
$6y=12+x$，
$x$ 是 $6$ 的倍数，$x=6k$，$6k+12>50$，$k>6$；
$y=2+k$，$6k(2+k)<400$。
经检验，$k=7$。
所以 $x=42,y=9$。

解题步骤
大羊的数目为奇数，小羊价钱小于 $10$ 文。两人分羊，每次共分 $2$ 只大羊，最后一次分 $1$ 只大羊和 $1$ 只小羊，所以卖得的总钱数目应该是除以 $20$ 余数大于 $10$ 的。
设一共有牛 $10a+b$，其中 $a\geqslant0,0<b<10$，则 $(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$，所以 $b^2$ 是除以 $20$ 余数大于 $10$ 的。
检验 $b=1,2,3,4,\cdots,9$，只有 $b=4$ 或者 $6$ 是满足情况。两种情况下小羊的价格都是 $6$ 文，所以第一个人应该给第二个人 $2$ 文。

解题步骤
显然分数从高到低依次为数学、自然、英语、语文，设其分数依次为 $a$、$b$、$c$、$d$。
则 $a+b+c+d=5(c+d)$
$=4(b+d)$
$=3(b+c)$，所以 $a+b+c+d$ 是 $3,4,5$ 的公倍数，也就是 $60$ 的倍数，设 $a+b+c+d=60x$。
则 $a+b=48x,b+c=20x$，所以 $a-c=28x$。 （①）
又因为 $a+c=45x$。 （②）
根据①和②，$a=36.5x$。因为 $a>0$，且不超过 $100$ 的整数，所以 $x=2$，$a=73$，$a+b+c+d=60x$
$=120$。

解题步骤
$600+200=800$（米）。

解题步骤
一刻钟汽车走的路程为 $25-15=10$（千米），那么半小时汽车走的路程应为 $10\times 2=20$（千米），此时距离 $A$ 站 $25+20=45$（千米）。

解题步骤
市区道路的路程为 $45\div 60\times 40=30$（千米），说明在高速公路上行驶的路程是 $59-30=29$（千米），时间是 $60\div 40=20$（分钟），那么时速为 $29\div 20\times 60=87$（千米/小时）。

解题步骤
乌龟爬完全程用时 $1800\div 15=120$（分）。兔子跑了 $(1800-200)\div 400=4$（分）。兔子睡了 $120-4=116$（分）。

解题步骤
电子猫在跑道上的平均速度是 $(5+3)\div 2=4$（米/秒），所以的总时间是 $240\div 4=60$（秒）。前 $120$ 米肯定是以 $5$ 米/秒的速度去跑，用时 $120\div 5=24$（秒），$60-24=36$（秒）。

解题步骤
$15\times 16=215$（米），$15$ 辆车有 $14$ 个间隔，$215-10\times(15-1)=75$（米），每辆车长 $75\div 15=5$（米）。

解题步骤
车队总长为 $115\times 4-298=162$（米），每辆车长 $6$ 米，间隔 $20$ 米，所以共有 $(162+20)\div(6+20)=7$（辆）。

解题步骤
火车的速度是 $360\div 3=120$（米/分），大桥长 $120\times 6-360=360$（米）。

解题步骤
设 $A$ 到 $B$ 的路程为 $12$ 千米，那么以往返用的总时间为 $12\div 6+12\div 12=3$（小时），以平均每小时行 $12\times 2\div 3=8$（米）。

解题步骤
这条船在汉江的顺行速度为 $56\div 2=28$（千米/小时），静水中的船速为 $28-3=25$（千米/小时），那么在长江的逆行速度是 $25-4=21$（千米/小时），需要 $147\div 21=7$（小时）。

解题步骤
甲：顺流时间为 $(35-5)\div 2=15$（小时）
逆流时间为 $(35+5)\div 2=20$（小时）
顺流速度为 $600\div 15=40$（千米/时）
逆流速度为 $600\div 20=30$（千米/时）
水速为 $(40-30)\div 2=5$（千米/时）
乙：顺流速度为 $15+5=20$（千米/时）
逆流速度为 $15-5=10$（千米/时）
时间 $=600\div 20+600\div 10$
$=90$（小时）

解题步骤
上山用了 $60\times 3+50=230$（分），由于 $230\div(30+10)=5\cdots\cdots 30$，所以上山途中体息了 $5$ 次，因此走了 $230-10\times 5=180$（分），因为下山的速度是上山速度的 $1.5$ 倍，所以下山走了 $180\div 1.5=120$（分），由于 $120\div 30=4$，所以，下山途中休息了 $3$ 次，因此下山共用了 $120+5\times 3=135$（分）$=2.25$（小时）。

解题步骤
如果甲在后面追乙，两车交会时间为 $(280+200)\div(5-3)=240$（秒），如果两车从两地分别出发，相向而行，交会的时间为 $(280+200)\div(5+3)=60$（秒）。

解题步骤
跑步 $800$ 米用时 $+$ 散步 $200$ 米用时 $=$ 跑步 $400$ 米用时 $+$ 散步 $450$ 米用时，可以得到跑步 $400$ 米用时 $=$ 散步 $250$ 米用时，那么第一天跑步 $800$ 米、散步 $200$ 米的用时等于散步 $800\div 400\times 250+200=700$（米）的用时，是 $14$ 分钟，所以李伯伯散步的速度是每分钟 $700\div 14=50$（米）。李伯伯跑步 $400$ 米用时和散步 $250$ 米用时相同，为 $250\div 50=5$（分钟）。

解题步骤
李明两个速度跑的路程一样，显然以 $10$ 千米/时的速度用的时间多，也就是以慢的速度跑的时间多，而王亮两种速度用的是一样的时间，显然王亮将获胜。

解题步骤
$\begin{cases}\text{车长}+250=18v\\\text{车长}+400$
$=12\times 2v\end{cases}$，可解得 $v=(400-250)\div(12\times 2-18)$
$=25$（米/秒）。
那么车长是 $18\times 25-250=200$（米）。

解题步骤
由已知可知，哥哥和妹妹所用时间相同，设自动扶梯在这段时间内移动了 $x$ 级，那么可以得到如下式子：$80-x=40+x$。解得：$x=20$。所以自动扶梯静止时可以看到 $80-20=60$（级）。

解题步骤
$(13+13)\div(4.5+5.5)=2.6$（小时）。

解题步骤
从出发到相遇，自行车行了 $(298-1\times18)\div(52+18)+1=5$（小时），所以摩托车行了 $52\times(5-1)=208$（千米）。

解题步骤
客车走到 $B$ 站需要 $560\div80=7$（小时），$7+1=8$（小时），客车从 $B$ 站返回时货车已经走了 $40\times8=320$（千米），两车相距 $560-320=240$（千米），再过 $240\div(80+40)=2$（小时）相遇，相遇地点距离 $A$ 站 $400$ 千米。

解题步骤
两人的速度和：$60\div6=10$（千米/小时），相遇时间为 $60\div12=5$（小时），设甲的速度为 $x$，那么乙可以列以下两种情况：
$(1)6x=5(x+1)+1$，解得 $x=6$，此时乙的速度为 $10-6=4$（千米/小时）。
$(2)6x=5(x+1)-1$，解得 $x=4$，此时乙的速度为 $10-4=6$（千米/小时）。

解题步骤
小明从 $A$ 地到 $B$ 地需要 $2000\div50=40$（分钟），在这期间，花花共行了 $40\times200=8000$（米），也就是说，它在 $A$、$B$ 两地间（“从 $A$ 到 $B$”或“从 $B$ 到 $A$”）共走了 $8000\div2000=4$（次），每次花花都会和小明遇见一次，但注意到花花和小明同时从 $A$ 地出发去 $B$ 地，所以这次小明到 $B$ 地恰好和小明相遇，花花和小明共遇到 $3$ 次。

解题步骤
环形跑道上 $n$ 次相遇，两人所走路程和是 $n$ 个全程。$20$ 分钟后，两人共走了 $(90+60)\times20=3000$（米），是 $3000\div600=5$ 个全程，所以两人相遇了 $5$ 次。

解题步骤
方法一：$s=v_和\times t$。由题意，第二次的速度和比第一次少了 $1+0.5=1.5$（千米/时），则可由 $A$、$B$ 两地距离不变为等量关系列出方程：$3v_和=4(v_和-1.5)$，解得 $v_和=6$，那么 $A$、$B$ 两地相距 $6\times3=18$（千米）。
方法二：第二次 $3$ 小时比第一次 $3$ 小时少走 $1.5\times3=4.5$（千米），而第二次比第一次多用 $1$ 个小时，可知第二次的速度和为 $4.5$ 千米/时，$A$、$B$ 两地之间的距离为 $4.5\times4=18$（千米）。

解题步骤
相遇时，两人共走了 $2$ 个全程，小张走了 $1$ 个小时，小王走了 $2$ 个小时，$(60\times1+4\times2)\div2=34$（千米）。

解题步骤
将 $A$、$B$ 间等分为 $5$ 份，甲走 $3$ 份乙走 $2$ 份，甲、乙相遇情况如下图所示：
（第一次相遇点距 $A$ 端 $3$ 份，第二次相遇点距 $A$ 端两人合走 $3$ 个全程，距 $A$ 端 $9$ 份，即距 $A$ 端 $9-2\times5=-1$ 即距 $B$ 端 $1$ 份处）
$A$、$B$ 两地相距为 $300\div2\times5=750$（米）。

解题步骤
从开始到第二次相遇两人共走了 $3$ 个全程，第一次相遇甲走了 $150$ 千米，则第二次相遇甲走了 $150\times3=450$（千米），作图分析后不难发现，$A$、$B$ 两地间的距离为 $(150\times3+70)\div2=260$（千米）。

解题步骤
相同的时间内欢欢走 $8$ 份，乐乐走 $5$ 份。第一次迎面相遇时两人合走了 $2$ 个全程，第二次相遇时两人合走了 $4$ 个全程。设 $A$、$B$ 之间距离为 $13$ 份，则第一次相遇欢欢跑 $16$ 份、乐乐跑 $10$ 份，第二次相遇欢欢共跑 $8\times4=32$（份），乐乐跑 $20$ 份，即离 $A$、$B$ 中点 $20-13-6.5=0.5$（份），$0.5$ 份为 $5$ 米，$1$ 份为 $10$ 米，则全程为 $130$ 米。

