三年级 · 巧求周长

🎯找核心概念

这是哪类问题：这一讲专门解决“图形长得歪七扭八、边特别多，看起来没法直接套公式”的周长问题。比如台阶形、凹凸形、十字形、由很多小长方形拼成或剪开的图形。直接一条边一条边量、一段段加，又麻烦又容易漏。这一讲教你一个巧办法：把弯弯曲曲的边“搬一搬”，变成一个规规矩矩的长方形或正方形，再用最简单的公式算出来。

关键词（大白话）：

周长：图形一圈边线的总长度，沿着最外面的轮廓走一圈走了多远。
平移：把一条边整条地“平推”到另一个位置，不旋转、不改长短，只是挪个地方。挪完后那条边的长度一点没变。
平移法求周长：把不规则图形上凹进凸出的横边、竖边分别平推补齐，拼成一个完整的长方形。横边总长不变、竖边总长不变，所以新长方形的周长就是原图的周长（有时还要再加上几段被平移漏掉的小竖边）。
设元法：图里有很多相同的小长方形时，把小长方形的“长”和“宽”当成两个待求的量，根据它们拼接的关系列出等式，先求出长和宽。
和差问题：已知两个数的“和”与“差”，求这两个数：大的 $=$（和 $+$ 差）$\div 2$，小的 $=$（和 $-$ 差）$\div 2$。

🔍理解本质规律

平移不改变线段长度：把一条边整条平推过去，它还是那么长，所以平移前后图形的总周长不变。
横边归横边、竖边归竖边：所有朝左右方向的边平移后正好拼成长方形的上下两条长，所有朝上下方向的边正好拼成左右两条宽。
凹进去的口可以补平，但凸出来的小竖段往往是“多出来”的，平移补成长方形后要单独再加上这些多出的段（通常成对出现，所以常是 $\times 2$）。
拼接和分割会改变周长：把图形剪开会多出新的边，分成的几块周长之和 $=$ 原周长 $+$ 剪痕长度 $\times 2$；拼接处的公共边则不算进外周长。
相同小图形拼大图形时，用“几个长等于几个宽”的关系设元列式，先求边长再算周长。

看得见的规律想象图形的边是一根根能自由滑动的小木棍。台阶形就像楼梯，你把每一级台阶的竖板往左一推、踏板往上一推，所有竖板叠成一条左边，所有踏板叠成一条上边，楼梯一下就被“推平”成一个长方形的盒子轮廓——木棍一根没多一根没少，所以一圈的长度也没变。算这个方方正正的盒子周长，比数楼梯简单多了。

为什么这样解为什么能这样推？因为图形是封闭的，沿着轮廓走一圈最后要回到起点。要回到起点，向右走的总距离必须等于向左走的总距离，向上走的总距离也必须等于向下走的总距离。所以把所有水平边收拢，正好等于外接长方形的两条长；把所有竖直边收拢，正好等于两条宽。于是“一圈”就被整理成了“长方形一圈”。唯一要小心的是凸起或缺口处：有些竖边在平移时是“折返”的（先上去又下来），它们贴不进长方形的外框，要作为多出的段补加回去。

