追及问题

🎯找核心概念

这是哪类问题：这一讲专门解决「同方向运动、快的去追慢的」这类问题。两个人或两辆车朝同一个方向走，一开始隔着一段距离（路程差），跑得快的那个想要追上跑得慢的那个，问要花多久才能追上、或者追上时各自走了多远。它跟「相遇问题」（面对面靠近）正好相反，是「背后追赶、距离慢慢缩小」。

关键词（大白话）：

• 路程差：追的人和被追的人一开始相隔的距离。要么是慢的人先出发先走了一段，要么是两人出发点本来就不在一起。
• 速度差：快的人每单位时间比慢的人多走的距离，等于「快速度减慢速度」。这是追上的关键，速度差越大追得越快。
• 追及时间：从开始追到刚好追上所花的时间。

🔍理解本质规律

• 核心公式只有一条：$\text{追及时间}=\dfrac{\text{路程差}}{\text{速度差}}$，由它还能变形出 $\text{路程差}=\text{速度差}\times\text{追及时间}$、$\text{速度差}=\dfrac{\text{路程差}}{\text{追及时间}}$。
• 三个量「路程差、速度差、时间」知道任意两个就能求第三个，做题时先把这三个里已知的找出来，缺哪个求哪个。
• 速度单位要统一（米/秒、千米/小时不能混着用），路程单位也要统一，否则相减会出错。
• 环形跑道上同向出发，快的人每追上慢的人一次，就比对方多跑了整整一圈；第 $n$ 次追上就多跑 $n$ 圈，路程差 $=n\times$ 跑道一圈长。

🗂️分类总结题型

✏️举例验证

🌱拓展应用

🛒 生活里的同类问题：

• 操场上跑圈，跑得快的同学追上跑得慢的同学，多久追上一圈。
• 高速公路上后车追前车、汽车追公交车，判断会不会追尾或赶不赶得上。
• 扶梯、传送带上一个人快走一个人慢走，谁先到顶。

🔄 变形我还认得吗：

• 把「追上」换成「相距某距离」（如题 $8$ 经过几小时相距 $30$ 千米），要分「在前面拉开」和「追上后再超出」两种情况讨论。
• 把「同向追及」换成「相向相遇」，公式从「除速度差」变成「除速度和」，要看清是同向还是相向。
• 被追的人走走停停（题 $12$ 公交车到站停车），要按周期算每段缩短的距离，别直接套公式。
• 反过来给结果求速度或出发时间（题 $7$、题 $11$），要会倒着推。

🚀 它是后面什么的前置基础：

• 它和「相遇问题」「火车过桥／错车问题」同属行程问题大家族，是后面学多次相遇、环形多次追及的基础。
• 赋值法（设全程为方便的数）会在比例、工程问题里继续用到。
• 题 $13$ 用到的「直线最短 + 勾股定理」是后面几何与最短路径问题的引子。

⚠️常见易错点

• 把「速度差」错算成「速度和」：追及（同向）用速度差，相遇（相向）才用速度和，两者千万别混。
• 单位不统一就相减：题 $5$ 千米/小时要先换成米/秒再算，不换算结果全错。
• 环形问题数错圈数：第 $n$ 次追上是多跑 $n$ 圈，不是 $1$ 圈；别漏乘次数（题 $1$、题 $9$）。
• 火车问题忘了车身长：两车头之间还夹着车身和隧道，路程差不是简单两点距离（题 $10$、题 $3$）。
• 变速题直接用最终速度算全程：换速前已经追近了一段，必须先减掉再用新速度差算剩余（题 $6$）。
• 「相距某距离」只想到一种情况：可能在追上之前也可能在超过之后，要分类讨论（题 $8$）。

🧠思维导图

🔗关联知识点

• 四年级 · 讲12 相遇问题同属行程问题，方向相反（相向靠近），用速度和；与本讲的速度差互为对照。
• 四年级 · 讲14 火车过桥问题都要把车身长算进路程，本讲的火车超车与之共用「数清长度」的思路。
• 四年级 · 讲11 行程问题路程、速度、时间三量关系是本讲追及公式的基础。