解题步骤
设 $AC$ 两地相距 $x$ 米，则 $AB$ 两地相距 $2x$ 米，则：
第一次相遇时华华走了 $(x+100)$ 米，英英走了 $(x-100)$ 米；
第二次相遇时华华走了 $(3x+300)$ 米，英英走了 $(x+300)$ 米。
$3(x-100)=x+300$，解得 $2x=600$。

解题步骤
$3.6$ 千米 $=3600$ 米，$3600\div(450+350)=4.5$（分钟），$1-2+3-4+5-6+7-8+9-\cdots=5$（分钟），说明在相向跑到 $9$ 分钟的过程中遇上了，$1-2+3-4+5-6+7-8+8.5=4.5$（分钟），所以从发到相遇所需总时间是 $1+2+3+4+5+6+7+8+8.5=44.5$（分钟）。

解题步骤
令相遇地点为 $A$ 点。因小八到家时比平常到家时间提早 $10$ 分钟，可知主人走的距离让小八走仅需 $5$ 分钟，即小八于 $4$ 时 $55$ 分到达 $A$ 点，此时主人走了 $55$ 分钟。同样的距离主人所花时间是小八的 $55\div5=11$（倍），故小八的速度为主人步行速度的 $11$ 倍。

解题步骤
蜗牛到达 $A$ 点的时间为：$6$，$13$，$21$，$30$，$40$，$51$，$63$，$76$，$90$，$105$，$\cdots$，而蚯蚓到达 $A$ 点的时间为 $5$，$14$，$27$，$44$，$65$，$90$，$119$，$\cdots$，即第 $90$ 分钟，它们在 $A$ 点相遇。

解题步骤
甲、乙两人相遇后如果甲继续行走 $480\div20=24$（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么乙也应该 $24$ 分钟后到达山脚，所以这个时候乙还需要 $30+24=54$（分钟）到达山脚，也就是距离山脚还有 $54\times30=1620$（米），所以山顶到山脚的距离为 $480+1620=2100$（米）。

解题步骤
如上图所示，第一次相遇过程小张从 $A$ 到 $E$ 用时 $12$ 分钟，第二次从 $C$ 到 $F$ 也是 $12$ 分钟，从 $F$ 到 $E$ 过了 $6$ 分钟，于是可以知道小张走完全程需要 $6+12+12=30$（分钟），而且 $EB$ 是 $AE$ 的 $1.5$ 倍，可知小王的速度是小张的 $1.5$ 倍，那么小王走完全程应该是 $30\div1.5=20$（分钟），小张到达丙村时候已经走了 $18$ 分钟，小王再过 $20-18=2$（分钟）就会到达乙镇。

解题步骤
依题意可知，两人 $40$ 分钟共走了 $20$ 千米，所以两人速度和为 $20\div40\times60=30$（千米/小时），甲、乙两地距离为 $30\times(10-8)-10=50$（千米），到 $11$ 点时两人共走了 $30\times(11-8)=90$（千米），则小强距甲地 $50\times2-90=10$（千米）。

解题步骤
欢欢走得慢，迎迎走得快，欢欢走完三角形的一边用时：$120\div3=40$（秒）。迎迎走完三角形的一边用时：$120\div5=24$（秒）。两人首次相遇，一定是在 $AB$ 这条边上。
两人同时从 $A$ 点出发，$80$ 秒后，欢欢刚好走完三角形的两边到达 $B$ 点，而迎迎走一圈只要 $24\times3=72$（秒），因此，$80$ 秒时迎迎走完了一圈并且第二次从 $A$ 点出发又朝 $B$ 走了 $80-72=8$（秒），这 $8$ 秒内他走了 $8\times5=40$（米）。因此，$80$ 秒后，两人都在 $AB$ 这条路上，相距 $120-40=80$（米），做相遇运动。
此时两人还需 $80\div(5+3)=10$（秒）相遇，所以 $80+10=90$（秒）后两人首次相遇。

解题步骤
第二次追上时，两人的路程差是 $2$ 个全程，即 $160$ 米，所以追及时间是 $160\div(5-1)=40$（秒）。

解题步骤
设数也，假设 $A$、$B$ 两地之间的距离是 $30$ 千米，那么甲的速度是 $30\div10=3$（千米/小时），乙的速度是 $30\div15=2$（千米/小时）。甲车提前出发，甲车出发后乙车两者的距离是 $3\times2=6$（千米），追及时间为 $6\div(3-2)=6$（小时）。

解题步骤
从车头对齐开始算，快车超过慢车的时间刚好比慢车多一个慢车车身长，$(31-22)\times23=207$（米），从两车尾对齐开始算，那么快车超过慢车的时间刚好比慢车多一个快车的车身长，$(31-22)\times26=234$（米）。

解题步骤
设狗、狐狸跳 $2$ 次的时间为单位时间，那么单位时间内狗可以跳 $15\times4=60$（分米），狐狸可以跳 $10\times2=20$（分米）。狗追上狐狸需花的时间，$300\div(60-20)=7.5$ 单位时间，$7.5\times60=450$（分米）。

解题步骤
$90\times1000\div3600=25$（米/秒），$108\times1000\div3600=30$（米/秒），$(30-25)\times5=25$（米）。

解题步骤
甲每小时行 $4$ 千米，乙每小时行 $3$ 千米，则甲每小时比乙多行走 $1$ 千米，甲追乙 $3$ 小时后，则甲追近 $3$ 千米，甲现在距乙 $9-3=6$（千米）。甲现在每小时行 $5$ 千米，每小时比乙多走 $5-3=2$（千米），则甲 $6\div2=3$（小时）即可追上乙。

解题步骤
第二次比第一次多追上甲，甲和乙的速度差为 $12\div6=2$（米/秒），第一次甲花 $5$ 秒钟追乙，说明甲和乙的距离是 $2\times5=10$（米），乙先跑 $2$ 秒跑了 $10$ 米，乙的速度是 $10\div2=5$（米/秒），那么甲的速度是 $5+2=7$（米/秒）。

解题步骤
有两种情况，两辆车方向是从 $A$ 到 $B$ 或从 $B$ 到 $A$ 的，时速是 $50$ 千米的车要追上另一辆超过 $30$ 千米，需要 $(15+30)\div(50-40)=4.5$（小时）；后一种情况只要两车拉开 $15$ 千米距离就可以了，需要 $(30-15)\div(50-40)=1.5$（小时）。

解题步骤
速度差为 $400\div10=40$（米/分），所以小刚的速度为 $140-40=100$（米/分），第三次追上小刚时，小刚一共跑了 $10\times3=30$（分钟），共跑了 $100\times30=3000$（米）。

解题步骤
火车与火车的追及问题，速度差是每秒 $13-8=5$（米）。关键要找出追及路程。最后要求甲、乙两车车头平行，找到甲车的车头 $A$ 点和乙车的车头 $B$ 点，两点在初始时刻的距离是隧道长和乙车车长之和，是 $200+150=350$（米），即所求追及路程。那么追及时间就是 $350\div5=70$（秒）。

解题步骤
由题意分别推断出，$14$ 点时小王落后小张 $15$ 千米，$15$ 点时小王领先小张 $15$ 千米，$1$ 小时内小王比小张多开了 $30$ 千米，即两人的速度差为 $30$ 千米/小时，$16$ 点时，小王到达乙地，此时小张落后小王 $15+30=45$（千米），也就是最距离乙地 $45$ 千米，由于小张 $19$ 点到达乙地，每开 $7-4=3$ 小时小张才走完这 $45$ 千米，可得小张的速度为 $45\div3=15$（千米/小时），则小王走完全程需要 $135\div15=9$（小时），小张出发时间即为 $19-9=10$（点）。

解题步骤
以 $5$ 分钟为 $1$ 个周期，在这段时间内同向，亮亮做了 $400\times5=2000$（米），$46$ 路车行驶了 $600\times4=2400$（米），两者的距离减少了 $400$ 米。那么两个周期后，两者的距离是 $1400-400\times2=600$（米），$600\div(600-400)=3$（分钟），所以，在第三个周期内，汽车追上了亮亮，共用时 $5\times2+3=13$（分钟）。

解题步骤
显然乌龟最好的办法是选择在水中沿直线段游泳。
池塘的周长为 $(600+1000)\times2=3200$（米），$AE=600\div2$
$=300$（米）。
如果终点在 $A$ 点，则兔子需要跑 $3200-300=2900$（米），乌龟需要游 $300$ 米，由于 $2900>300\times5$，所以乌龟取胜，同理如果终点在 $AE$ 之间任意一点乌龟都获胜。
如果终点在 $AD$ 上距 $A$ 是 $x$ 米处，则兔子要游 $2900-x$ 米之间的距离，乌龟要游的距离等于以 $300$ 和 $x$ 为两条直角边的三角形的斜边，由勾股定理可知，$x=400$ 时，前者恰好是后者的 $5$ 倍。因此，要想使乌龟获胜，$x<400$。
综上所述，终点设在 $AE$ 上或 $AD$ 上距 $A$ 小于 $400$ 米的位置上即可（包括 $A$ 点，不包括 $E$ 点）。

解题步骤
重叠部分的面积为 $6\times 6\times\frac{2}{3}=24$（平方厘米），所以三角形的面积为 $24\times 2=48$（平方厘米）。

解题步骤
正方形的面积$=$对角线$\times$对角线$\div 2$，此正方形的面积为 $13\times 13\div 2=84.5$（平方厘米）。

解题步骤
面积是 $6\times 8\div 2+7\times 9=87$（平方米）。

解题步骤
由题意，两个正方形的边长和是 14 厘米，差是 2 厘米，所以大正方形边长为 8 厘米，小正方形边长为 6 厘米，则以面积和是 $8\times 8+6\times 6=100$（平方厘米）。

解题步骤
长方形 $ABCD$ 与三角形 $BCE$ 的面积差就是三角形 $ABF$ 与三角形 $DEF$ 的面积差。所以长方形 $ABCD$ 的面积是 $10\times 6\div 2+5=35$（平方厘米）。

