四年级 · 数字最值

🎯找核心概念

这是哪类问题：这一讲专门解决「在一堆约束条件下，让某个量取到最大或最小」的问题。比如：填运算符号让算式结果最大、用受限数字组合表示一个数最少要几个、平均数固定时让某个数尽量大、两数乘积固定时差最大或最小、数位和固定时构造最大或最小的数、删数留最大、填数让乘积最大、相邻和受限时总和最小等等。它不是某一个固定公式，而是一类「极值思维」：先看清约束，再想清楚「往哪个方向调整能让目标变大或变小」，最后构造出一个真正能取到的具体方案。

关键词（大白话）：

最值：最大值或最小值。题目通常只问「最大是多少」或「最小是多少」。
约束条件：题目给的限制，比如数字互不相同、不能为 0、和固定、积固定、相邻三数之和大于 20 等。最值一定是在「贴着约束」时取到的。
贪心：为了让结果最大，就一位一位地、能多大就多大地去选；为了最小，就反过来能多小就多小地选。
构造：光说「最大是某个数」还不够，要真正给出一个满足所有条件、并恰好达到这个值的具体例子，才算证明它能取到。
取极端：想让差最大就让两个数最悬殊，想让差最小就让两个数最接近——把可调整的量推到极端。

🔍理解本质规律

求最大值时：高位/大的部分尽量取大，小的损失尽量小；求最小值时：反过来尽量取小。这是「贪心」的核心。
和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数越悬殊，乘积越小。反过来积一定时，两数越接近差越小，越悬殊差越大。
总和固定时，要让某个数最大，就让其余的数尽量小（在满足约束的前提下）；要让某个数最小，就让其余的数尽量大。
位数越多的数越大（同为正整数时），所以「让位数尽量多」常常是求最大数的第一步。
找到一个不会被操作改变的「不变量」（比如某种差模 3 的余数），就能卡死最值的上界。
答案要「上界 + 构造」两头夹：先论证不可能超过某个值，再给出一个恰好达到它的例子。

看得见的规律把它想成「调音量旋钮」：目标是音量（要调到最大或最小），但旋钮被几根绳子拴住（约束）。你不能乱拧，只能在绳子允许的范围里把旋钮往一个方向拧到底。$$\text{目标} \xrightarrow[\text{约束允许的范围}]{\text{往大/往小拧到底}} \text{最值}$$ 又比如「和一定、差越小积越大」可以想成：周长固定的长方形里，越接近正方形面积越大；拉得越扁面积越小。

为什么这样解为什么贪心和取极端能行？因为目标值是由各部分单调地决定的：每一位、每一个加数、每一个因数往一个方向变，整体就往同一个方向变，互不打架。既然各部分的影响方向一致，就可以独立地把每部分推到约束允许的极端，整体自然达到极端。例如求最大数时高位的贡献远大于低位，所以先把高位填到最大绝不会吃亏；求两数差最小时，因数对越接近、差就越小，于是只需在所有因数对里挑最接近的一对。

🗂️分类总结题型

题型	怎么一眼认出	用什么方法
填运算符号求最值g4-c22-p01	给好几个相同或不同的数，中间留空让你填 $+\,-\,\times\,\div$ 使结果最大或最小。	想清楚每种运算的作用：乘法放大、除法缩小。求最大就让乘法作用在大的部分、让除法只损失最小的部分，再凑算式验证。
受限数字组合表示求最少个数g4-c22-p02	只能用某些数字（如只有 1 和 0）相加去拼出一个目标数，问最少要几个加数。	每个加数在某一位最多贡献 1，所以某一位要凑出数字 $d$ 就至少要 $d$ 个加数；答案就是目标数各位数字里的最大值。
平均数与极值g4-c22-p03	出现平均数、几组平均数，问其中某个数最大或最小。	用平均数乘个数还原出各组的和与总和，再在「互不相同、严格递增」等约束下，让其余数尽量小（求某数最大）或尽量大（求某数最小）。
乘积分解求差的最值g4-c22-p04	已知两整数之积，问它们的差最大或最小。	把积分解成所有因数对，差最大取最悬殊的一对（1 与本身），差最小取最接近的一对。
数位和固定构造最值g4-c22-p05	各位数字之和固定，再加上互不相同、不为 0 等约束，问能构成的最大或最小数。	最小数让位数最少、高位尽量小；最大数让位数尽量多（各位取尽量小的不同数字凑够和），再把高位排大。
删数留最大（或最小）g4-c22-p06	一长串数字，删掉若干个，问留下的数最大或最小。	先算出删完还剩几位，再从左到右按位贪心：每一位在「还来得及」的范围里挑最大（求最大）的数字。
填数使乘积最大g4-c22-p07	把一组数字填进几个因数里，使乘积最大。	先用最大数字占据各因数的最高位提升量级，再按「和一定差越小积越大」把剩余数字分得尽量均衡。
相邻和约束下的极端构造g4-c22-p08	一排互不相同的数，给出「任意相邻几个的和大于某值」之类约束，问总和最小或某量最值。	把位置按规律分组，让同组数尽量小，用约束算出每组的最小可能和，再构造一个具体排列验证。
整体约束反推 + 构造g4-c22-p09	给「任意若干个之和不超过某值」这类整体限制，问满足某性质的个数最多或某种和最大。	先用约束反推出个数/取值的上界，再在不违约的前提下让目标量尽量大，构造出达到上界的方案。
不变量求最值g4-c22-p10	反复做某种操作（交换、替换），问某个量最多能到多少。	找出操作中不变的量（如某种差模 3 的余数），用它卡死上界，再构造一串操作真正达到该值。