🗂️分类总结题型

题型	怎么一眼认出	用什么方法
台阶形/凹凸形直接平移g3-c17-p02	图形是一级级楼梯或带凹口凸台的“锯齿”多边形，给了外框的长和高，问周长。	把横边平推成上下两条长、竖边平推成左右两条宽，先算外接长方形周长 $($长$+$宽$)\times2$；若有凸台或缺口，再补上多出的竖直小段（常成对 $\times2$）。
相同小图形拼成大图形g3-c17-p11	题目说“几个相同的小长方形/小正方形拼成一个大长方形或大正方形”，求大图周长或反推小图周长。	用“几个宽等于几个长（或等于大图的边）”的关系设元，列等式求出小图的长和宽，再代入公式算周长。
由小正方形数边长（十字形等）g3-c17-p05	图形由若干相同小正方形拼成（如十字形），外轮廓是一条条等长的小边。	先用小正方形周长 $\div4$ 求边长，再沿外轮廓数清一共有几条这样的边，相乘得周长。
图形分割/剪开后的周长之和g3-c17-p19	把一个长方形沿折线剪开，问剪成的几块周长之和，或剪几刀后总周长。	几块周长之和 $=$ 原周长 $+$ 剪痕总长 $\times2$（剪痕被两块共享，各算一次）。
周长里的和差问题g3-c17-p09	已知长方形周长（即长宽之和的 2 倍）和长宽之差，或三角形周长能转化成两边之和，再配一个差。	先把周长化成“和”，配上已知的“差”，用 $(和+差)\div2$、$(和-差)\div2$ 求出各边。
路径长短比较g3-c17-p17	比较折线、台阶路径谁长谁短，或锯齿路径长度等于某规则图形周长。	把路径的水平分量、竖直分量分别平移归并；水平相等就只比竖直，竖直多的路径更长。

✏️举例验证

例 1 g3-c17-p02

题：一个三级台阶形（楼梯形）多边形，外接长方形底边长 $5$ 厘米、右侧高 $3$ 厘米，左下方是台阶状缺口，求周长。

按规律解：把每一级台阶的竖边向左平推、横边向上平推，楼梯就被推平成一个长 $5$、高 $3$ 的长方形。周长 $=(3+5)\times2=16$（厘米）。

为什么对：台阶上所有朝上的横边加起来正好等于顶边的 $5$，所有朝右的竖边加起来正好等于右边的 $3$，平移没有改变任何一段的长度，所以推成的长方形周长就是原台阶的周长，答案 $16$ 正确。

例 2 g3-c17-p11

题：大长方形被分成 $9$ 个相同的小长方形（左侧一竖列 $3$ 个横放，右侧 $2$ 行 $3$ 列竖放），大长方形周长为 $90$，求每个小长方形周长。

按规律解：设小长方形长为“长”、宽为“宽”。由拼接关系 $2$ 长 $=3$ 宽。大长方形周长含 $4$ 长 $+9$ 宽 $=90$，把 $4$ 长换成 $6$ 宽，得 $6$ 宽 $+9$ 宽 $=15$ 宽 $=90$，所以宽 $=6$，长 $=9$。小长方形周长 $=(6+9)\times2=30$。

为什么对：关键是看懂图里哪几段是“长”、哪几段是“宽”，列出 $2$ 长 $=3$ 宽这个等量关系。一旦把所有量都换成“宽”，就只剩一个未知数，能直接解出来，再回代算周长，结果 $30$ 与答案一致。

例 3 g3-c17-p09

题：三角形 $ABC$ 中 $AB-AC=2$，$D$ 在 $AB$ 上且 $BD=DC$，$\triangle ACD$ 的周长是 $18$，求 $AB$。

按规律解：$\triangle ACD$ 周长 $=AC+AD+CD$。因为 $CD=BD$，所以 $AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+(AD+DB)=AC+AB$。于是 $AB+AC=18$。又 $AB-AC=2$，用和差问题：$AB=(18+2)\div2=10$。

为什么对：这道题表面是三角形周长，本质是“两数之和 $18$、之差 $2$”的和差问题。妙在用 $BD=DC$ 做了一次等量代换，把小三角形的三条边凑成了 $AB+AC$ 这个“和”，所以能套和差公式，$AB=10$ 正确。

例 4 g3-c17-p19

题：长 $12$、宽 $10$ 的长方形，沿一条台阶状虚线剪成两部分，求两部分周长之和。

按规律解：原长方形周长 $=(12+10)\times2=44$。台阶剪痕由竖段和横段组成：竖向部分合计 $10$，横向台阶部分为 $(12-3-4)\times3=15$，剪痕总长这两类各被两块共享。两部分周长之和 $=44+10\times2+15\times2=44+20+30=94$（厘米）。