解题步骤
正方形 $ABCD$ 与长方形 $BEFG$ 的面积差就是长方形 $AGHD$ 与长方形 $CEFH$ 的面积差。长方形 $CEFH$ 的面积$=CH\times 2$，长方形 $AGHD$ 的面积$=AD\times 2$，则长方形 $AGHD$ 与长方形 $CEFH$ 的面积差就是一个边长为 2 的正方形的面积，所以正方形 $ABCD$ 的面积比长方形 $BEFG$ 的面积大 4 平方厘米。

解题步骤
利用差不变，$S_{甲}-S_{乙}=8\times 6\div 2-8\times 4\div 2$
$=8$（平方厘米）。

解题步骤
由图可知最上面一个正方形为完整图形外，其余的 2005 个正方形均叠着一小部分面积，且被重叠的面积为 $4\times 4=16$（平方米），则每增加一个正方形纸片，增加的面积为 $8\times 8-16=48$（平方厘米）。因此，2006 个纸片的总面积为 $64+48\times 2005=96304$（平方厘米）。

解题步骤
设 $CE=a$ 厘米，那么正方形边长等于 $3a$ 厘米，$8=C_{梯形ABED}-C_{三角形BCE}$
$=AB+BE+ED+DA-BE-CE-BC$
$=3a+3a+2a-a-a-3a$
$=4a$，所以 $a=2$，所以正方形边长为 6 厘米，面积为 36 平方厘米。

解题步骤
$S_{阴影}=18\times 30-(30-8\times 2)\times(18-5\times 2)$
$=428$（平方厘米）。

解题步骤
$S_{阴影}=4\times 4-1\times 4\div 2\times 2-3\times 3$
$=3$（平方厘米）。

解题步骤
方法一：三角形 $ADE$ 的高为 $30\times 2\div 8=7.5$（厘米），那么梯形面积为 $(8+16)\times 7.5\div 2=90$（平方厘米）。
方法二：由于 $BC=2AD$，$\triangle AEB$ 与 $\triangle ECD$ 的面积和是 $\triangle AED$ 面积的 2 倍，所以梯形面积是 $30\times(1+2)=90$（平方厘米）。

解题步骤
等腰直角三角形底边上的高是底边的一半，原三角形面积为 $10\times 5\div 2=25$ 平方厘米；或者所求的阴影部分的面积为原三角形上下两个等腰直角三角形的差的一半，则阴影部分面积为 $(25-5\times 2.5\div 2)\div 2=9.375$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，图中阴影部分为草坪，图中四角的小正方形的总面积为 $2\times2\times4=16$（平方米）。每 1 个剩下的小长方形阴影部分的面积为 $96-16=80$（平方米），每个分为 4 块，即 $80\div4=20$（平方米），又因小长方形的宽为 2，则小长方形阴影的长为 $20\div2=10$（米），即原正方形花坛的边长为 10，则花坛的面积为 $10\times10=100$（平方米），所以花坛和草坪的面积总和是 $100+96=196$（平方米）。故选 C。

解题步骤
如下图所示，阴影部分面积等于三角形 $OAB$ 的面积，正十二边形可被分成 12 个形如三角形 $OAB$ 的部分，所以三角形 $OAB$ 的面积 $=60\div12$
$=5$（平方米），即阴影部分面积为 5（平方米）。

解题步骤
$\mathrm{I}$ 的面积为：$6-(2\times1\div2+1\times1\div2+3\times1\div2)=3$，$\mathrm{II}$ 的面积为 $3\times2\div2=3$。所以两块阴影部分面积相等。

解题步骤
用图中最小的等腰直角三角形来分割图形，则共可分割成 16 个，尾巴占了两个小等腰直角三角形，所以“小猫”的面积为 $8\div2\times16=64$（平方厘米）。

解题步骤
如右图所示，一个正六边形可以分成面积相等的六个三角形，所以每个三角形面积为 $6\div6=1$（平方厘米），空白部分包括 6 个这样的三角形，所以阴影部分面积为 $18-6=12$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，连接 $BF$、$CF$，三角形 $ABF$ 的面积与平行四边形 $ABOF$ 面积的一半（此处指利用平行关系），六边形 $ABCDEF$ 的面积是平行四边形 $ABOF$ 的 3 倍，故六边形 $ABCDEF$ 的面积是三角形 $ABF$ 的面积的 6 倍。三角形 $BCP$ 的面积与平行四边形 $BFEC$（相应部分）的关系：六边形 $ABCDEF$ 的面积是平行四边形 $BFEC$ 的 1.5 倍；故六边形 $ABCDEF$ 的面积是三角形 $BCP$ 的面积与三角形 $EFP$ 的面积和的 3 倍。由 $\triangle PBC$、$\triangle PEF$ 的面积分别为 3 与 4，可知正六边形 $ABCDEF$ 的面积为 $(3+4)\times3=21$（平方米）。

解题步骤
将六边形分割为三角形格点，如上图所示，六边形被分成 24 个面积为 1 平方厘米的正三角形，阴影面积为 $1\times18=18$（平方厘米）。

解题步骤
将六边形分割为三角形格点，如上图所示，六边形被分割成 24 个面积为 1 平方米的正三角形。根据皮克公式，内部点 $n=2$，边上点 $b=3$，则阴影的面积为 $(2+3\div2-1)\times2=5$（平方米）。

解题步骤
正六边形的面积是 $a$ 的 2 倍；正六边形的面积是 $b$ 的 2 倍；正六边形的面积是 $c$ 的 1.5 倍；正六边形的面积是 $d$ 的 2 倍；正六边形的面积是 $e$ 的 1.5 倍。所以由大到小为 $c=e>a$
$=b$
$=d$。

解题步骤
将这 3 个正方形分成 10 个小正方形，可知这个图形的周长为小正方形边长 $\times16$，故小正方形边长为 $48\div16=3$（厘米），所以这个图形覆盖的面积为 $3\times3\times10=90$（平方厘米）。

解题步骤
阴影部分是 4 个正方形，每个正方形面积是 $2\times2\div2=2$（平方厘米），所以阴影部分面积是 8 平方厘米。

解题步骤
因为 $M$、$N$ 为中点，故我们可以利用图中所画虚线辅助图形，分割图形如上图，图中的三角形面积相等，阴影部分为 7 个三角形，且其面积为 14 平方厘米，故一个三角形面积为 $14\div7=2$（平方厘米），故三角形 $BEF$ 的面积是 $2\times9=18$（平方厘米）。

解题步骤
如图所示，根据题意作图如下，分割成图上图，可以 $MNPQ$ 占正方形 $ABCD$ 占十六个，$ABCD$ 面积是 $MNPQ$ 面积的 4 倍，所以 $MNPQ$ 面积为 $2012\div4=503$（平方厘米）。

解题步骤
$\triangle ABC$ 可以分成三个等腰三角形，那么这个正六边形的面积为 $\triangle ABC$ 的两倍，即 24 平方厘米。正六边形又可以分成 6 个和阴影一样的等边三角形，那么这六个小三角形的面积之和也为 24 平方厘米。

解题步骤
方法一：总面积为 $1\times1\times8=8$（平方厘米），所以需要去掉 $8-3.5=4.5$（平方厘米），如上图所示，图中三角形 $ABC$ 的面积就是 3.5 平方厘米。
方法二：根据格点图形面积的计算公式，三角形的面积是 3.5 平方厘米，则三角形的底边和内部应该各有三个格点，同样能作出如图所示图形。

解题步骤
长为 16、宽为 $x$ 的长方形面积等于上面 $16\times2$ 的长方形面积的 3 倍，所以 $x=6$ 厘米。

解题步骤
如下图所示，由图②的面积与图③的面积相等，记⑥的边长为 $a$，则⑤的边长为 $a-1$，④的边长为 $a-2$，③与②的边长均为 $a-3$，所以⑥的边长比图②的边长多 3 厘米，因此图③的边长为 $3+1=4$（厘米），④的边长为 $4+1=5$（厘米），图⑤的边长为 $5+1=6$（厘米），图⑥的边长为 $6+1=7$（厘米）。所以长方形的长和宽分别为 $6+7=13$（厘米），$5+6=11$（厘米），所以长方形的面积为 $13\times11=143$（平方厘米）。

解题步骤
长方形十字交叉相乘原理。如上图所示，设分成的四个小长方形的边长为 $a$、$b$、$c$、$d$，左上角的长方形面积是 $ac$，右上角的长方形面积是 $ad$，左下角的长方形面积是 $bc$，右下角的长方形面积是 $bd$，所以不相邻的两个长方形面积的乘积相等，均为 $abcd$。则有 $28\times6=12\times$ 阴影部分面积，故阴影部分面积是 $28\times6\div12=14$。

解题步骤
根据十字交叉相乘原理，三个空白部分面积分别是 $35\times21\div15=49$，$30\times21\div15=42$，$30\times28\div42=20$，总面积 $=35+15+30+20+49+21+42+28$
$=240$（平方分米）。

解题步骤
阴影部分即小路的面积等于路宽乘以路长，路宽为 2，路长为长方形的长加宽再减去路宽，可按上图将小路等积变形，其面积为 $2\times24+2\times16-2\times2=76$（平方米）。

解题步骤
观察图形，可以得到长方形的长宽关系满足：$\begin{cases}2\,\text{长}+4\,\text{宽}=42\,\text{米}\\2\,\text{长}+1\,\text{宽}=24\,\text{米}\end{cases}$，解得 $\begin{cases}\text{长}=9\,\text{米}\\\text{宽}=6\,\text{米}\end{cases}$。所以空白部分的面积为 $24\times42-8\times9\times6=576$（平方米）。

解题步骤
如下图所示，它是非常典型的两个正方形模型的分析方法。两个正方形之间的环形部分可以分成 4 个完全相同的长方形，不妨设它们的宽是 $a$ 厘米，长是 $b$ 厘米，那么大正方形的边长是 $(a+b)$ 厘米，小正方形的边长是 $(b-a)$ 厘米。由题意有 $\begin{cases}(a+b)+(a-b)=25\\4ab$
$=125\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a=12.5\\b$
$=2.5\end{cases}$，所以大正方形的面积是 $(12.5+2.5)\times(12.5+2.5)=225$（平方厘米）。