✏️举例验证

例 1 g4-c22-p01

题：在 $10\,□\,10\,□\,10\,□\,10\,□\,10$ 的四个方框里各填一个 $+\,-\,\times\,\div$（每个用一次），求算式结果的最大值。

按规律解：想让结果最大：乘法能放大，应让它作用在大的部分；除法会缩小，应让它只造成最小的损失。把 $10\times10$ 留作主体得到 $100$，再加上一个 $10$，而把除法用在最后让损失最小：$10\div10=1$，于是 $10\times10+10-10\div10=100+10-1=109$。对照选项，最大值是 $109$（选 B）。

为什么对：因为乘法、加法都在增大结果，除法在减小结果。我们把乘法用在最大的搭配上、把不可避免的减法和除法的损失压到最小（$-10\div10$ 只减掉 1），方向都朝着「让结果大」，所以凑出的 $109$ 就是最大值。

例 2 g4-c22-p04

题：整数 $A>B$ 且 $A\times B=2009$，求 $A-B$ 的最大值和最小值。

按规律解：先分解：$2009=7^{2}\times41$，它的因数对有 $1\times2009$、$7\times287$、$41\times49$。差最大时要两数最悬殊，取 $A=2009,\,B=1$，$A-B=2008$。差最小时要两数最接近，取 $A=49,\,B=41$，$A-B=8$。所以最大值 $2008$，最小值 $8$。

为什么对：积固定时，因数对越悬殊差越大、越接近差越小（就像周长固定的长方形越方面积越大）。我们把所有因数对都列出来，分别挑最悬殊和最接近的一对，就一定取到差的两个极端，所以答案正确。

例 3 g4-c22-p05

题：一个数各位数字之和是 $17$，各位数字互不相同且都不为 $0$，求符合条件的最小数和最大数。

按规律解：求最小数：位数越少数越小，两位就能凑出 $17$（$8+9=17$），再让高位小，得到最小数 $89$。求最大数：位数越多越大，但各位要互不相同且不为 0，最小的几个不同数字 $1+2+3+4+5+6=21>17$ 装不下，所以最多五位；用 $1+2+3+4+7=17$ 凑齐五个数字，再把它们从高位到低位由大到小排，得到最大数 $74321$。

为什么对：最小数靠「位数最少、高位最小」，最大数靠「位数最多、再高位排大」，两者都是把可调的方向推到极端。凑五位时特意选尽量小的不同数字以便塞进更多位，正是为了让位数最多——这与「位数越多数越大」的原则一致，所以答案对。

例 4 g4-c22-p10

题：红黄蓝球分别有 $11、12、17$ 个，每次把 2 个不同色的球换成 2 个第三色的球，问红球最多多少个。

按规律解：观察操作对「黄、蓝个数之差」的影响：每次操作这个差要么不变，要么变化 3。开始时黄蓝之差是 $17-12=5$，不是 3 的倍数，所以以后永远不是 3 的倍数，于是黄、蓝不可能同时为 0（否则差为 0，是 3 的倍数）。三色总数是 $11+12+17=40$，黄蓝至少还剩 1 个，所以红球最多 $40-1=39$ 个。再按 $(11,12,17)\to(10,14,16)\to\cdots\to(39,1,0)$ 构造出来，确实能达到 39。

为什么对：「黄蓝之差模 3」是个不变量，它从一开始就不是 3 的倍数，就把「黄蓝同时清零」这条路堵死了，从而卡住红球的上界 39；再加上一串真实操作达到 39，上界与构造对上，答案就是确凿的。

🌱拓展应用

🛒 生活里的同类问题：

购物凑满减：在预算和券的限制下让实付最少，就是「约束下求最小」。
排班、装箱：每天人数或每箱重量有上限，问最多能安排多少，本质是整体约束反推上界。
拼桌、分组比赛积分：总分固定时想让某队尽量领先，就让别人尽量低，正是「和固定让其余尽量小」。
找零钱用最少的硬币：和受限数字组合表示求最少个数同源。

🔄 变形我还认得吗：

把「求最大」改成「求最小」：方向反过来，贪心从「取大」变「取小」，思路不变。
把填的符号或可用数字换一套（比如允许重复、加入小数），仍是先分析每种运算/数字的作用再凑。
删数题从「留最大」改成「留最小」或固定剩几位，依旧按位贪心，只是每位改挑尽量小的数字。
乘积题从三个三位数改成两个两位数、四个数等，原则照旧：高位放大 + 整体均衡。
把「任意 3 个相邻」改成「任意 4 个相邻」或换阈值，分组方式随之改变，核心仍是同组取小 + 构造验证。

🚀 它是后面什么的前置基础：

贪心与取极端是后续「最优化、统筹规划」问题的思想雏形。
「和一定差小积大」是面积周长关系、均值不等式（初中、高中）的小学版直觉。
「不变量与余数性质」是数论里同余、奇偶分析、染色不变量的入门。
「上界论证 + 构造达到」是竞赛证明题的标准两步法，越往后越重要。

⚠️常见易错点

只报一个数值就当作答案，忘了「构造一个真能达到它的例子」来验证能取到。
求最大数时只顾把高位填大，忽略「互不相同、不为 0、位数尽量多」等约束。
积一定求差最值时，因数对没列全，漏掉最接近或最悬殊的一对。
把「和一定差小积大」用反方向：求积最大却把数字分得很悬殊。
删数题没先算清「删完还剩几位」就盲目删，或贪心时挑了导致后面凑不够位数的数字。
受限数字表示题误以为答案与位数有关，其实只取决于各位数字里的最大值。
平均数题忘了乘回个数还原总和，或忽略「互不相同、严格递增」导致相邻数取重。
不变量题没找到真正不变的量，或找到了却忘了再构造操作达到上界。

数字最值