为什么对：剪开后，原来在内部的那条剪痕变成了两块各自的边界，所以它被“数了两遍”。因此周长之和 $=$ 原周长 $+$ 剪痕长 $\times2$。原来的外框边没增没减，只是多出剪痕这部分，算得 $94$ 与答案一致。

🌱拓展应用

🛒 生活里的同类问题：

给一块带凹角的菜地或不规则房间地面装一圈围栏/踢脚线，需要的材料长度就是它的周长，用平移补成方形能快速估算。
瓷砖、礼品盒堆成的金字塔或台阶造型，量它正面轮廓一圈用多少装饰条，可以平移成大长方形来算（如本讲第 13 题的礼品盒堆）。
走楼梯和走斜坡：水平走的距离一样时，台阶路把竖直方向多走的折返叠起来，能直观看出哪条路走得更累更长。

🔄 变形我还认得吗：

把“台阶形”换成“凸字形”“凹字形”，凹口或凸台不止一个——方法不变，只是要数清多出的竖段有几对（见第 3、4、14、15 题）。
把“拼成大长方形”换成“拼成大正方形”，或换成小长方形部分重叠（后一个顶点落在前一个中心），重叠处长宽减半，仍可平移归整（见第 7、16 题）。
把“求周长”反过来问“已知大图周长求小图周长”，或问“哪个图形周长更大”，本质都是先平移归整再比较（见第 10、11 题）。
把“剪开求各块周长之和”和“拼接后求外周长”对照着想：剪开是加剪痕，拼接是去掉公共边。

🚀 它是后面什么的前置基础：

是后面学习长方形、正方形面积，以及组合图形面积、割补法的直接前置——“平移补齐”的思路在求面积时同样好用。
和差问题在这里只是小试身手，后面会发展成更系统的和差倍问题、列方程解应用题。
礼品盒金字塔用到的 $1+2+\cdots+10$ 是等差数列求和的雏形，为高年级数列求和打基础。
路径长度比较渗透了“投影/分量”的几何直觉，是以后学坐标、向量分解的朴素起点。

⚠️常见易错点

平移后只算了外接长方形周长，忘了补加凸台或缺口处多出的竖直小段（如第 4、14、15 题里的 $\times2$ 部分）。
把不该平移的“折返”竖边也并进了长方形外框，导致少算。要记住：能贴到外框上的才并入，折返出去的要单独加。
拼接图形里把“长”和“宽”看反，列错 $2$ 长 $=3$ 宽这类关系，结果整套算错。
剪开求周长之和时忘了剪痕要 $\times2$，只加了一遍；或反过来在拼接题里没减掉公共边。
和差问题里把“周长”直接当成“长宽之和”，忘了周长是和的 $2$ 倍，要先 $\div2$ 再用公式（如第 18 题）。
数十字形外轮廓边数时数漏或数重，正确的十字形外轮廓是 $12$ 条小边（第 5 题）。
路径比较时去比水平方向（其实相等），没抓住真正有差别的竖直方向。

🧠思维导图

巧求周长
- 核心方法：平移法
  - 横边平移补成长
  - 竖边平移补成宽
  - 凸台/缺口多出的小段单独加
  - 平移不改变长度，周长不变
- 基础公式
  - 长方形周长 $=($长$+$宽$)\times2$
  - 正方形周长 $=$ 边长 $\times4$
- 拼接与分割
  - 相同小图拼大图：设元求边长
  - 由小正方形数外轮廓边数
  - 剪开：周长和 $=$ 原周长 $+$ 剪痕 $\times2$
  - 重叠：顶点落中心，长宽减半
- 结合其他模型
  - 和差问题求长宽
  - 三角形周长的等量代换
  - 等差数列求盒数
- 路径长度比较
  - 水平分量归并
  - 竖直分量归并后比大小