解题步骤
如下图所示，连接 $DE$，根据等积变形，设 $S_{\triangle BEO}=1$ 份，那么 $S_{\triangle ABO}=S_{\triangle DEO}$
$=2$ 份，$S_{\triangle ADO}=4$ 份，所以 $S_{\triangle DCE}=S_{\triangle DBE}$
$=3$ 份，正方形 $ABCD$ 共为 $1+2+2+4+3=12$（份），四边形 $OECD$ 的面积为 $6\times6\div12\times(2+3)=15$（平方米）。

解题步骤
如下图所示，连接 $BF$，因为三角形 $ADB$ 的面积等于三角形 $BDF$ 的面积，同时减去三角形 $BDG$ 的面积，可得三角形 $ADG$ 的面积与三角形 $BGF$ 的面积相等，三角形 $CEH$ 的面积与三角形 $BHF$ 的面积相等，所以长方形 $ADEC$ 的面积为三角形 $ABC$ 面积的 2 倍，为 4008 平方厘米。也可以利用一半模型得出结论。

解题步骤
如下图所示，连接 $BF$，$BF$ 和 $AC$ 平行，阴影部分面积等于三角形 $ABC$ 的面积，而三角形 $ABC$ 的面积是小正方形面积的一半，所以小正方形的面积是阴影部分面积的 2 倍，为 20 平方米。

解题步骤
如下图所示，连接 $AD$，则三角形 $BCE$ 的面积等于三角形 $ACD$ 的面积，所以 $CD=60\times2\div24$
$=5$（厘米），$CB=15-5$
$=10$（厘米），又因为三角形 $DCE$ 和三角形 $BCE$ 同高，且 $CB$ 是 $CD$ 的 2 倍，所以三角形 $BCE$ 的面积是三角形 $DCE$ 面积的 2 倍，所以三角形 $DCE$ 的面积是 $60\div2=30$（平方厘米）。

解题步骤
见上图，取 $AB$ 中点 $G$，连接 $GE$，因为 $E$ 是 $CD$ 中点，所以 $GE$ 将梯形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分，又因为 $BF$ 将梯形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分，所以三角形 $BOG$ 和三角形 $EOF$ 的面积相等，所以 $EF=BG$
$=5$ 厘米，由勾股定理，$BF^{2}=12^{2}+5^{2}$
$=169$，所以 $BF=13$ 厘米。

解题步骤
如下图所示，连接 $OB$，由 $AM=2MB$，$CN=2NB$，有：$S_{\triangle AMO}=2S_{\triangle BMO}$，且 $S_{\triangle CNO}=2S_{\triangle BNO}$。又 $S_{\triangle ABN}=S_{\triangle CBM}$
$=18\times6\div2$
$=54$（平方厘米），所以 $S_{\triangle AMO}=S_{\triangle CNO}$
$=2S_{\triangle BMO}$
$=2S_{\triangle BNO}$
$=54\div4\times2$
$=27$（平方厘米）。那么 $S_{AOCD}=18\times18-54-27$
$=243$（平方厘米）。

解题步骤
甲的面积是 16 平方厘米，乙的面积是 36 平方厘米，丙的面积是 64 平方厘米，甲和乙的重合部分，是从甲的中心做一个 $90^{\circ}$ 的角，甲乙重叠的面积是甲的面积的 $\dfrac{1}{4}$；同样的，乙和丙的重合部分的面积是乙的面积的 $\dfrac{1}{4}$。实际上，我们可以旋转甲和乙，如下图所示：那么覆盖的面积是 $16+36+64-4-9=103$（平方厘米）。

解题步骤
图中黄花面积 $+$ 红花面积 $=$ 长方形面积的一半，而且黄花面积 $=$ 红花面积，所以，红花面积 $=18\times12\div2\div2$
$=54$（平方米）。

解题步骤
要使三角形 $ABC$ 的面积尽可能大，因为 $AB$ 长度固定，那么就是要求 $AB$ 边上的高尽可能大，显然当另外一个点在 $C$ 或 $D$ 时这个高是最大的。对于 $C$：$S_{\triangle ABC}=S_{EFGC}-S_{\triangle AEC}-S_{\triangle ABF}-S_{\triangle GBC}$
$=3\times4-3\times2\div2-2\times1\div2-2\times4\div2$
$=4$（平方米）。对于 $D$：同理有 $S_{\triangle ABD}=3\times3-3\times2\div2-3\times1\div2-2\times1\div2$
$=3.5$（平方米），所以所求 $C$ 点如下图所示，且这个最大面积是 4 平方米。

解题步骤
首先肯定有 $a+b+c=d$。要使图形的面积最大，那么 $d\times h$ 要最大，那么是 $7\times8$；阴影部分的面积要最小，即 $a\times(g-f)+b\times g$ 最小，那么 $g-f=1$，$a$ 和 $b$ 取 2 和 1。最后组成如下右图所示的图形，面积是 $7\times8-[2\times(4-3)+1\times4]=50$。

解题步骤
首先向左移动正方形 $B$，使它有两边与大正方形的边重合，如下图 1 所示。此时正方形 $B$ 与正方形 $D$ 露出部分的面积相等，均为 $(96+84)\div2=90$（平方厘米）。所以图 1 中正方形 $C$ 露出的面积为 $90\times90\div144=56.25$（平方厘米）。再计算图 2 中正方形 $B$ 中 $E$ 这部分。$H$ 部分的面积是 $90-84=6$（平方厘米），$E$、$F$ 两部分的面积和是 90，故 $G$、$H$ 两部分的面积和是 $144-90=54$（平方厘米）。$E$ 部分的面积是 $90\div(54\div6)=10$（平方厘米）。故 $C$ 露出部分的面积为 $56.25-10=46.25$（平方厘米）。

解题步骤
方法一：四张纸片的面积分别是 4 平方米、9 平方米、16 平方米、25 平方米，每张纸片与其他纸片重叠的面积分别为 $4-2=2$（平方米），$9-3=6$（平方米），$16-4=12$（平方米），$25-5=20$（平方米）。若能留下整张纸片一起的部分，重叠部分的面积为 20 平方米，所以这四张纸片覆盖的面积是 $4+9+16+25-20=34$（平方米）。
方法二：四张纸片的边长分别是 2 米、3 米、4 米、5 米的正方形，那么取走一张时减少的面积就是其露出的部分，$2\times2=2$，$3\times3=3$，$4\times4=4$，$5\times5=5$，剩下的部分即重叠部分。覆盖的面积为 $25-5=20$，所以以最大的正方形 $5\times5$ 为底，所以覆盖部分的面积就是 20 平方米，那么四张纸片覆盖的面积就是 $25+2+3+4=34$（平方米）。

解题步骤
观察个位的和可以知道 $A+B=10$，个位向十位进了 $1$，所以可以知道 $C+1=B$，根据首位可以知道 $C=1$，那么 $B=2$，$A=8$。经代入验证符合条件。

解题步骤
如右图所示，和的千位 $\triangle=1$。
个位 $\bigcirc+\bigcirc=8$ 或 $\bigcirc+\bigcirc=18$。
当 $\bigcirc=4$ 时，百位 $4+1$ 不可能进位。
所以 $\bigcirc=9$，$\square=0$。
$\triangle+\bigcirc+\square=1+9+0$
$=10$。

解题步骤
一个三位数和一个两位数的和要求最大，要把大的数字放在高位，和最大是 $986+75=1061$（其中两个加数的十位之间、个位之间数字之间有重复，不满足条件）。同理，$1060$ 不能满足条件。经尝试，$1056$ 满足条件（其中两个加数的十位之间、个位之间的数字都是可以互换的）。
所以“我要参加”最大是 $1056$。

解题步骤
$5\times$“谜”的个位是谜，说明“谜”只能代表 $0$ 或 $5$；$4\times$“字”，只有当“谜”$=5$，“字”$=6$ 时满足条件；$3\times$“数”加上进位 $2$ 依此类推，“解”$=8$；所以“巧”$=30-8-9-6-5$
$=2$。
“数字谜”所代表的三位数是 $965$。

解题步骤
被乘数乘以 $8$，得到的还是一个两位数；所以只能乘以 $9$ 得到一个三位数，推出乘数是 $89$，而被乘数只能为 $12$，乘积为 $12\times 89=1068$。

解题步骤
列竖式可知 $\overline{ABCD}+\overline{EFG}$ 共进位 $3$ 次，每进 $1$ 次，加数之和为 $3$，所以加数的数字之和为 $3+3\times 9=30$。

解题步骤
方法一：乘积的个位是 $1$，可知 $E=7$；$D\times 3+2$ 所得的个位是 $7$，因此 $D=5$；$C\times 3+1$ 所得的个位是 $5$，所以 $C=8$；$B\times 3+2$ 所得的个位是 $8$，所以 $B=2$；$A\times 3$ 所得的个位是 $2$，所以 $A=4$；因此被乘数等于 $142857$。
方法二：$(100000+\overline{ABCDE})\times 3=\overline{ABCDE}\times 10+1$，所以 $300000+\overline{ABCDE}\times 3=\overline{ABCDE}\times 10+1$，即 $299999=\overline{ABCDE}\times 7$，从而 $\overline{ABCDE}=299999\div 7$
$=42857$，因此被乘数等于 $142857$。

解题步骤
$\square 4\square\times 6=1\square\square 0$，由乘积的个位是 $0$，可知 $\square 4\square$ 的个位是 $5$，由乘积的首位是 $1$，可知 $\square 4\square$ 的百位只能是 $2$，所以 $245\times 6=1470$。
$245\times\square=\square\square 5$，乘积个位是 $5$，所以这个个位数字的乘数只能为奇数，再根据范围即可确定乘数的十位数字是 $3$，得出以下竖式。

解题步骤
观察个位可以知道“运”$=7$，“奥”$\times 7$ 的个位是 $9\sim 6\sim 5$，所以“奥”$=5$，“京”$\times 7$ 的个位是 $9\sim 3\sim 6$，所以“京”$=8$，“北”$\times 7$ 的个位是 $0\sim 5\sim 4$，所以“北”$=1$，“爱”$\times 7$ 的个位是 $9\sim 1\sim 6$，所以“爱”$=4$，“我”$\times 7$ 的个位是 $9-2=7$，所以“我”$=1$。这个六位数是 $142857$。

