图形最值

🎯找核心概念

这是哪类问题：这一讲专门解决和『图形』有关的『最多/最少』问题：在某些条件固定的前提下（比如篱笆总长一定、方格数一定、纸板大小一定、绳子总长一定），问某个量（面积、周长、个数、花费、时间、棋子数）最大能到多少、最小能到多少。它不是简单地算一个固定答案，而是要先想清楚『怎么摆/怎么剪/怎么连才最划算』，再去算。

关键词（大白话）：

• 最值：最大值或最小值。问『最多』就是求最大，问『最少』就是求最小。
• 和定差小积大：两个数加起来固定时，它们越接近，乘出来的积越大；差得越远，积越小。比如和是 8，$4\times4=16$ 比 $1\times7=7$ 大。
• 周长一定面积最大：围一圈的材料长度固定时，围成的图形越接近正方形，里面装的面积越大。
• 面积一定周长最小：块数（面积）固定时，拼成的图形越接近正方形、内部贴合的边越多，外面一圈的周长就越短。
• 一笔画：笔不离纸、每条线只画一遍就把整个图画完。判断能不能一笔画，要看『奇点』（连着奇数条线的点）有几个。

🔍理解本质规律

• 求最值前，先找出题目里『不变的东西』（篱笆总长、方格总数、纸板大小、绳子总长），它是约束。
• 面积/周长类最值的核心口诀：『和定差小积大』——两边之和固定时，两边越接近，面积越大；反过来求最小周长时，让图形越接近正方形、贴合的边越多。
• 求最大常常用『总量 ÷ 单个』估出上限，再动手摆一个真的能达到的方案来验证；求最小则反着想『让浪费最少』。
• 『让 A 最大』有时要转化成『让 B 最小』：剩下面积最大 = 切掉面积最小；白色面积最小 = 蓝色露出最多。
• 走道路、烧绳子这类问题用『一笔画』和『最长路径』的思路：重复要走的最少、燃烧从最长路径的中点附近点起。

🗂️分类总结题型

✏️举例验证

🌱拓展应用

🛒 生活里的同类问题：

• 家里用一段固定长度的栅栏靠墙围花圃、菜地，想围出最大面积，就该围成尽量方正的形状。
• 把一张大纸或一块布裁成同样大的小方块，少浪费、块数最少，要按长宽的最大公因数来裁。
• 环卫工人扫完一片街区所有马路再回到出发点，怎么少走回头路，就是一笔画与最短路径。
• 用同样的地砖铺一块地，想四周镶边的料最省，就把地铺成接近正方形。

🔄 变形我还认得吗：

• 把『一面靠墙』换成『两面靠墙(墙角)』或『不靠墙四面都围』，定值关系会变成 $a+b$ 或 $a+2b$ 不同形式，但仍用和定差小积大——别被靠墙方式骗了。
• 把『求最少块数』换成『求最多块数』，或把『剩下面积最大』换成『切掉面积最大』，要警惕是求最大还是最小，转化方向相反。
• 把烧绳子换成『多处同时点火求最短时间』，或把走道路换成『允许不回到起点』，奇点的处理会不一样。
• 棋盘题把『偶数』改成『奇数』限制，留空的格数和算法就要重新数。

🚀 它是后面什么的前置基础：

• 本讲的『和定差小积大』是后面『应用最值』『数字最值』两讲的核心工具，先在图形里练熟。
• 求面积、周长用到长方形面积公式与最大公因数，是前面求面积、约数倍数知识的综合应用。
• 一笔画与最短路径是图论的启蒙，为以后更复杂的路线规划、奇偶分析打基础。

⚠️常见易错点

• 看到『和一定求积最大』直接取理想的相等值，忘了题目还有整数、偶数、靠墙等限制，没在最接近处微调。
• 靠墙围长方形时把围三面当成围四面，定值关系写错（应是 $a+2b=$ 总长，不是 $2(a+b)$）。
• 求最小周长只算了一种摆法就下结论，没有把几种拼法都比一比。
• 求『剩下/白色』最大时，直接去拼剩下的部分，没想到转化成『让切掉/露出的对头最小』，算得又乱又错。
• 拼图求最小周长时漏数了砖与砖之间贴合的内部边，把内部边也当外周长算进去。
• 一笔画道路题忘了数奇点、漏算必须重复走的路段，最短路程算少了。
• 分割成相等小正方形时随便取一个公因数，没取最大公因数，导致块数算错。

🧠思维导图

🔗关联知识点

• 四年级 · 讲14 基本方法求面积求图形最值要会算长方形、正方形面积，这是面积计算的基础应用。
• 四年级 · 讲21 应用最值把本讲的和定差小积大等极值思想搬到应用题里，是直接的延续。
• 四年级 · 讲22 数字最值同样的『凑极端、和定差小积大』思想用到数字的最大最小，方法一脉相承。
• 四年级 · 讲23 统筹与对策都属于最优化思想：在约束下找最划算的方案。
• 五年级 · 讲18 等积变形进一步研究图形面积之间的关系与变换，是面积类问题的提升。