解题步骤
由竖式中的 $8$ 知，商的百位是 $3$ 或 $4$，若商的十位数为 $3$，则 $\square 6\times 3=108$，进而知除数是 $108\div 3=36$，又乘积有四位数，乘积只能为 $36$ 或 $72$，当积为 $36$ 时，被除数为 $1116$；当积为 $72$ 时，被除数为 $1152$。

解题步骤
显然“字”最大为 $9$，“理”最大为 $8$，“科”最大为 $7$，此时到XES最大，最大值为 $2961$，符合条件。

解题步骤
给空格处标上字母，$\overline{ab}8\times 8=\overline{g8hi}<8000$，所以可以得出 $g=7$，那么 $a=9$，进而得到 $b$ 只能为 $7$。$978\times 8=7824$，$978\times c=\overline{d8ef}$，经试算得只有 $c=5$ 时才能满足要求，所以可以得出以下竖式：$978\times 85$，部分积为 $4890$ 与 $7824$，乘积为 $83130$。

解题步骤
设上面的乘数是 $\overline{abc}$，下面的乘数是 $\overline{def}$，已知 $\overline{abc}$ 和 $d$、$e$、$f$ 的乘积的个位分别是 $4$、$3$、$2$，可以推出 $c$ 一定是奇数，$c=1$、$3$、$5$、$7$、$9$，首先排除 $5$，接着根据个位逐一分析：①当 $c=1$ 时，$1\times 2=2$，$1\times 3=3$，$1\times 4=4$，但是 $\overline{ab1}\times 3$ 为四位数，$\overline{ab1}\times 4$ 却是三位数，所以排除；②当 $c=3$ 时，$3\times 4=12$，$3\times 1=3$，$3\times 8=24$，但是 $\overline{ab3}\times 1$ 为四位数，$\overline{ab3}\times 8$ 却是三位数，所以排除；③当 $c=7$ 时，$7\times 6=42$，$7\times 9=63$，$7\times 2=14$，符合要求。④当 $c=9$ 时，同理可以排除。所以 $\overline{def}=296$，又 $\overline{abc}\times 6$ 是三位数，所以 $\overline{abc}\leqslant 166\leqslant 296$，则较大的乘数是 $296$。

解题步骤
首先列成竖式。由 $\overline{cba}\times c$ 的个位数字为 $a$，及 $\overline{cba}\times a$ 是一个三位数，得 $a\times c=a$，因此 $c=1$，即乘法竖式变为 $\overline{ab1}\times\overline{1ba}$。由于乘积的千位数字是 $1$，且 $c=1$，所以 $b=0$，即乘法竖式变为 $\overline{a01}\times\overline{10a}$，因此 $a\times a=n$
$=9$，即 $a=3$，$103\times 301=31003$。

解题步骤
被乘数的十位数字只可能是 $2$、$6$、$8$；被乘数的个位数字只可能是 $1$、$2$、$3$、$4$、$7$、$8$、$9$、$0$；乘数只可能是 $2$、$6$、$8$；积的百位数字只可能是 $2$ 或 $8$；十位数字只可能是 $2$、$3$、$5$、$6$、$8$、$9$；个位只可能是 $1$、$3$、$4$、$7$、$8$、$9$、$0$。显然，积的百位数字是 $8$ 时，不成立。当积的百位数字是 $2$ 时，乘数只能是 $6$ 或 $8$，逐一试算，得 $28\times 8=224$。

解题步骤
从式中可以看出“花”$\times$“学”的乘积末位为零，故“花”与“学”之中必有一个为数字 $0$ 或 $5$。当“学”是 $0$ 或 $5$ 时，由下面一列中的“学”、“习”、“好”，加“好”为“$3$”或“$4$”，则“数”取 $0\sim 9$ 中的任何一个数字也不行，同样“学”也不是 $5$，而“花”不能是 $0$，所以“花”为数字 $5$，则可以逆向计算出：美妙数学 $=42380\div 5$
$=8476$，故“美”$=8$，“妙”$=4$，“数”$=7$，“学”$=6$。再看下面的加法，可推出“真”$=2$，所以再次逆推“园”$=76284\div 8476$
$=9$。符合题意，假设成立，因此：美$+$妙$+$数$+$学$+$花$+$园 $=8+4+7+6+5+9$
$=39$。

解题步骤
正中间填 $(5+15)\div2=10$．那么幻和为 $10\times3=30$．所以 $x=30-13-5$
$=12$．

解题步骤
左下角的数为 $35+89-1=123$．
所以中间的数为 $(123+89)\div2=106$
故幻和为 $106\times3=318$
所以 $x=318-35-89$
$=194$．

解题步骤
设三个顶点为 $D$、$E$、$F$．
观察容易发现，三条边的和为 36
即 $D+A+E+E+C+F+F+B+D=36$
$18+2(D+E+F)=36$
所以 $D+E+F=9$．

解题步骤
由 $h+l=a+d$ 得 $h=1$，$b+h=a+l$，$b+1=4+22$，所以 $b=25$．

解题步骤
在幻方中，有重要结论：每一行之和或每一列之和或对角线之和均为中间方格数的 $3$ 倍．
(1)给下图中空白处标上字母．$8+12+a=11+a+b$，则 $b$ 应为：$8+12-11=9$．
则 $a+20=3a$．所以 $a=10$．每行每列每条对角线上的和是 $30$，对应的 "?" 处应填 $30-12-9=9$．
(2)给下图中空白处标上字母．
根据幻方的性质有 $2\times?=3+9$，所以 "?" 处应填 $6$．

解题步骤
每一行每一列中 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 分别出现 $1$ 次，从左到右来看，第一行的第一个数不能填 $1$，第 $4$ 个数也不能填 $1$，所以 $x=1$．

解题步骤
由下图知，$2+a=8+10$，所以 $a=16$，又 $8+b=2a$，得 $b=24$，同理 $2+8=2c$，$c=5$，★$+5=10+16$，所以★$=21$．

解题步骤
$9+$ 数 $+$ 学 $=$ 数 $+$ 学 $+$ 花，所以 花 $=9$；
同理，走 $=$ 数 $=8$
进 $=$ 学 $=$ 园 $=22-9-8$
$=5$
综上，走 $+$ 进 $+$ 数 $+$ 学 $+$ 花 $+$ 园 $=8+5+8+5+9+5$
$=40$．

解题步骤
第 $3$ 行第 $3$ 列的数为 $20\times16\div4=80$，第 $2$ 行第 $3$ 列的数为 $80\times20\div16=100$，第 $1$ 行第 $2$ 列的数为 $100\times80\div20=400$，所以由 $20\times400x=16\times100\times$ 第 $2$ 行第 $2$ 列的数 $=4\times80\times$ 第 $3$ 行第 $1$ 列的数，得到第 $2$ 行第 $2$ 列的数 $=5x$，第 $3$ 行第 $1$ 列的数 $=25x$，这样就有 $20\times400x=x\times5x\times25x$，故 $20\times400=5x\times25x$，解得 $x=8$．

解题步骤
如下图所示，因为 $1$ 到 $8$ 的和为 $36$，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为 $18$．因为每个面的数字和相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字 $1$ 在同一个面上的应该有较大的数．尝试最大的三个数 $8$、$7$、$6$，则和 $1$、$8$、$7$ 在同一个面上的数应该是 $18-1-8-7=2$，和 $1$、$8$、$6$ 在同一个面上的数应该是 $18-1-8-6=3$，和 $1$、$7$、$6$ 在同一个面上的数应该是 $18-1-7-6=4$，剩下一个 $5$ 填在剩下的○中，经检验，符合题意．$8+7+6=21$．

解题步骤
设中间的数为 $a$，则除去 $a$ 后剩下的所有数的和为 $(8+9+10+\cdots+18)-a=143-a$ 由题意可知和必为 $5$ 整除，因此 $a$ 只能为 $8$，$13$ 或 $18$，所以共有 $3$ 种填法．

解题步骤
由每条直线上四个数相加，相当于每个圆圈中的数算了两次，和为 $2\times(1+2+\cdots+12)=156$，另一方面，这正是每条直线上四个数之和的 $6$ 倍，所以相等的和为 $156\div6=26$．

解题步骤
根据幻方性质，$2A=C+E$，$2D=B+C$，因为 $B$ 和 $C$ 的差为 $14$，则 $B$ 与 $D$、$C$ 构成公差为 $7$ 的等差数列，$D$ 为等差中项，$A$ 和 $B$ 的差为 $14$，则 $A$ 和 $C$ 的差为 $28$，$C$、$A$、$E$ 构成公差为 $28$ 的等差数列，$A$ 为等差中项，$A$、$B$、$C$ 构成公差为 $14$ 的等差数列，$B$ 为等差中项，故 $C$ 和 $E$ 差 $56$．而五个数按照排序排列应为 $E$、$A$、$B$、$D$、$C$，所以 $D$ 和 $E$ 的差是 $56-7=49$．

解题步骤
用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和都为 $s$，那么，$a+b+c+d+e+f=2s$，$a+A+e+b+A+d+c+B+f=3s$，所以 $2A+B=s$，$a+b+c+d+e+f+A+B=2s+A+B$
$=5A+3B$，而 $a+b+c+d+e+f+A+B=1+2+\cdots+8$
$=36$，所以 $5A+3B=36$，那么 $A$ 是 $3$ 的倍数．如果 $A=3$，得 $B=7$；如果 $A=6$，得 $B=2$，这两种情况下 $A$ 和 $B$ 的差都为 $4$，所以 $A$ 和 $B$ 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是 $4$．

解题步骤
如图1，由条件知，$F$ 为 $1$ 或 $2$，则 $E$ 必为 $6$，$A$ 只能是 $1$ 或 $2$，可得 $C$ 为 $9$，$D$ 为 $3$(如图2)．$I$ 为 $5$ 或 $6$，若 $B$ 为 $7$，则 $I$、$G$、$H$、$J$、$K$ 都不能填 $6$，所以 $B$ 只能为 $9$，$G$、$K$ 为 $7$，$H$ 为 $3$，$F$ 为 $1$，$A$ 为 $2$．$A\times B=2\times9$
$=18$．完整填法如图3．

解题步骤
由奇偶性，若要用 $2$，则最多 $6$ 个奇数，要有 $3$ 个偶数，则最多只有 $7$ 个质数；若不用 $2$，则 $1\sim20$ 之间最多也还剩 $7$ 个质数，所以答案最大为 $7$；构造 $7$ 个质数，只需用 $3$、$5$、$7$、$9$、$11$、$13$、$15$、$17$、$19$ 这 $9$ 个连续奇数即可(见下表)．

解题步骤
由题意可知，$68+89+A+96=264$，则 $A=11$
$19+88+F+96=264$，则 $F=61$
$68+91+E+19=264$，则 $E=86$
$99+D+E+F=264$，则 $D=18$
$89+91+D+H=264$，则 $H=66$
$G+H+98+19=264$，则 $G=81$
$G+D+C+96=264$，则 $C=69$
$B+91+C+88=264$，则 $B=16$
$A+B-C+D+E-F+G-H$
$=16$．

解题步骤
$B+E=16$，所以 $B$、$E$ 为 $7$ 和 $9$，$A+B=14$，所以 $A$、$B$ 为 $6$ 和 $8$ 或 $5$ 和 $9$，综上 $A=5$，$B=9$，$E=7$，$D\times F=24$，所以 $D$、$F$ 为 $3$ 和 $8$ 或 $4$ 和 $6$，因为 $M\neq9$，所以 $F$ 只能为 $3$、$4$、$6$，易知 $F=4$、$6$ 不成立，$F=3$，$M=6$，$G=2$，$H=4$，$C=1$．

解题步骤
由题意知：$A+F=5$，$B+F=14$，$C+G=14$，$C+H=7$，$D+I=7$，$E+I=6$，$A$ 到 $J$ 是 $0\sim9$ 的数字，结合前面两个算式可知 $F=5$，$B=9$，$A=0$，再考虑第三个算式和第四个算式，可以知道 $C=6$，$G=8$，$H=1$；继续考虑最后两个算式，可得 $I=4$，$D=3$，$E=2$．那么 $J=7$，将其他数填好即可(见上图)．

解题步骤
由 $J\times P=80$，所以 $J=10$ 或 $8$ 或 $16$ 或 $5$．根据 $G\div J=2$，$J$ 不能是 $10$ 和 $16$，如果 $J$ 是 $8$，$G$ 是 $16$，如果 $J$ 是 $5$，$G$ 是 $10$，因为 $A+C+F=10$，$F+G=21$，所以 $G$ 大于 $11$，所以 $J=5$，$G=10$．$H\times M=36$ 中，$H$、$M$ 应是 $3$ 和 $12$ 或者 $4$ 和 $9$，$E\times M=126$，$E$、$M$ 应是 $9$ 和 $14$，于是 $M=9$，$E=14$，$H+L+C+F=10$，所以 $A+C=5$，$A$、$C$ 应该是 $1$ 和 $4$ 或者 $2$ 和 $3$，但是 $H=4$ 所以 $A$、$C$ 应该是 $2$ 和 $3$，$D-C=13$ 所以 $C$ 不能等于 $3$，$C$ 应该是 $2$，$D=15$，现在还没有填的数有 $1$、$6$、$7$、$11$、$12$、$13$，$B+4=R$，那么就只能是 $7+4=11$，于是 $B=7$，$R=11$，因为还有 $K-N=Q$ 只有可能是 $13-1=12$ 或者 $13-12=1$，那么最后剩下的 $L$ 一定是 $6$．

解题步骤
如下图所示，将一部分圆圈中的数用字母标出，标有★的圆圈中所填的数设为 $x$，则有 $a+b+e=d+c$
$=234$，$a+x+d=x+c+e$
$=b+x$
$=234$，可知 $a+b+e+d+c=234+234$，所以 $3x=234$，$x=78$．

解题步骤
在 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$ 中没有 $1$ 和 $3$，所以只能就剩下的 $6$ 个数字 $2$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，易知，$D$ 是 $2$，$E$ 是 $4$，$A$，$B$，$C$ 不可能是 $8$，所以 $F$ 为 $8$！$F$ 是 $8$，$C$ 只能是 $5$ 或 $6$，经尝试 $C=6$，$A=5$，$B=7$，六位数 $\overline{ABCDEF}$ 为 $576248$．

解题步骤
根据抽屉原理，$3\times3+1=10$。

解题步骤
$144-120+1=25$ 种情况，$128\div25=5\cdots\cdots3$，$n$ 的最小值为 $5+1=6$。

解题步骤
$1+2+3+4+5=15$，$61\div15=4\cdots\cdots1$，$4+1=5$。

解题步骤
如果不算大、小王，每个花色 13 张牌，只需 14 张便一定有两张相同点数的牌，加上大、小王，则需要 16 张牌。

解题步骤
四种花色每种花色 13 张，因此共 52 张，每种花色各选 3 张，一共 12 张，可见抽 12 张牌不能保证有 4 张牌是同一花色。
如果抽 13 张牌，由于花色只有 4 种，其中必有一种多于 3 张，即必有 4 张牌同一花色。

解题步骤
考虑最不利的情况，$11+11+11+10+1=44$。

解题步骤
考虑最不利情况，$3+4+4+1=12$。

解题步骤
考虑最不利情况，$9+9+9+10+1=38$。

解题步骤
考虑最不利情况，$3\times4+1=13$（只）。

解题步骤
按照 3 倍关系分组。$(1,3,9)$、$(2,6,18)$、$(4,12)$、$(5,15)$、$(7)$、$(8)$、$(10)$、$(11)$、$(13)$、$(14)$、$(16)$、$(17)$、$(19)$、$(20)$ 共 14 组，从第一组和第二组中最多可以取两个数，剩下每组中最多取一个数，所以最多可以取 $2+2+12=16$（个）数使得任意两个数没有 3 倍关系。

解题步骤
分两球同色和异色两种情况，共有 $C_5^2+C_5^1=15$（种）情况，$15+1=16$。

解题步骤
分所选 3 个球同色、两种颜色、三种颜色三种情况，共有 $C_5^1+2C_5^2+C_5^3=35$（种）情况，$35+1=36$。

解题步骤
两堆合并后三种水果的个数都是偶数，则合并前的，这两堆三种水果的个数奇偶性相同，对于一堆水果，按每种水果的奇偶性分类，有 $2\times2\times2=8$（种）情况，$8+1=9$。

解题步骤
考虑最不利情况，取 $(1,2,3,4,5)$、$(11,12,13,14,15)$、$(21,22,23,24,25)$、……、$(91,92,93,94,95)$ 共 50 个数，然后再随便取一个，就会出现标号之差为 5 的情况，$50+1=51$。

解题步骤
最低得分为 0 分，最高得分为 50 分，其中 1、2、4、7、47、49 分得不到，一共可以得到 $50-0+1-6=45$（种）分数，$45\times2+1=91$。

解题步骤
借 1 本有 3 种情况；借 2 本书有 6 种情况；借 3 本书有 $3+2+2+1=10$（种）情况，共有 $3+6+10=19$（种）情况，根据抽屉原理，为确保 3 个同学借书的类型和数量都一样，至少有 $19\times2+1=39$（名）同学。

解题步骤
最少有 4 个三角形，如下图所示。

解题步骤
从最值角度考虑，设长方形长为 $a$，宽为 $b$，则 $a+2b=30$，和一定，差小积大，$2ab$ 的最大值为 $15\times15$，但 $a$、$b$ 均为偶数，考虑次大的 $2ab=14\times16$
$=2\times14\times8$，因此边长分别为 14 和 8，面积最大为 112。

解题步骤
$45=3\times3\times5$，它小于 19 的最大约数为 15，所以不变的边长应为 15，另一边最长为 19，所以小虎最多用了 $15\times19=285$（枚）棋子。

解题步骤
小正方形的边长应为 90 和 42 的最大公因数，$(90,42)=6$，所以最少能剪出 $(90\div6)\times(42\div6)=15\times7$
$=105$（块），所有正方形的周长之和为 $6\times4\times105=2520$（厘米）。

解题步骤
边长是 7 厘米的正方形盒子的面积是 49 平方厘米，一个边长为 2 厘米的正方形和一个斜边长 3 厘米的等腰直角三角形的面积为 $2\times2+3\times3\div4=4+2.25$
$=6.25$（平方厘米），由于 $49\div6.25=7.84$，所以放不下 8 对，理论上最多能放进 7 对。下面通过构造说明 7 对是可以放进去的，如下图所示，正方形 7 个、三角形 8 个。

解题步骤
根据一笔画，因为道路图有四个奇点，所以王大爷要走的最短道路是不重复地走完该图所有的道路再加一些重复的道路，但可以对道路图做一些处理，相当于王大爷通过走过重复的道路完成一笔画，如下图。
道路的总路程为 $480\times3+200\times3+260\times6=3600$（米），王大爷走完这些路要 $3600\div60=60$（分钟）。

解题步骤
由 125 个棱长为 1 厘米的正方体拼成的大正方体的棱长为 5 厘米。依题意，要使大正方体表面白色的面积最小，应使正方体表面蓝色（黑色）的面积尽量大。摆在顶点处可摆出 3 个面，可摆 8 个，棱上（顶点除外）可摆出 2 个面，可放 $12\times3=36$（个），故表面蓝色面积最大为 $8\times3+(25-8)\times2=58$（平方厘米），所以表面为白色的面积最少是 $5\times5\times6-58=92$（平方厘米）。

解题步骤
观察图1、图2，易发现图中标有 1~8 的斜线上各有奇数个格子，每条斜线上至少有一个格子不能放棋子，又因为图1、图2 标有 1~8 的斜线上的格子是完全不同的，所以这些斜线上每条至少有一个格子不能放棋子，共至少 16 格，即所放棋子数最多不多于 $8\times8-16=48$（枚）。

解题步骤
这一题用图1可以动手操作。
要使所摆的大长方形的周长最小，应使 7 个小长方形有尽可能多的重合边。只有如下的 3 种摆法：
图1 的周长为 $(3\times7+4)\times2=50$（厘米）；
图2 的周长为 $(4\times7+3)\times2=62$（厘米）；
图3 的周长为 $(3\times4+4\times3)\times2=38$（厘米）。
显然，在所有的拼法中，大长方形周长的最小值是 38 厘米。

解题步骤
折线最长为 $8+4+6=18$（厘米），$18\div2=9$（厘米）。因此在靠近 8，并且标有 4 的绳子四等分点处点火，火势燃烧即可，此时共需要用时：$8+1=9$（分钟）。

解题步骤
令四边的长分别为 $a$、$b$、$c$、$d$，如右图，则有 $\begin{cases} a+c=5 & \text{①} \\ a+d$
$=6 & \text{②} \\ b+c$
$=7 & \text{③} \end{cases}$
由 ②－①＋③ 得，$a+b+c+d-(a+c)=13-5$，$b+d=8$，则 $b\cdot d$ 乘积最大值为 $4\times4=16$。

解题步骤
剩下的面积最大，则切掉的小长方形面积最小。
面积最小为 $1\times4+2\times3+2\times2+2\times2=20$，所以剩下的面积最大为 $12\times11-20=112$。

解题步骤
由于 E 最便宜，故尽量用 E，最多可以用 2 个。
当用 2 个 E 时，需要再用 2 个 C 才可拼得，此时需要花费 $2\times1+2\times3=8$（元），如下左图所示。
可以只用 1 个 E，再用两块 D，找 1 块 C 即可。如下右图所示。
也是需要花费 $1+2+2+3=8$（元）。

解题步骤
如图1所示，设 A 的八条边的长分别为 $a$、$b$、$c$、$d$、$e$、$f$、$g$、$h$，显然 $b=d+f+h$，$a=g+c-e$，8 厘米长的边只能是 $a$ 或 $b$。当 $a$ 是 8 厘米时，$b$ 可能是 7 厘米或 6 厘米。
如图2所示，$a$ 是 8 厘米，$b$ 可能是 7 厘米，$d+f+h=7$，$g+c+e=(1+2+3+\cdots+8)-8-7-7$
$=14$，由 $g+c-e=8$ 得 $e=3$，$g+c=11$，要使 B 和 C 的面积最大，$g=6$，$c=5$，$f=4$，$d=2$，$h=1$，此时 B 和 C 的面积和是 $(6-3)\times(7-1)+3\times4=30$（平方厘米）。
同理如图3所示，$a$ 是 8 厘米，$b$ 可能是 6 厘米，$g=7$，$c=5$，$e=4$，$f=3$，$d=2$，$h=1$，此时 B 与 C 的面积和是 $(6-1)\times(7-4)+3\times4=27$（平方厘米）。
如图4所示，当 $b$ 是 8 厘米，$a$ 只能是 7 厘米，这种情况下，B 和 C 的面积最大时，$c=4$，$d=2$，$e=3$，$f=5$，$g=6$，$h=1$，$(8-1)\times(6-3)+3\times5=36$（平方厘米）。
综上所示，B 和 C 的面积最大 36 平方厘米。

解题步骤
购买甲种文具的费用最多$66\div2=33$（元），可买$33\div3=11$（件），此时购买乙种文具的件数比购买甲种文具的件数多$2$件，且购买丙种文具的费用用不超过总费用的一半，若购买的文具最多可买$11$件。

解题步骤
调换一条管道，流量每小时增加$40$立方米，即每条粗管道比细管道的流量每小时多$40$立方米；流量取决于总流量最小的一段，所以要想流量最大，两都分的流量应互相同，则调换整$5$条管道，最大可增加量$40\times5=200$（立方米）。

解题步骤
当这些螃蟹至多时可能完整的时候，这批螃蟹的数量是最少的；当这批螃蟹尽可能不完整的时候，这批螃蟹的数量是最多的。
当求至多多少只时，应取$25\div1=25$且$120\div4=30$中较小的数$25$。
当求至少多少只时，应取$25\div2=13$和$120\div8=15$中较大的数$15$。

解题步骤
摸球种的不同情况共有红红、黄黄、蓝蓝、红黄、红蓝、黄蓝$6$种，所以至少需要$7$个人，才能保证有两人摸的一样。

解题步骤
一共有$7$个袋子，棋子数分别是$1,2,4,8,16,32,64$。

解题步骤
方法一：要让四人都答对的题目尽量少，就得让他们错的题目尽量都不一样，错的题目数最多有$4+3+2+1=10$（道）题，且这$10$道题人做错了。
方法二：共对了$11+12+13+14=50$（道）。
现在要四人都答对的题目尽可能少，则三人都答对的题目尽可能在$50\div3=15\cdots\cdots5$，所以四人都答对的题目最少有$5$道。

解题步骤
每支飞镖可以投到小明得到$0,1,3,8,12,23$分中的一种。
那么两支飞镖可以得到$0,1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,15,16,20,23,24,26,31,35,46$分。
那么三支飞镖到则得到从小到大用穷举可以组合的，如$5=1+1+3$
$=0+3$种，发现$5,7,10,14,17,18,19,21$都可以组成，而$22$无法组成，因此最小的得分是$22$分。

解题步骤
每一轮出牌之后，获胜一方所得的分数是两人所出牌的点数差，故10轮牌出完之后，两人总分之和等于两两所出的10张牌的点数差之和。要让10轮牌的总分最大，就要让10个点数最大配对，从而把点数最小的与最大的配对：
$(10+10+9+9+8+8+7+7+6+6)-(5+5+4+4+3+3+2+2+1+1)=50$。

解题步骤
这是一道利用极端性原理来解决问题题。要使优秀学生最多，可将每个学生的长处与短处尽可能短处相比较。
取$35$人为这样一种特殊情况：他们中语文成绩与数学成绩都不相等，并且语文成绩最高者就该学生数学成绩最低，语文成绩次高者数学成绩次低，$\cdots\cdots$，这样一来，语文成绩最好的学生（语文好于其它$34$人）自然成优秀，数学最好的学生（数学好于其它$33$人）则是优秀学生第二（优于$34$人），由是优秀学生一名。同理可说明$35$人可都是优秀学生。

解题步骤
如果全部做对，那么应该得$1+2+\cdots+14+15=120$（分），实际上得了90分，做错一道题不但不得分，还要倒扣分，那么小一明做错的题目总分应当$(120-90)\div2=15$（分），则小明最多错5题，即$1,2,3,4,5$题，最少错1题，第15题。

解题步骤
方法一：我们按实际换酒过程分析：
喝掉24瓶啤酒，用24个空瓶换回6瓶啤酒（还剩2个空瓶）；
喝掉6瓶啤酒，连上次余下的2个空瓶还有8个空瓶，此时，再借1个空瓶，与剩下的3个空瓶一起又可换回3瓶啤酒，喝完后将借回那个1瓶；
以上方法正确返回借「1个空瓶可换1瓶啤酒」这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不喝完最后的一瓶啤酒「先借后还」，但如果一开始借的话便无法很好地解决巧妙的算法呢？
方法二：注意到「每4个空瓶可换一瓶啤酒」（连喝3瓶后又喝3瓶就能换得一瓶啤酒（不带瓶）），喝光的24个空瓶能换到8瓶啤酒，所以小强家前后共能喝到$24+8=32$（瓶）啤酒，综合算式是$24+24\div(4-1)=32$（瓶）。

解题步骤
有3个老师，$5\times2+4=14$（名），共17人。要使费用最最低，首先，尽量免费带儿童，其次尽量采联票，所以：
（1）两老师带一名儿童，进去3人，用去$5\times2=10$（元）
（2）4名儿童和一名老师买一张联票3人，$8\times5=19$（元）
（3）5名儿童买一张联票3人，$3;8\times5=19$（元）
（4）余下4名儿童买1张儿童票，$4\times4=16$（元）
共花去$10+19\times2+16=64$（元）。

解题步骤
五支包的单价是$6\div5=1.2$（元），七支包单价为$7\div7=1$（元），因此尽量多选七支包装的，$111\div7=15$（包）$\cdots\cdots6$（支），因此只需买16包七支包装的即可，至少花费$16\times7=112$（元）。

解题步骤
因为30粒珠子依8粒红色、2粒黑色的次序即10个为一周期串成一圈。现在一只蚂蚁从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上，即这只蚂蚁每次跳7粒珠子，题目相当于问这只蚂蚁至少跳多少次才会被10整除或除以10余9，$7\times1$除以10余$7$，$7\times2$除以10余$4$，$7\times3$除以10余$1$，$7\times4$除以10余$8$，$7\times5$除以10余$5$，$7\times6$除以10余$2$，$7\times7$除以10余$9$（符合）。

解题步骤
先反排偶数页的故事为，共$15$个故事，再可以确保每个故事的第1页都安排在奇数页，第1页的故事就奇数排了$15$，因此故事从第几页起页就由它本来的奇偶决定。所以从奇数页开始的故事数从小到大排，共有$8$个奇数页的故事从奇数页开始，所以最多有$15+8=23$（个）故事从奇数页开始。

解题步骤
设播放器开始播放时刻为$AB:CD$，结束播放时刻为$EF:GH$，首先让$EF$比$AB$相大一些，因此$AB=19,EF=20$，然后让$CD$最大、$GH$最小，因此$CD=58,GH=34$，这样播放时间为36分钟。

解题步骤
将所有动物的智商都看做到最高最高，最大为$216\div(1+2+3+\cdots+11)+11\times3+10\times2+9=344,344\div18=19\cdots\cdots2$，所以最高智商最大为19。

解题步骤
因为前九场比赛的平均分比前五场比赛的平均分要高，设前五场比赛的平均分是$x$，所以有$(5x+23+14+11+20)\div9>x$，
解得$x<17$，那么$5x<85$。
因为$10$场比赛的平均分超过$18$分，所以$10$场比赛的总分至少为$18\times(10\times1)=181$（分），要使第10场比赛的得分最少，应让前九场比赛的总分尽量多，故第十场的得分尽量多。故第10场比赛的得分为$181$分，前9场比赛的得分为$84$分，第十场比赛得分最少，为
$181-84-23-14-11-20=29$（分）。

解题步骤
如果A与B是朋友，我们就在$AB$之间连一条实线；如果是敌人就连一条虚线。首先一个人不能即同时和超过四个朋友、敌友，假设A有$B,C,D$三个朋友，则$B,C,D$之间互为敌人，又因为$C,D$均为$B$的敌人，所以他们之间应互为朋友、矛盾，所以一个人最多只能有两个朋友、矛盾，所以一个人最多只能有两个敌人。
如此则一个人，五个人的实线连成图如下左图，假设有$6$个人之间被实线连通，那下右图$B_1$至$B_6$，则$B_1,B_3,B_5$之间有虚线连成，矛盾，所以同理虚线连成实现。又一人不能有两条以上的朋友关系，所以通知1人相当于通知5人，$100\div5=20$，最少需要通知的人数为20人。

解题步骤
最大值为 $109$，$10\times10+10-10\div10=109$。

解题步骤
因为 $20120204$ 各位数字中最大的数字为 $4$，因此最少要用 $4$ 个数相加，例如：$20120204=10110101+10010101+1+1$。

解题步骤
根据题意，令 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6<a_7$，则有：$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=700$，而题目中告诉我们：$a_1+a_2+a_3=60$，$a_5+a_6+a_7=600$，所以有：$a_4=700-600-60$
$=40$，$a_1$ 最大不能超过 $20$，所以 $a_1$ 最大为 $19$，$a_5$、$a_6$ 最小值分别为 $41$、$42$，那么 $a_7$ 最大为 $600-41-42=517$。

解题步骤
由于 $A\times B=2009$
$=7^2\times41$，$A$、$B$ 都是 $2009$ 的因数，要使它们的差最大，则 $A$ 应最小，故 $B=1$，$A=2009$ 时 $A-B$ 最大，最大为 $2008$；要使它们的差最小，则 $B$ 要尽可能大，$B$ 最大可以为 $41$，此时 $A=49$，所以 $A-B$ 的最小值为 $8$。

解题步骤
数字和为 $17$ 的最小数应为两位数，$17=8+9$，所以最小的数为 $89$。最大的数数位应该尽量多，则加数应该尽量小，由于 $1+2+3+4+5+6>17$，所以不能为六位数，由于 $1+2+3+4+7$，所以符合要求的最大数应为五位数，其中最大的五位数为 $74321$。

解题步骤
从 $1$ 到 $60$ 共有 $9+51\times2=111$ 个数，删去 $100$ 个数字还有 $11$ 个数字，要求数最大，因此 $11$ 位数尽量多选 $9$，最多可以选 $6$ 个 $9$，但是这样选最多是 $8$ 位数，因此只能选 $5$ 个 $9$，即最大值是 $99999785960$。

解题步骤
首先乘积最大，应该让首位数字最大，因此三个数百位数字分别取 $9$，$8$，$7$，十位数字也尽量大，分别取 $6$，$5$，$4$，但是根据“和一定时，差越小积越大”。尽量让大数小些，小数大些乘积会更大，同理个位数字也是用类似方法取得，最终得到 $941\times852\times763$。

解题步骤
要求任意三个相邻的和都大于 $20$，那么图中第 $1$、$4$、$7$、$10$ 格放的数要尽量接近，第 $2$、$5$、$8$ 格放的数要尽量接近，第 $3$、$6$、$9$ 格放的数要尽量接近，要求 $10$ 个整数的和最小，则取得的数都要尽量小，我们把 $1$、$2$、$3$、$4$ 四个数放在 $a$、$d$、$g$、$j$，不妨设 $d=4$，那么这 $10$ 个数的和最小为 $4+21\times3=67$。下面是一种构造方法。
$a$ $b$ $c$ $d$ $e$ $f$ $g$ $h$ $i$ $j$ （图1）
$1$ $5$ $15$ $4$ $8$ $10$ $3$ $12$ $7$ $2$ （图2）

解题步骤
“龙卡”数字大于 $7$，最小为 $8$，若有 $8$ 张，则因大于 $63$，所以不可能有 $8$ 张；若有 $7$ 张，则可令余下的 $13$ 张均写 $1$，而 $7$ 张龙卡和为 $63-2=61$，可让 $5$ 张写 $9$，$2$ 张写 $8$，此时最大的 $9$ 张和为 $63$，满足题目要求，所以只有 $7$ 张龙卡时，所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值为 $61$。

解题步骤
每次操作，黄球和蓝球的差要么不变，要么改变 $3$。刚开始时，黄球和蓝球的差不是 $3$ 的倍数，可知，每次操作后黄球和蓝球的差都不是 $3$ 的倍数。所以，黄球和蓝球的个数不能同时为 $0$。黄球和蓝球的总和至少是 $1$。下面构造说明红球最多可以有 $39$ 个。（括号内三个数依次表示红、黄、蓝 $3$ 种颜色的球的个数）
$(11,12,17)\to(10,14,16)\to(9,16,15)\to(11,15,14)\to(13,14,13)\to(15,13,12)\to(17,12,11)\to(19,11,10)\to\cdots\to(39,1,0)$。

解题步骤
要求花费时间尽可能少，那么就要求一直都是 $2$ 人在桥上。方法如下：第一分钟：甲、乙过去；第二分钟：甲回来，丙过去；第三分钟，乙、丙回来。

解题步骤
大卡车一次运每吨货物 $150÷5=30$（元），中卡车一次运每吨货物 $80÷2=40$（元），小卡车一次运每吨货物 $50÷1=50$（元），故大卡车尽可能多运一些，中卡车与小卡车尽可能少运。
$58÷5=11……3$，大卡车最多 $11$ 辆，中卡车 $1$ 辆，小卡车 $1$ 辆。
最省的运送方法为：大卡车 $11$ 辆，中卡车 $1$ 辆，小卡车 $1$ 辆。

解题步骤
甲把黑子放在 $A$ 处，不管乙怎么放甲都会赢。

解题步骤
用这个数加上 $70$，减去 $32$，再减去这个数得到的结果肯定是 $70-32=38$，$38×5÷2=95$，最终的答案和想的那个数没有关系。

解题步骤
（1）倒推法，$1+3=4$，从最后一根往前推，甲只需要每次取完乙留下的火柴数依次是 $4、8、12、…$就一定能保证自己赢。$63÷4=15……3$，甲只要先取走 $3$ 根，以后每次和乙去凑 $4$ 根即可必胜。
（2）规定谁取走最后一根谁输，即谁取走倒数第二根必胜，同理，$（63-1）÷4=15……2$，甲只需第一次取走两根，以后每次和乙凑 $4$ 根即可取到倒数第二根，给乙留下最后一根。

解题步骤
因每人每次取的火柴不能超过 $10$ 根，所以先取者只要到最后一次给后取者剩下 $11$ 根，那么不管后取者取多少根，最后的赢家定是先取者。先取者每次只要给后面留下的是 $11$ 的倍数，则先取者必胜。$100-11×9=1$ 根。

解题步骤
方法一：要想用最少的时间，$4$ 人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就能保证时间最短了。
第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用 $1.5+1=2.5$（分钟）；
第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了 $2+1=3$（分钟）；
第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了 $2.5$ 分钟；
三人共用时间：$2.5+3+2.5=8$（分钟）。
方法二：可以按相对快慢分成两组过桥。
第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用 $1.5+1=2.5$（分钟）；
第二步：小蓉与小红过桥后再由小明返回，共用了 $2.5+1.5=4$（分钟）；
第三步：最后小强与小明一起过桥用了 $1.5$ 分钟；
三人共用时间：$2.5+4+1.5=8$（分钟）。

解题步骤
如果 $A$、$B$ 两地有两个仓库，且 $A$ 地的货物比 $B$ 地多，那么将 $B$ 地的货运往 $A$ 地比将 $A$ 地的货运往 $B$ 地省钱，因此，应将 $10$ 吨货由一号仓库运到二号仓库。同样，应将这 $（10+20）$ 吨货由二号仓库运到五号仓库，共用：$（10×400+20×300）×0.5=5000$（元）。

解题步骤
因为 $80÷20=4$（天），不考虑食物和水供给的情况下，走 $4$ 天可以穿过这个沙漠，那么在中转站里储备一天的食物和水即可，这个中转站需要建在离出发地点 $20$ 千米处，此时，来到这个中转站花费一天的食物，放下一天的食物，回到出发地花费一天的食物，从出发地再带够三天的食物即可。一共花了 $1+1+4=6$（天）。

解题步骤
把 $A$ 筹码或 $D$ 筹码向右移两格，不管对方怎么移，只要保证 $A$、$B$ 筹码间的距离与 $C$、$D$ 筹码的距离相同就能获胜。

解题步骤
乙有必胜策略。因为这 $27$ 个数的和为 $378$，除以 $5$ 的余数为 $3$。所以，勾掉的 $26$ 个数的和能被 $5$ 整除的充分必要条件是剩下的 $1$ 个数除以 $5$ 时余 $3$。但这 $27$ 个数中只有 $5$ 个数除以 $5$ 时余 $3$，即为 $3,8,13,18,23$。乙只要在开始 $5$ 次将这五个数划掉，甲就输定了。

解题步骤
乙有必胜策略。每一次，无论甲把何种颜色的圆片放在哪一个顶点，乙总是把相同的圆片放到与此顶点关于正方体中心对称的那个顶点上就可以稳操胜券。

解题步骤
平太每次都横向走到所能走到的最远的方格，这样大介只能纵向走，只要大介有路可走，平太就一定有路走，最后取胜的人一定是平太。

解题步骤
使经济损失最小，$5$ 名工人的工作时间尽量相等，故有：
$12+17+14+19+8+18+29+23+44+32+36+43=295,295÷5=59$
$23+36=59;17+43$
$=60;14+44$
$=58;8+19+32$
$=59;12+18+29$
$=59$
这 $7$ 辆车最少共停开的时间为：
$（23+23+36）+（17+17+43）+（14+14+44）+（8+8+19+8+19+32）+（12+12+18+12+18+29）=426$（分钟）
每停开 $3$ 分钟损失 $50$ 元，所以最小损失为 $426÷3×50=7100$（元）。

解题步骤
如上图所示，甲只要占据 $f$ 和 $k$ 中的一条即可获胜。例如：甲可以先选择 $a$，此时乙只能选择 $b$；甲再选 $c$，此时乙只能选择 $d$，甲再选择 $f$，乙只能选择 $g$，此时甲只要再选择 $e$，之后不管乙怎么选都无法堵住甲了。

解题步骤
甲有必胜策略。当共有奇数个“一”号时，甲把中间的一个“一”号改成“十”号；当共有偶数个“一”号时，甲把中间的两个“一”号改成“十”号。于是余下的“一”号被分成两段且关于这行符号的中垂线是对称的。以后，甲只要视乙如何改而总是对称地改动就必然获胜。